高考数学概率大题专项题型Word下载.docx
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方案一:
每满200元减50元:
方案二:
每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的
甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:
(注:
所有小球仅颜色有区别)
红球个数
3
2
1
实际付款
半价
7折
8折
原价
(Ⅰ)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率;
(Ⅱ)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?
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7.为丰富中学生的课余生活,增进中学生之间的交往与学习,某市甲乙两所中
学举办一次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下,双方各出3名队员并预先排定好出场顺序,双方的第一号选手首先对垒,双方的胜者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局,由第二号选手挑战上一局获胜的选手,依此类推,直到一方的队员全部被淘汰,另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等)
(Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,求甲队获胜的概率.
(Ⅱ)记双方结束比赛的局数为ξ,求ξ的分布列并求其数学期望Eξ.
8.M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,
这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:
分),公司规定:
成绩在180分以上者到“甲部门”工作;
180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?
(Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列,并求出X的数学期望.
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9.生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:
指标大于或等于82为正品,
小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]
元件A81240328
元件B71840296
(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;
(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;
生产一
件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,
(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分
布列和数学期望;
(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.
10.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取
50个作为样本,称出它们的重量(单位:
克),重量分组区间为[5,15],(15,
25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),
(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X
的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
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11.某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业
技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多
于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为;
(1)求该小组中女生的人数;
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为,
每个男生通过的概率均为;
现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行
测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
12.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本
校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:
学院机械工程学海洋学院医学院经济学院
院
人数4646
(Ⅰ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不
属于同一学院的概率;
(Ⅱ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ,
求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
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13.甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人5
次测试的成绩(单位:
分)如下表:
第1次第2次第3次第4次第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好?
说明理由(不用计算);
(Ⅱ)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列和期望EX.
14.某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:
一年后可能获利10%,可能损失10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别
为,,;
如果投资乙项目,一年后可能获利20%,也可能损失20%,这两
种情况发生的概率分别为α和β(α+β=1).
(1)如果把10万元投资甲项目,用ξ表示投资收益(收益=回收资金﹣投资资金),求ξ的概率分布及Eξ;
(2)若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求α
的取值范围.
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15.袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚,从中任取2枚棋子都是白色的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸,乙后取,然后甲再取,,
取后均不放回,直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
(1)求随机变量X的概率分布列和数学期望E(X);
(2)求甲取到白球的概率.
16.小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图(如图)及相应的消耗能量数据表(如表).健步走步数(千卡)16171819
消耗能量(卡路里)40044480520
(Ⅰ)求小王这8天“健步走”步数的平均数;
(Ⅱ)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X,求X的分布列.
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17.某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生,统计了他们的数
学成绩(成绩均为整数且满分为120分),成绩的频率直方图如图所示,
其中成绩分组间是:
[80,90),[90,100),[100,110),[110,120]
(1)在这36名学生中随机抽取3名学生,求同时满足下列条件的概率:
(1)有且仅有1名学生成绩不低于110分;
(2)成绩在[90,100)内至多1名学生;
(2)在成绩是[80,100)内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷,设成绩在[90,100)内的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望EX.
18.一批产品需要进行质量检验,检验方案是:
先从这批产品中任取5件作检验,
这5件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取2件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;
如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;
如果n=5,则这批产品通过检验;
其他
情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为200元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位:
元),求x的分布列.
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概率大题专项题型参考答案
【解答】解:
(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为.(4分)
(
2)
由
题
意
得
,
.(6分)
所以X的概率分布表为:
X
4
5
P
(8分)
所以,X的数学期望为.(10分)
(I)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个,乙猜对2个”,“甲
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猜对2个,乙猜对1个”,“甲猜对2个,乙猜对2个”三个基本事件,
故概率
P=++=++=,
(II)“星队”两轮得分之和为X可能为:
0,1,2,3,4,6,
则P(X=0)==,
P(X=1)=2×
[+]=,
P(X=2)
=++
+=,
P(X=3)=2×
=,
P(X=4)=2×
[+]=
P(X=6)==
故X的分布列如下图所示:
6
∴数学期望E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+6×
==
(1)从10人中选出2人的选法共有
=45种,
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事件A:
参加次数的和为4,情况有:
①1人参加1次,另1人参加3次,②2
人都参加2次;
共有+=15种,
∴事件A发生概率:
P==.
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)==
P(X=1)==,
P(X=2)==,
∴X的分布列为:
∴EX=0×
=1.
(Ⅱ)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X的分布列和数学期望.【解答】解:
(Ⅰ)设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A,(1分)
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是,(3分)
则.(6分)
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,(7分)
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由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为,且每个人下电梯互不影响,
所以,
.(9分)
(11分)
.(13分)
(Ⅰ)三个电子元件能正常工作分别记为事件A,B,C,则P(A)
=,P(B)=,P(C)=.
依题意,集成电路E需要维修有两种情形:
①3个元件都不能正常工作,概率为
P1(
)
()()()
=
×
=P
=
.
②3个元件中的
2个不能正常工作,概率为
P2
A
B
+P
C
+
+×
所以,集成电路E需要维修的概率为P12
+P=
(Ⅱ)设ξ为维修集成电路的个数,则ξ服从B(2,),而X=100ξ,
P(X=100ξ)=P(ξ=k)=?
?
,k=0,1,2.
X的分布列为:
X0100200
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∴EX=0×
+100×
+200×
=.
每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:
红球个数3210
实际付款半价7折8折原价
(Ⅰ)记顾客获得半价优惠为事件A,则P(A)==,两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率:
P=1﹣P()P()=1﹣(1﹣)2=
.(5分)
(Ⅱ)若选择方案一,则付款金额为
320﹣50=270元.
若选择方案二,记付款金额为
X元,则X可取160,224,256,320.
P(X=160)=,
P(X=224)=
P(X=256)=
P(X=320)=
=,
则E(X)=160×
+224×
+256×
+320×
=240.
∵270>240,
∴第二种方案比较划算.(12分)
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(Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,相当于乙校还有3名选手,
而甲校还剩2名选手,甲校要想取胜,需要连胜3场,或者比赛四场要胜三场,
且最后一场获胜,所以甲校获胜的概率是
(Ⅱ)记双方结束比赛的局数为ξ,则ξ=3,4,5
所以ξ的分布列为
ξ
数学期望
成绩在180
分以上者到“甲部门”工作;
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(I)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为=,
根据茎叶图,有“甲部门”人选10人,“乙部门”人选10人,
所以选中的“甲部门”人选有10×
=4人,“乙部门”人选有10×
=4人,
用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”,则它的对立事件表示“没有一名甲
部门人被选中”,则P(A)=1﹣P()=1﹣=1﹣=.
因此,至少有一人是“甲部门”人选的概率是;
(Ⅱ)依据题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
因此,X的分布列如下:
所以X的数学期望EX=0×
指标大于或等于
82为正品,
小于82为次品.现随机抽取这两种元件各
100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标
[70,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100]
元件A
8
12
40
32
元件B
7
18
29
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(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损
5元;
件元件B,若是正品可盈利
50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,
(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量
X的分
(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于
140元
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