中考不等式与方程复习有答案Word文档格式.docx
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例1、
(1)已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1,2,3,则a的取值范围是________.
(2)已知关于x的不等式组
无解,则a的取值范围是________.
分析:
对于
(1),由题意知不等式的解在x<4的范围内;
对于
(2),从数轴上看,原不等式组中两个不等式的解集无公共部分.
解:
(1)由题意得
,∴9≤a<12.
(2)由
(1)得x>a,由
(2)得x≤3,因不等式组无解,∴a≤3.
说明:
确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有:
(1)逆用不等式(组)解集确定;
(2)分类讨论确定;
(3)借助数轴确定.
例2、解下列关于x的不等式(组).
(1)|x-2|≤2x-10;
(2)(2mx+3)-n<3x.
对于
(1)确定“零界点”x=2(令x-2=0得x=2)分x≥2和x<2,去掉绝对值后求出不等式的解集;
对于
(2),化为ax<b的形式,再就a的正负性讨论.
说明:
涉及未知系数或绝对值式子的题目,均可用零点分段讨论法解答.
例3、已知3a+2b-6=ac+4b-8=0且a≥b>0求c的取值范围.
消去a,b得到关于c的不等式组,解不等式组得c的取值范围.
已知不等式组的解集,求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用,处理这类问题时,可先求出原不等式组含有字母的解集,然后对照已知“对号入座”,应取有针对性的方法.
例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元,书法练习本每本售价5元,该商场为促销制定了两种优惠方法:
甲:
买一支毛笔就赠送一本书法练习本;
乙:
按购买金额打九折付款.
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本.
(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式;
(2)比较购买同样多的书法练习本时,按哪种优惠办法付款更省钱;
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买,也可以同时用两种优惠办法购买,请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案.
(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关,因此应分类讨论;
(3)中因为可同时用两种优惠办法购买,所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解.
(1)依题意,可得y甲=25×
10+5(x-10)=5x+200(x≥10);
y乙=(25×
10+5x)×
90%=4.5x+225(x≥10)
(2)由
(1)有y甲-y乙=0.5x-25
当y甲-y乙=0时,解得x=50;
当y甲-y乙>0时,解得x>50;
当y甲-y乙<0时,解得x<50.
所以,当购买50本书法练习本时,两种优惠办法的实际付款一样,即可任选一种办法付款,当购买本数在10~50之间时,选择优惠办法甲付款更省钱;
当购买本数大于50本时,选择优惠办法乙更省钱.
(3)①因为60>50,由
(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买.
若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25×
10+5×
60)×
90%=495(元)
②若用优惠办法乙购买m支毛笔,则须用优惠办法甲购买(10-m)支毛笔,用优惠办法乙购买60-(10-m)=m+50本书法练习本,设付款总金额为P,则:
P=25(10-m)+[25m+5(m+50)]×
90%=2m+475(0≤m≤10)
所以,当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔,再用优惠办法乙购买50本书法练习本时,P取得最小值为:
2×
0+475=475(元)
故选用优惠办法甲购买10支毛笔,再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱.
例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg,乙种原料212kg,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件,生产一件A产品需要甲种原料5kg,乙种原料1.5kg,生产成本是120元;
生产一件B产品,需要甲种原料2.5kg,乙种原料3.5kg,生产成本是200元.
(1)该化工厂现有的原料能否保证生产?
若能的话,有几种生产方案?
请你设计出来.
(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元,其中一种生产的件数为x,试写出y与x之间的关系式,并利用关系式说明
(1)中哪种生产方案总成本最低?
最低生产总成本是多少?
若设安排生产A种产品x件,根据题意可建立关于x的不等式组,解出不等式组得x的取值范围.由x为整数在取值范围内确定x的取值,从而得出生产方案,然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式,根据此关系式求出最低生产总成本.
(1)设安排生产A种产品x件,则生产B种产品(80-x)件,依题意,可得:
解得:
34≤x≤36
因为x为整数,所以x只能取34或35或36.
所以该工厂现有的原料能保证生产,有三种生产方案:
第一种:
生产A种产品34件,B种产品46件;
第二种:
生产A种产品35件,B种产品45件;
第三种:
生产A种产品36件,B种产品44件.
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(80-x)件,依题意,可得:
y=120x+200(80-x)即y=-80x+16000(x取34或35或36)
由式子可知,当x取最大值36时,y取最小值为-80×
36+16000=13120元,即第三种方案;
生产A种产品36件,B种产品44件,总成本最低,最低生产成本是13120元.
利用列不等式组然后求出不等式组的集,在其解集内求出符合条件(一般是整数)的值,是解方案设计型应用题的常用方法.
方程与方程组
1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质.
2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况.
(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1.
(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况:
①当a≠0时,方程有唯一解
;
②当a=0,b≠0时,方程无解.
③当a=0,b=0时,方程有无穷多解.
3、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)
其解法主要有:
直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:
注意:
求根公式成立的条件为:
①a≠0;
②b2-4ac≥0.
5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根.
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即
当△<0时,方程没有实根,反之成立.
