初等代数研究课后习题答案完整版余元希Word下载.docx

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N，a

ba

（2）

由

（1）

b与a1

b不可能同时成立，

假设a

b与a

b同时成立，

则B,

B,使A~B,且A~B，

B~B,与B为有限集矛盾，ab与ab不可能同时成立，

综上，对任何a,bN，在ab，ab，ab中有且只有一个成立

2、证明自然数的加法满足交换律.

证明：

对任何a,bN设M为使等式abba成立的所有b组成的集合

先证a

11

设满足此式的

a组成集合

k，

显然有1+1=1+1成立

1k

，设

k，a11

a1

（a

）（a1）

（1a）

1

ak，

k

取定a，则

1M，

设

M,abba，则

ab（a

b）

（b

a）ba

bM

J

M

N

abba

3、证明自然数的乘法是唯一存在的

唯一性：

取定a，反证：

假设至少有两个对应关系f,g，对bN，有

f（b）,g（b）N，设M是由使f（b）g（b）成立的所有的b组成的集合，

f（b）g（b）a11M设bN则f（b）g（b）f（b）ag（b）a

f（b）g（b），bM，MN即bN，f（b）g（b）

1,1b

1b11

k，设aK，

有a,l

b与它对

应

且1

a，abab

a，对bN，令a

abb

ab

ab

b1

（ab

1）

K

即乘法存在

乘法是唯一的

存在性：

设乘法存在的所有a组成集合K当a1时，bN,

p24—5、解：

满足条件的

A有A

{1,2}，A2{1,2,3}，A3{1,2,4}，A{1,2,5}

A2,A2

A3A4

3,As

A

A7

4,A

5基数和为2

3343528

p24—6、证明：

Aa,B

A中的x与B中的

y对应

Bab，

B

Aba

AB

p24—&

1）3+4=7

31

343

231

（31）4

5

33

32

（3

2）

6

34

3）

7

2）34

12

3

36

9

p24—12、证明:

1）（m

n）

m

n

A5

（mn）

mn1（m1）n

2）（mn）nmm

（mn）mn1mn（m1）nmm

p26—36、已知f（m,n）对任何m,nN满足

f（1,n）n1

f（m1,1）f（m,2）

f（m

1,n1）

f（m,f（m1,n））

求证：

f（2,n）

n2

f（3,n）

2n2

f（4,n）

2n12

1）当n1时，f（2,1）f（11,1）f（1,2）2112结论成立，

假设nk时，结论成立，即f（2,k）k2，

当nk1时，

f（2,k1）f（11,k1）f（1,f（2,k））

f（1,k2）（k2）1（k1）2

所以对一切自然数结论都成立

2）当n1时，f（3,n）f（21,n）f（2,2）22212结论成立

假设nk时，结论成立，即f（3,k）2k2

f（3,k1）f（21,k1）f（2,f（3,k））

f（2,2k2）2k222（k1）2

3）当n1时，f（4,1）f（31,1）f（3,2）2222112结论成立

假设nk时，结论成立，即f（4,k）2k12

f（4,k1）f（3,f（4,k））f（3,2k12）

2（2k12）22k22

p62—1、证明定理2.1

[a,b],[c,d]Z,[a,b][c,d][ac,bd]

因为自然数加法满足交换律[ac,bd][ca,db]

而[c,d][a,b][ca,db][a,b][c,d][c,d][a,b]

“”已知[a,b][c,d]则adbc

p62—5、已知[a,b],[c,d]Z，求证（[a,b][c,d]）[a,b][c,d]

左边（[a,b][c,d]）[ad,bc][bc,ad]

右边[a,b][c,d][b,a][c,d][bc,ad]

所以左边等于右边（[a,b][c,d]）[a,b][c,d]

p62—7、已知a,b,cN，求证当且仅当adbc时[a,b][c,d]

“”已知adbc，[a,b][c,d][ad,bc]

因为adbc[ad,bc]是负数，[a,b][c,d]

已知[a,b][c,d]则[a,b][c,d][ad,bc]

因为[ad,bc]是负数，adbc

设[a,b],[c,d]

而ab,cd

（ac）（bd）（ab）（cd）ab

[acbd,ad

bc]

