《基本不等式》专题复习doc文档格式.docx
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sin&
1212
③若ci+2b=1,则—I—的最小值为9;
④若ci<
—八则4dH的最人值为-2;
ab22a-1
②④
变式1.若正实数满足Q+b=l,贝IJ()•
A.—I—有最人值4B.cib最小值一C.4-y[h最人值、伍D・ci~-\-b~有最小值』】
ab42
变式3・(2010山东文数)(14)已知X,)疋疋,且满足-+^=1,则xy的最人值为
【答案】w【解析】因为落丸,所以x+l>
2(当且仅当毬=1时取等号),所以有
X
乂111X11
亠一=——<
—=-,即一的最大值为丄,故a>
-o
,+3x+l罷+32+35x2+3x+l55
v2
变式5.(2008江苏卷11)已知x,y,zeR\x-2y+3z=0,则丄的最小值
兀z
3
变式6.(2009重庆卷文)已知d〉0,b>
0,则一+—+2丁亦的最小值是()
A.2B.2V2C.4D.5
c
解析:
因为丄+-4-14ab>
2J—+=2(J—+>
4当且仅当丄=丄,且丄=低,即
ahVabVahab\ab
a—b时,取"
二”号。
三.直接消元,化函数
例题1・若d是l+2b与l-2b的等比屮项,
则一THT的最小值是
变式1・(2009天津卷理)设«
>
0,&
0.若屣3“与3〃的等比中项,则丄+丄的最小值为
1
A8B4ClD-
4
因为3“・3°
=3,所以a+b=l,
l+l=(a+/,)(l+l)=2+-+-^2+2J---=4,当且仅当-=-BPa=&
=丄时成立,ababab\abab2
变式1.若正实数x,y满足x+y+l=xy,则x+2y的最小值是()
A.3B.5C・7D.8
变式2・若正数%,y满足F+3“_i=o,则x+y的最小值是
变式3.已知正实数兀,y满足小+2x+y=4,则x+y的最小值为.
例题2.(2010全国卷7)已知函数于(兀)=1lgxl.若a工bRf(a)=f(b),则a+h的取值范围是(
(A)(l,+oo)(B)[l,+oo)(C)(2,+oo)(D)[2,+oo)
变式1.若a>
l,b>
l,ax=by=Xa+b=2y[3,则丄+丄的最大值为
兀丁
_1_
21
变式2.设w/?
a〉l,b>
l,若aJb—2,a2+b=4,则一+—的最大值为.
2
例题3•己知正实数a、b满足2a+b二1,则+b2+—的最小值为.
ab
变式1.(2013年髙考山东卷(文))设正实数兀,满足-3%>
'
+4y2-z=0,则当亠取得最小值
时,x+2y—z的最大值为()
例题4.(2013・浙江五校联考)已知正实数满足lnx+lny=0,Hk(x+2y)<
x2+4y2恒成立,则k
的取值范围是・
k<
41
变式1・(名校交流卷四绍兴一中)不等式7(x3-4x2)2>
-x2+^v-16对兀〉0恒成立,则实数a的范围为
四.整体消元,不等式
例题1.(2011浙江文数16)若实数兀、y满足x2+y2+xy=l,贝ijx+v的最人值为
2y/3
(2011浙江理16)设兀,)'
为实数,若4x2+y2+xy=l,则2兀+y的最大值是
变式1.若实数x>
0,y>
0,兀+y+丄+丄=10,则兀+y的最大值是
兀y
5+717
变式2.(2010重庆理数7)已知x>
0,y>
0,兀+2y+2xy=8,贝U+2y的最小值是()
9,11
A.3B.4C.—D.—
22
考察均值不等式
(2\2
x+2y=8-x-(2y)>
8--_,整理得(x+2y『+4(兀+2),)—32»
I2丿
即(x+2y-4X%+2y+8)>
0,乂x+2y>
0,/.x+2y>
B
变式3.(2011名校冲刺一镇海中学)已知2d+b+2ab=3,d〉0,b>
0,则2c+b有()
A.最大值2B.授大值3-V2C.最小值2D.最小值3-血
变式4.(2010浙江文数15)若正实数x、y,满足2x+y+6=xy,则小的最小值是
18
变式5.“];
亍”称为a,b,c三个正实数的“调和平均数”,若正数*y满足S,y,刃
—+—+—
ahc
的调和平均数为3”,则屮2y的最小值是()
A.3B.5C.7D.8
例题2.若实数x,y满足兀2+2=4,则_今_的蝕小值是.
