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C.对任意x>0,总有ex<1
D.对任意x≤0,总有ex<1
因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p:
对任意x>0,总有ex≥1的否定綈p为:
存在x0>0,使得ex0<1.故选B.
B
5.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=( )
A.[0,1]B.(0,1]
C.[0,1)D.(-∞,1]
M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1],故选A.
6.已知命题p:
∃x0∈R,tanx0=1,命题q:
∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是( )
A.命题“p∧q”是真命题
B.命题“p∧(綈q)”是假命题
C.命题“(綈p)∨q”是真命题
D.命题“(綈p)∧(綈q)”是假命题
取x0=
,有tan
=1,故命题p是真命题;
当x=0时,x2=0,故命题q是假命题.再根据复合命题的真值表,知选项D是正确的.
D
7.(2017·
山东聊城模拟)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0B.1
C.2D.4
因为A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16},
所以
则a=4.
8.已知x∈R,则“x2-3x>0”是“x-4>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
判断x2-3x>0⇒x-4>0还是x-4>0⇒x2-3x>0.
注意到x2-3x>0⇔x<0或x>3,x-4>0⇔x>4.由x2-3x>0不能得出x-4>0;
反过来,由x-4>0可得出x2-3x>0,因此“x2-3x>0”是“x-4>0”的必要不充分条件.
9.(2017·
河南郑州市高三质检)设全集U={x∈N*|x≤4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=( )
A.{1,2,3}B.{1,2,4}
C.{1,3,4}D.{2,3,4}
法一:
本题主要考查集合的基本运算.
因为U={1,2,3,4},A∩B={4},所以∁U(A∩B)={1,2,3},故选A.
法二:
∵A∩B={4},∴4∉∁U(A∩B),排除B、C、D,只能选A.
10.(2017·
武汉调研)已知命题p:
x≥1,命题q:
<1,则綈p是q的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
由题意,得綈p为x<1,由
<1,得x>1或x<0,故q为x>1或x<0,所以綈p是q的既不充分也不必要条件,故选D.
11.(2017·
高考天津卷)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}
A∪B={1,2,4,6},
又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4},
故选B.
12.若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠∅”的充要条件是( )
A.a>-2B.a≤-2
C.a>-1D.a≥-1
A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a},如图所示:
∵A∩B≠∅,∴a>-1.
二、填空题
13.集合{-1,0,1}共有________个子集.
集合{-1,0,1}的子集有∅,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1},共8个.
8
14.若命题“∃x0∈R,x
-2x0+m≤0”是假命题,则m的取值范围是________.
由题意,命题“∀x∈R,x2-2x+m>0”是真命题,故Δ=(-2)2-4m<0,即m>1.
(1,+∞)
15.已知A={x|x2-3x+2<
0},B={x|1<
x<
a},若A⊆B,则实数a的取值范围是________.
因为A={x|x2-3x+2<
0}={x|1<
2}⊆B,所以a≥2.
a≥2
16.若关于x的不等式|x-m|<2成立的充分不必要条件是2≤x≤3,则实数m的取值范围是________.
由|x-m|<2得-2<x-m<2,即m-2<x<m+2.依题意有集合{x|2≤x≤3}是{x|m-2<x<m+2}的真子集,于是有
,由此解得1<m<4,即实数m的取值范围是(1,4).
(1,4)
B组——12+4高考提速练
1.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )
A.A=BB.A∩B=∅
C.ABD.BA
∵A={1,2,3},B={2,3},∴A≠B,A∩B={2,3}≠∅;
又1∈A且1∉B,∴A不是B的子集,故选D.
皖江名校联考)命题p:
存在x0∈
,使sinx0+cosx0>
;
命题q:
命题“∃x0∈R,2x
+3x0-5=0”的否定是“∀x∈R,2x2+3x-5≠0”,则四个命题(綈p)∨(綈q),p∧q,(綈p)∧q,p∨(綈q)中,真命题的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
因为sinx+cosx=
sin
≤
,故命题p为假命题;
特称命题的否定为全称命题,易知命题q为真命题,故(綈p)∨(綈q)真,p∧q假,(綈p)∧q真,p∨(綈q)假.
3.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
A.5B.4
C.3D.2
集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},故选C.
4.“x∈
”是“函数y=sin
为单调递增函数”的( )
若函数y=sin
为单调递增函数,
则-
+2kπ≤x+
+2kπ,k∈Z,
即-
+2kπ≤x≤
+2kπ,k∈Z.
从而函数y=sin
的单调递增区间是
(k∈Z).
因此若x∈
,则函数y=sin
为单调递增函数;
为单调递增函数⇒/ x∈
.
