集合与命题综合复习Word文件下载.docx
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(2)集合的分类:
1按元素个数分:
有限集,无限集;
②按元素特征分;
数集,点集。
如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;
(3)集合的表示法:
①列举法:
用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};
②描述法;
图示法
2、两类关系:
(1)元素与集合的关系,用
或
表示;
(2)集合与集合的关系,用
,
,=表示,当A
B时,称A是B的子集;
当A
B时,称A是B的真子集。
3、集合运算
(1)交,并,补,定义:
A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且x
A},集合U表示全集;
(2)运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),
CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。
4、命题:
(1)命题分类:
真命题与假命题,简单命题与复合命题;
(2)四种命题:
记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。
其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。
思考:
四种命题为真的个数有什么规律么?
5、充分条件与必要条件
(1)定义:
对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;
(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:
充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。
从集合的角度看,该是怎样呢?
从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,
则当A
B时,p是q的充分条件。
B
A时,p是q的充分条件。
A=B时,p是q的充要条件;
当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。
二.典型例题
例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。
变式练习:
集合P={x」x2-16<
0},Q={x」x=2n,n
Z},则P
Q=
A.{-2,2}B.{-2,2,-4,4}C.{2,0,2}D.{-2,2,0,-4,4}
说明:
实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。
一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。
此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。
集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。
分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。
已知集合A=
-1,3,2
-1
,集合B=
3,
.若B
A,则实数
=.
例3、用反证法证明:
已知x、y∈R,x+y>
2,求证x、y中至少有一个大于1。
(注意反正法证明题目时的步骤)
反证法的理论依据是:
欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。
“
”是
“的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
符号“
”、“
”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的
小结(对于本节重点总结、难点突破性分析及易错点的反思)
课后作业:
(一)选择题
1、设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是
A、{a}=MB、M
{a}C、{a}
MD、M
{a}
2、已知全集U=R,A={x|x-a|<
2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是
A、[0,2]B、(-2,2)C、(0,2]D、(0,2)
B、
3、已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N、{x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是
A、M
NB、M
NC、M=ND、不确定
4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是
A、11B、10C、16D、15
5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是
A、15B、16C、31D、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是
A、所给命题为假B、它的逆否命题为真
C、它的逆命题为真D、它的否命题为真
8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3+1,∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是
A、S
AB、S=B
AC、S
B=AD、S
B=A
9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
A、0<
m≤1或m<
0B、0<
m≤1
C、m<
1D、m≤1
10、已知p:
方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q:
a,b是整数,则p是q的
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充要条件D、既不充分又不必要条件
(二)填空题
11、已知M={
},N={x|
,则M∩N=__________。
12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是________人。
13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。
14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。
15、非空集合p满足下列两个条件:
(1)p
{1,2,3,4,5},
(2)若元素a∈p,则6-a∈p,则集合p个数是__________。
(三)解答题
16、设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范围。
17、已知抛物线C:
y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。
18、设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q的值。
19、已知
,b=2-x,c=x2-x+1,用反证法证明:
a、b、c中至少有一个不小于1。
参考答案
1、C2、A3、C4、C5、D6、B7、B8、C9、D10、A
11、φ12、25,6013、-1≤a≤114、若a、b均不为0,则ab≠015、7
16、a≥1或a≤-1,提示:
画图
17、3<m≤
18、
,或
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