6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则
7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(α+β)x+αβ=0.
8、解一次方程组的基本思想是消元,常用的消元方法是加减消元法和代入消元法.
9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”.①若方程组中有一个是一次方程,则一般用代入消元法求解;
②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程,则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解.
10、简单的分式方程组的解法,一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解,并要验解.
11、方程组的解的存在性问题,一般转化为方程的解的存在性问题来研究.
点评:
灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧.
(1)若括号内有分数时,则由外向内先去括号,再去分母;
(2)若有多重括号,则去括号与合并同类项交替进行;
(3)恰当用整体思想.
例2、解下列关于x的方程.
(1)4x+b=ax-8(a≠4)
(2)mx-1=nx
(3)
把方程化为一般形式后,再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.
例4、已知m是整数,方程组
有整数解,求m的值.
先求出y,运用整除的性质求出m的值,需注意所求的整数m要使得x也为整数.
解:
由原方程组解得
,
若y有整数解,则2m+9=±
1或±
2或±
17或±
34,经检验当2m+9=±
17时,m为整数且x也为整数,得m=4或-4或-5或-13.
例5、已知关于x的一元二次方程
有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围;
例7、解下列方程
(2)3x2+x-7=0
对于
(1)首先应回避复杂的小数运算,注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质.
对于
(2)此方程用分解因式法难以行通,故考虑用求根公式.
(1)原方程化简得
方程两边都乘以12(即去分母)得
3(35x-5)=4(5-x)-6(25x+5)
去括号得:
105x-15=20-4x-150x-30
移项及合并同类项得:
259x=5
例8、如果关于x的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实根,试说明关于x的方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
由一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,可以得出k≠0,b2-4ac<0,从而求出k的取值范围,再由k的取值范围来说明(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
∵关于kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,
解得k>4
当k=5时,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0为一元一次方程,-14x+5=0,此时方程的根为
.
当k≠5时,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0为一元二次方程
∴△=[-2(k+2)]2-4(k-5)·
k=4(9k+4)
∵k>4且k≠5,∴△=4(9k+4)>0
∴此时方程必有两不等实数根,
综上可知方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别.方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程,此时方程有一实数根,方程也可能为一元二次方程,此时方程有两个实数根,而方程“有两个实数根”,则表示此时方程一定为一元二次方程.
构造一元二次方程是解题的常用技巧,构造的主要方法有:
(1)当已知等式具有相同的结构,就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程;
(2)对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.
分式方程
1、分式方程:
分母中含有未知数的有理方程叫分式方程.
2、解分式方程的基本思想方法是:
3、解分式方程必须验根.
二、典型例题剖析
例1、解方程
根据解分式方程的一般步骤来解此题.
方程两边同乘以(x+3)(x-2)得:
10+2(x-2)=(x+3)(x-2)
化简,整理得:
x2-x-12=0
解之得x1=-3或x2=4
经检验可知:
x1=-3是原方程的增根,x2=4是原方程的根.
∴原方程的根是x=4.
用换元法解这些分式方程.
(1)设x2-x=y,则原方程变为
解这个方程得y1=-2,y2=6,
当y1=-2时,x2-x=-2,此方程无解;
当y2=6时,x2-x=6,∴x1=-2,x2=3.
经检验可知:
x1=-2,x2=3都是原方程的根.
∴原方程的解为x1=-2,x2=3.
例3、当m为何值时,关于x的方程
无实根?
先将分式方程化为整式方程,如果整式方程有实根,那么这些根均是原方程的增根,这样x=0或x=1是所得整式方程的根,如果整式方程无实根,那么原方程也无实根.
原方程去分母,整理得:
x2-x+2-m=0 ①
(1)若方程①有实根,根据题意知,方程①的根为x=0或x=1.
把x=0或x=1代入方程①得m=2.
而x=0或x=1是原方程的增根.
∴当m=2时原方程无实根.
(2)若方程
(1)无实根,则△=(-1)2-4(2-m)<0
解之得
∴当
时,原方程无实根.
综合之,当m=2或
例4、若方程
有增根,试求m的值.
分式方程将会产生增根,即最简公分母x2-4=0,故方程产生增根有两种可能:
x1=2,x2=-2.由增根的定义知:
x1=2,x2=-2是原分式方程去分母化成整式方程的根,由根的定义即可求出m的值.
将原方程去分母得:
2(x+2)+mx=3(x-2)
整理得:
(m-1)x=-10
(1)
∵原方程有增根,∴x2-4=0
∴x1=2,x2=-2.
将x1=2代入
(1)得2(m-1)=-10
∴m=-4
将x2=-2代入
(1)得-2(m-1)=-10
∴m=6
所以m的值为-4或6.
(1)增根的求法:
令最简公分母为0;
(2)求有增根的方程中参数的值,应先求出可能的增根,再将其代入化简后的整式方程即可.
例5、已知a2-a-1=0且
求x的值.
为求x的值,须将x与a2分离,联想到分式的基本性质,从而原等式含
,这样应从条件出发构造倒数关系.
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