所以“x∈
为单调递增函数”的充分不必要条件.故选A.
5.若全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )
由题意知,N={x|x2+x=0}={-1,0},而M={-1,0,1},所以NM,故选B.
6.给出下列命题:
①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>1;
③“若a>b>0且c<0,则
>
”的逆否命题;
④若p且q为假命题,则p,q均为假命题.
其中真命题是( )
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立;
②中不等式可变为log2x+
≥2,得x>1;
③中由a>b>0,得
<
,而c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;
④由p且q为假只能得出p,q中至少有一个为假,④不正确.
7.若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于( )
A.{-1}B.{1}
C.{1,-1}D.∅
A={i,-1,-i,1},B={1,-1},所以A∩B={1,-1},故选C.
8.(2017·
广州高考模拟)下列说法中正确的是( )
A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B.若p:
∃x0∈R,x
-x0-1>0,则綈p:
∀x∈R,x2-x-1<0
C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
D.命题“若α=
,则sinα=
”的否命题是“若α≠
,则sinα≠
”
f(0)=0,函数f(x)不一定是奇函数,如f(x)=x2,所以A错误;
若p:
∀x∈R,x2-x-1≤0,所以B错误;
p,q只要有一个是假命题,则p∧q为假命题,所以C错误;
否命题是将原命题的条件和结论都否定,D正确.
9.设集合A={x||x-1|<
2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )
A.[0,2]B.(1,3)
C.[1,3)D.(1,4)
A={x||x-1|<
2}={x|-1<
3},B={y|y=2x,x∈[0,2]}={y|1≤y≤4},∴A∩B={x|-1<
3}∩{y|1≤y≤4}={x|1≤x<
3}.
10.已知命题p:
函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点;
函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且綈q为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(-∞,2]
C.(1,2]D.(-∞,1]∪(2,+∞)
由题意可得,对命题p,令f(0)·
f
(1)<0,即-1·
(2a-2)<0,得a>1;
对命题q,令2-a<0,即a>2,则綈q对应的a的范围是(-∞,2].因为p且綈q为真命题,所以实数a的取值范围是1<a≤2.故选C.
11.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩∁IM=∅,则M∪N=( )
A.MB.N
C.ID.∅
∵N∩∁IM=∅,∴N⊆M.又M≠N,∴NM,∴M∪N=M.故选A.
12.(2016·
高考浙江卷)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
∵f(x)=x2+bx=
2-
,当x=-
时,f(x)min=-
,又f(f(x))=(f(x))2+bf(x)=
,当f(x)=-
时,f(f(x))min=-
,当-
≥-
时,f(f(x))可以取到最小值-
,即b2-2b≥0,解得b≤0或b≥2,故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.选A.
13.已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=________.
由x2-x-2≤0得-1≤x≤2,故集合A中的整数为-1,0,1,2.所以A∩B={-1,0,1,2}.
{-1,0,1,2}
14.(2017·
高考江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为________.
∵A∩B={1},A={1,2},∴1∈B且2∉B.
若a=1,则a2+3=4,符合题意.
又a2+3≥3≠1,故a=1.
1
15.已知p:
∃x0∈R,mx
+2≤0,q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是________.
因为p∨q是假命题,
所以p和q都是假命题.
由p:
+2≤0为假命题知,
綈p:
∀x∈R,mx2+2>0为真命题,
所以m≥0.①
由q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0为假命题知,
綈q:
-2mx0+1≤0为真命题,
所以Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②由①和②得m≥1.
[1,+∞)
16.下列四个命题中,真命题有________(写出所有真命题的序号).
①若a,b,c∈R,则“ac2>bc2”是“a>b”成立的充分不必要条件;
②命题“∃x0∈R,x
+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”;
③命题“若|x|≥2,则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|<2,则-2<x<2”;
④函数f(x)=lnx+x-
在区间(1,2)上有且仅有一个零点.
①若c=0,则不论a,b的大小关系如何,都有ac2=bc2,而若ac2>bc2,则有a>b,故“ac2>bc2”是“a>b”成立的充分不必要条件,故①为真命题;
②特称命题的否定是全称命题,故命题“∃x0∈R,x
+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”,故②为真命题;
③命题“若p,则q”形式的命题的否命题是“若綈p,则綈q”,故命题“若|x|≥2,则x≥2或x≤-2”“若|x|<2,则-2<x<2”,故③为真命题;
④由于f
(1)f
(2)=
=
×
<0,则函数f(x)=lnx+x-
在区间(1,2)上存在零点,又函数f(x)=lnx+x-
在区间(1,2)上为增函数,所以函数f(x)=lnx+x-
在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故④为真命题.
①②③④
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