x+y-2
1->
/^
变式1.(2007山东理16)函数y=log/x+3)一1(q>
0,dH1)的图象恒过定点4,若点A在直线
12
mx+与+1=0上,其中mn>
0”则一+—的最小值为・
inn
变式2.(2012天津10).设myngR,若直线(加+1)兀+⑺+l)y-2=0与圆(x-1)2+(y-l)2=1相切,则m+n的収值范围是()
(A)[1-V3,1+V3J
(B)(-co,l-U[1+V^,+g)
(C)[2-2V2,2+2a/2]
(D)(—oo,2—2^2]kJ[24-2a/2,+oo)
变式3.如果直线I:
mx+ny-2=0与圆C:
x24-b_4x-4y-8=0相切,则m+n+mn的最小值为
提不:
m2+n2=yj(m+n)2-2mrt,设m+n=x,mn=y,则
兀十2产石宀京—
例题3•已知”都是正实数,且满足log4(2a+fe)=log2V^,则2a+b的最小值为()
变式.(2012杭州一模10)设实数〃满足lg(d-l)+lg(b-2)=lg2,则a+b的取值范围是()
⑷(3,+8)
⑻[3+2“,+g)(0(2,+8)(。
)[2血,+8)答案:
例题4.(2014浙江文数16)若实数°
、b、c满足d+b+c=0,a2+b2+c2=l,则°
的最大值为
£
变式1•若正实数x,八z满足x+.y+z=4,兀y+yz+zx=5,则x+y的最大值是
—
变式2.(文科)实数o>
b〉c,满足a+b=\-c,«
./7=c(c-l),则c的取值范围为
(一丄,0)提示:
ab=c(c-\),a-h>
c2=>
c(c-\)>
c<
变式3・(理科)实数4>
b>
C,满足d+b+C=l,疋+庆+。
2=1,则c的取值范围为答案:
"
一亍°
)
五・1的代换
14
例题1.(2011重庆理数7)已知。
〉0"
0卫+b=2,则尸一+—的最小值是()ab
变式1・设错误!
,错误!
,若错误!
不能通过编辑域代码创建对象。
,则错误!
的授小值为()
A.错误!
B.6C.错误!
不能通过编辑域代码创
建对象。
D.2近
变式2・若e(0,oo),2兀+8),—小=0,求兀+y的最小值.
变式3.(2012浙江文数9)若正数满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值•为()
2428
A.—B.—C.5D.6
55
变式4.(2013年髙考夭津卷)设b>
0,a+b=2,则丄+凹的最小值为…
21aIb
-
变式5.(2012杭州二模)正项等比数列仏}屮,存在两项〜,a”(加,mN”)使得屁兀=4%,
且幻=%+2知则丄+丄的最小值是()
mn
A.2B.1+匣C.兰D・座
4363
6.构造函数
例题1・若a,b>
0,ea+2a=eh+3bf则a,〃的大小关系为
a>
b
变式1・已知且aHb,若店=bJ(e为口然对数的底数),贝IJ下列正确的是()
C.In(-a)-ln(-/?
)-b-aD.ln(-a)-ln(-Z?
)-a-b
变式2.已知函数J\x)=\nx+(x-a)2f若<
x2)是/(兀)的两个极值点,则/(西)+/(吃)的取
值范围为
7.几何意义
例题1・设M是AABC内一点,AB・AC=2>
/3,ZBAC=30\定义/(M)=其屮加,"
丿分
别是ZWC,△MAC,AMAB的面积,若/(M)=(丄,兀,刃丄+*=a,则的取值范围
2ya
是.
变式1.设・f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的兀都有•/(-x)+/(x)=O恒成立.如果实数杯H
满足不等式f{m2-6m+21)+f(n2-8n)<
0,那么m2+n2的取值范围是
变式2.不等式2x2-axy^y2<
0,对于任意xe[l,2],ye[1,3],恒成立,则实数。
的范围是
线性规划
8.柯西不等式
例题1・设错误!
的最小值为()
D.2>
/2
19
变式1.若不等式mW以+□在xW(O,1)时恒成立,则实数ni的最大值为
变式2.(2010四川理)设d>
b〉c〉O,则2亍+丄+—!
10必+25圧的最小值是()
aba(a-b)
解析:
2a_H11Ocic+25c~
=(a—5c)2+—cib+ab1
=(a-5c)2+ab+—+a(a-h)-\
20+2+2=4
当且仅当a—5c=0,ab=l,a(a_b)=1时等号成立
b/?
如取a=迈,b=,c=——满足条件.
(11)设d>
o,则/+丄+1的最小值是
ciba[a-b)
=ci~—cib+abHF
aba(ci—b)
="
+丄+d(a-b)
22+2=4
当且仅当abfa(a-b)=1时等号成立
如取。
丁满足条件.
九・其他
例题.(2011名校交流卷学军中学)若关于x的不等式
T宀尹曰的解集为[讪,则⑷的值为
A.2B.5C.|
A变式1.(名校交流卷三镇海中学)若对于兀的不等式2-卜-⑷〉/至少冇一个负数解,则实数G的取值范
围是()
9577
A.—vav2B.—vav2C.—<
a<
2D.—<
ci<
4443
变式2.在实数集/?
上定义运算s:
A
无sy=x(l一y),若(x_Q)s(x+d)〈l对任意实数无都成立,则
实数的取值范围是
变式3.(名校交流卷五)已^0f(x)=ax2+c(a,b,ceR),当兀丘[-1,1]时,都有-1<
/(x)<
l成立,且
a+bA2,贝ijc=
-1<
/(!
)<
!
-1<
/(O)<
变式4.(2011名校交流一诸暨中学)二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+oo),K/(l)<
4,则
M=J—+1—的取值范围为
l+4cr+4
17
[―,—1分析:
ac=4,a+c<
&
a+c»
4,
24
_亠+亠=亠+亠
c~+40+4L+ac<
r+acac(a+c)4(a+c)4t
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