高中数学立体几何之直线平面垂直的判定及其性质讲义Word文件下载.docx
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3.二面角θ的取值范围:
四、平面与平面垂直(简称面面垂直)
两个平面相交,它们所成的二面角是________,就说两个平面互相垂直.
一个平面经过另一个平面的_____,则这两个平面垂直.
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
精讲精练
1.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则有()
A.l和m异面B.l和m相交
C.l∥mD.l不平行于m
2.下列结论不正确的是()
A.若两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面
B.若两条平行线中的一条不垂直于某个平面,则另一条也不垂直于这个平面
C.若三条平行线中的一条垂直于某个平面,则这三条直线都垂直于这个平面
D.若三条平行线中的一条不垂直于某个平面,则另两条中可以有一条和这个平面垂直
已知直线l垂直于直线AB和AC,直线m垂直于直线BC和AC,则直线l,m的位置关系是()
A.平行B.异面C.相交D.垂直
4.直线a与b垂直,b⊥α,则a与α的位置关系是()
A.a⊥αB.a∥α
C.a⊂αD.a⊂α或a∥α
5.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则()
A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直
D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
6.
有以下四个命题:
①a∥α,b⊥α,则a⊥b;
②a⊥b,b⊥α,则a∥α;
③a∥b,b⊥α,则a⊥α;
④a⊥b,b∥α,则a⊥α.
其中正确命题是()
A.①②B.③④C.①③D.②④
7.
对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m∥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
8.
若m,n,l是互不重合的直线,α,β,γ是互不重合的平面,给出下列命题:
①若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥α或n⊥β;
②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n;
③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;
④若α∩β=m,m∥n,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β;
⑤若α∩β=m,β∩γ=n,α∩γ=l,且α⊥β,α⊥γ,β⊥γ,
则m⊥n,m⊥l,n⊥l.
其中正确命题的序号是________.
9.
空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则有()
A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC
第9题图第10题图
10.
如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF,PA=2AB,则下列结论正确的是()
A.PA⊥AD
B.平面ABCDEF⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°
11.如图,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是()
A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④
12.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
13.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
第13题图第14题图
14.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,则平面ADC与平面BDE的关系是________.
15.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,
BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=()
A.2B.3C.
D.1
第15题图第16题图第17题图
16.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AC的长为()
A.
aB.
aC.
aD.a
17.已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()
B.
C.
D.
18.自小于90°
的二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()
A.相等B.互补C.互余D.相等或互补
19.正方体ABCD-A′B′C′D′中,二面角D′-AB-D的大小是_____.
第19题图第20题图
20.四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是腰长为
的等腰三角形,则二面角V-AB-C的平面角为________.
21.
已知△ABC中,∠ACB=90°
,SA⊥平面ABC,AD⊥SC.
求证:
AD⊥平面SBC.
22.
如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(2)求证:
平面PAC⊥平面PBC.
23.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.
MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°
,求证:
MN⊥平面PCD.
24.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点,已知AB=2,PA=1,求:
(1)三角形PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的余弦值.
25.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
.
BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值.
回顾与思考
________________________________________________________
【参考答案】
【知识点睛】
一、1.任意一条垂线垂面垂足
2.相交a⊂α,b⊂α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α
3.平行a⊥α,b⊥α⇒a∥b
二、1.射影锐角2.直角0°
3.0°
≤
≤90°
三、1.两个半平面棱α-l-β或P-l-Q
2.垂直于棱∠AOB0°
<
180°
四、1.直二面角2.垂线l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
3.
【精讲精练】
1.D2.D3.A4.D5.C6.C7.C
8.②④⑤9.D10.A11.B12.A13.4
14.垂直15.C16.D17.D18.A19.45°
20.60°
21.证明略22.证明略23.证明略
24.
(1)
;
(2)
25.
(1)证明略;
直线、平面垂直的判定及其性质(随堂检测)
1.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的序号是________.
2.已知P是Rt△ABC平面外的一点,O是斜边AB的中点,并且PA=PB=PC.求证:
PO⊥平面ABC.
【参考答案】
1.①2.证明略
直线、平面垂直的判定及其性质(作业)
1.
下列选项中能得到平面α⊥平面β的是()
A.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β
B.存在一个平面γ,γ∥α,γ∥β
C.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β
D.存在一条直线l,l⊥α,l∥β
若l为一条直线,α,β,γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:
①α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
②α⊥γ,β∥γ,则α⊥β;
③l∥α,l⊥β,则α⊥β.
其中正确的命题有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.下列命题中错误的是()
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
4.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是()
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.
A.①②B.②③C.③④D.①④
5.如右图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成角的大小为()
A.与点P的位置有关B.45°
C.60°
D.90°
6.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°
,
∠BAD=90°
.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,如图2.则在四面体ABCD中,下列命题正确的是()
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABD
第6题图第7题图
7.如图,在三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°
,PA⊥平面ABC,AB=AC,D是BC的中点,则图中直角三角形的个数是()
A.5B.8C.10D.6
8.如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,则下列垂直关系中正确的序号是________.
①平面PAB⊥平面PBC;
②平面PAB⊥平面PAD;
③平面PAB⊥平面PCD.
第8题图第9题图
9.对于四面体ABCD,给出下列三个命题:
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;
②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)
10.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为________.
第10题图第11题图
11.如图,将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,∠DAB=_____.
12.如图1,在正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,如图2,BC=
AB,这时二面角B-AD-C的大小是___________.
13.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AD,CB=CD,E为BD的中点.求证:
BD⊥平面ACE.
14.如图,在三棱锥D-ABC中,BD⊥底面ABC,AC=BC,N是棱AB的中点.求证:
CN⊥AD.
15.
如图,已知点P是△ABC所在平面外一点,PA⊥底面ABC,∠ABC=90°
,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.
平面PBC⊥平面PAB;
PC⊥平面AEF.
16.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:
(1)B1D⊥平面ACD1;
(2)B1D与平面ACD1的交点H是△ACD1的重心(三角形三条中线的交点).
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
18.如图,在底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱
AA1⊥底面ABCD,E是CC1的中点,O是AC和BD的交点.
AC1∥平面BDE;
平面BDE⊥平面ACC1.
1.D2.C3.D4.A5.D6.D7.B
8.①②9.①10.
11.60°
12.60°
13.证明略14.证明略15.证明略
16.证明略(分析:
(1)先证明CD1⊥平面AB1C1D、AD1⊥平面A1B1CD,得到CD1⊥B1D,AD1⊥B1D,再利用线面垂直的判定定理即可证明;
(2)利用正三棱锥的性质
17.证明略18.证明略
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