acbd（adbc）

而

cd

acbd

（adt

）c）

a（c

d）

b（d

c）（ab）（cd）

abcd

II

k名胜负的次数各为ak,bk，

p63—12、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第

、22222

k1,2,,n，求证：

aia2...anbib2

对于ak（k1,2,...,n），必存在一个bj（j1,2,...,n）使得akbj

b10aps,d10cpt

adbc10acapt（10accps）p（csat）padbc

p63—17、设2不整除a，求证8a21

p63—20、设aZ，求证a（a1）（a2）（a3）1是奇数的平方

（a1）（a2）肯定为偶数

a（a

1）（a

2）（a3）1

[（a

1]（a1）[（a2）（a2）1]1

1）2

（a1）][（a

2）2

2）]1

1）2（a

2）22（a

2）1]2

a1,a2肯定一奇一偶

（a1）（a2）1肯定为奇数

p63—22、证明：

前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9

前n个自然数的和为°

n）n

2

因为：

n个自然数的和仍为自然数1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数

若个位数码为2

则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1

而（1+n）-n=1个位数码不能为2

若个位数码为4

则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7

则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14

也不可能成立，若个位数码为9

则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，

综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9

p63—26、证明2.3定理1（a1,a2,……a.,）=（a1,a2,……an）

（a1,a2,……a“）是印^,……an的公因数中的最大数

所以R需考虑非负整数（a1,a2,an,）=（a1,a2,an）

p63—29、证明2.3定理4的推论（a,b）1的充要条件是有x,yZ使得axby1

因为（a,b）1

a,b不全为0

“”由定理4

x,yZ使axby（a,b）1

“”设（a,b）

d则da,db,daxbyd1d（a,b）1

p63—30、证明2.3定理6及其推论。

定理6：

若mN，贝U（ma,mb）m（a,b）

若a,b都为0,则（0,0）m（0,0）显然成立

若a,b不全为零，则X0,y°

Z使ax°

by。

（a,b）

IIIIII

maxmby（ma,mb）而maxmbym（axby）

因为x,yZ,ax0by°

axbyax0by。

axby

m（ax0by0）maxmbym（a,b）maxmbym（a,b）（ma,mb）

而（ma,mb）amx^mby0m（a,b）（ma,mb）m（a,b）

推论：

设d是a,b的公因数，贝U（a/d,b/d）1的充要条件是d（a,b）

“”d是a,b的公因数dNdd（a/d,b/d）（a,b）

“”因为d（a,b）x,yZ，使axbyd

x,yZ，使（a/d）x（b/d）y1（a/d,b/d）1

p64—32、证明2.3定理七及其推论

定理七：

若（a,c）1,bZ,b,c中至少有一个不为0,则（ab,c）（b,c）

b,c中至少有一个不为0x,yZ使abxcy（ab,c）

因为（a,c）1（ab,c）b,（ab,c）c因为（b,c）（ab,c）（ab,c）（b,c）

若（a,c）1,（b,c）1，则（ab,c）1

因为（b,c）1,b,c不为零（ab,c）（b,c）1

p64—33、已知n是奇数，nab,nab，求证n（a,b）

因为nab,nabn（ab）（ab）,n（ab）（ab）

n2a,n2bn2（a,b），因为n是奇数，n（a,b）

p64—36、已知（a,b）d,（a,b）d，求证（aa,ab,ab,bb）dd

（aa'

ab'

）a（a'

b'

）ad'

（a'

b,bb'

）bd'

IIIIIII

（aa,ab,ab,bb）（ad,bd）dd

p64—40、已知aN，求证a,2a,……na中n的倍数的个数等于（n,a）

当（n,a）d时，d1，令adai,（n,aj1，则a,2a,na可改写为

da1,2da1,nda1因为d1所以其中一定包括na1,2na^（d1）na^dna1

都是n的倍数，共有d个

p64—42、已知p是异于3的奇素数，求证24p1

p是异于3的奇素数，p21为偶数，p3p219

p1（p1）（p1）其中p1,p1都为合数，且都大于3

p1,p1都可被2、3中的一个整除，若2p1，则由p1（p1）2

2p1，因为p13,p1324p21

p64—44、已知整数a,n都大于1，an1是素数，求证a2且n是素数

反证n不是素数当a2时an1不是素数与已知矛盾，所以n是素数

p64—45、求不大于50的一切素数

解：

平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47

p64—46、求下列各数的标准分解式：

1）82798848

82798848=2835113

p64—49、已知整数a,b,c都大于1，求证[（a,c）,（b,c）]（[a,b],c）

1）因为（1,p）1,（2,p）1,...,（p1,p）1

1p1（modp），2p2（modp），3p3（modp）…（p1）pp1（modp）

12p3p...（p1）p（123...（p1））（modp）

12p3p...（p1）pO（modp）

2）1p11（modp）,2p11（modp）,3p11（modp）…（p1）p11（modp）

12p13p1...（p1）p11（modp）

q1p1

p66—70、设p,q是相异素数，求证pqqp1（modpq）

pq10（modp）,qp11（modp）,pq1qp11（modp）

同理pq1qp11（modq）pq1qp11（mod[p,q]）

即pq1qp11（modpq）

p66—72、已知p是素数，N，求证

（1）（p）（p2）...（p）p

因为p是素数，所以（pk）pkpk1,kN

221

（p）p1,（p）pp,....,（p）pp

因为

（1）1

（1）（p）（p2）...（p）p

p66—73、计算（66150）

322

66150的标准分解式为661502357

02

（66150）2357（21）（31）（51）（71）15120

p66—74、已知整数a2，求证2（a）

设a的标准分解式为aP11P22...Pnn，其中P1,P2,...,Pn为素数

i1,（i1,2,...,n），若a2n显然（a）2a2a1，2（a）

当a2n时，一定p12且p-i1为偶数，2（a）

综上所述a2时2

（a）