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\
0<
a<
1
图象
y
(0,1)
/.V-1
nr
丄…尸]
丿
1丄
d\i~x
定义域
R
值域
(0,+°
°
)
性质
过定点(0,1J
当x>
0时,y>
l;
当x<
0时,0<
v<
l
0时,Ovyvl当xvO时,v>
1;
在R上是增函数
在R上是减函数
二、对数
概念
如果ax=N(a>
OfgHI),那么数x叫做以g为底W的对数,记作x=\qoaN,其中。
叫做对数的底数,N叫做真数
底数的限制:
。
>
0,且dHl
对数式与指数式的互化:
a"
=N=>
lo為N=x负数和零没有对数,1的对数是log.1=0底数的对数是丄:
log“a=_L,对数恒等式:
a\ogaN=N
运算性质
dA且0,MW
a
MW
换底公式
•9
知
C
■
H
*
•9知
0,疗
(«
zc6sgoOnn
-
cri
s
:
式公
1og
-1
0og«
g<
onlm
2•对数函数的图象与性质
a>
Ovavl
X=1
1:
图
厂一
弋(1,0)
象
oV7(^)~~x
定义域:
+°
值域:
性
过定点丄
0)
质
l时,)?
当Q1时,y<
当0<
r<
l时•,y<
当gvl时,);
在(0,+«
)上是增函数
在(0,+8)上是减函数
一、选择题
([x2x2-5x+/>
z[xx2+x+6
1.设函数/(X)=-,g(Q=_,若f(x)<
g(x)对于任意实数八恒成
I2丿I2丿
立,则实数方的取值范围是()
A.b>
12B.b<
12C.b<
15D.b>
15
2.函数y=/(x)是R上的奇函数,满足/(3+x)=/(3-x),当xw(0,3)吋f(x)=2x,则
当xw(-6,-3)时,f(x)=()
A.2X+6
B.
Qx+6
c.
2-6
D.
-2
x-6
3•设lvavbva?
则在四个数2,logab,logba,logaba2H'
最大的和最小的分别是()<
A)2,logba(B)2,logaba2(C)logab,logba(D)logab,logaba2
二.填空
4•已矢Ua>
0,f(x)
ax+\[a
'
则兀金)5為)+“W(
鸣二
2004
5.
则实数a的取值范围是
已知函数/(%)=lg[(a2一l)x2+(a+l)x+1]的定义域为(-oo,+oo),
6.先将函数f(x)=ln丄的图像作关于原点的对称变换,然后向右平移1个单位,再作关于y二x
1-X
的对称变换,则此时的图像所对应的函数的解析式是O
7.已知隊[数y=log!
[ax2+2x+(a-l)]fKj值域是[0,),则参数a的值是。
三、解答题
8口知定义域为斤的函数/(%)=
-T+b
是奇两数.
⑴求于(x);
(2)判断函数/(尢)的单调性(不必证明)
(3)若对任意的re/?
不等式/(r2-2r)+/(2r2-)t)<0恒成立,求斤的収值范围.
9•已知函数/(x)=(丄)「门一1,1],函数g(x)=/2(x)_2妙(力+3的最小值为h@).
(1)求力(d)的解析式;
(2)是否存在实数加/同吋满足下列两个条件:
②当/2@)的定义域为"
,加]时,值域为?
若存在,求\Wm.n的值;
若不存在,请说明理由
10.函数f(x)=log2[ax2+(a+2)x+2(a+2)]在区间[a+2,2(a+2)]上恒有定义,求实数。
的取值范围.
11.(本题满分12分)已知函数/(x)=lg(x+--2),其中。
是大于0的常数
X
(1)设£
(兀)=兀+牛,判断并证明£
(兀)在[丽,+oo)内的单调性;
(2)当*(1,4)时,求函数/(兀)在[2+8)内的最小值;
(3)若对任意XG[2,+oo)恒有/(x)>0,试确定a的取值范围。
—2—ax
12.(12分)己知函数/(x)=x3+10g,——为奇函数,d为常数.
3x-2
(1)求d的值;
(2)当xw(3,4]时,于(兀)是否存在最人值?
若存在,求出最人值,若不存在,请说明理由;
(3)设函数tg(x)=x3+(-)r+m,当加为何值时,不等式/(x)>
g(x)在xw(3,4]有实数解?
13.(12分)函数y二f(x)满足lg(lgy)=lg3x+]g(3-x),
(1)求f(x):
(2)求f(x)的值域;
(3)求f(x)的递减区间.
/y
14.已知二次函数g(兀)二处一2血+b+l(d>
0)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1・
(I)求函数&
仕)的解析式;
心)二迴v、
(II)设兀若/
(2)-「2在"
[-1,1]吋恒成立,求心勺取值范围.
试卷答案
1.D
2.B
3.A
42003
2
5.a>
—或。
<
-1
3
6.y=ex
7.1-V2
8.解
(1)因为/⑴是只上的奇函数,所以
一1
f(0)=0,即=0,解得b=1
2+d
(2)由
(1)知/(%)=
2丫+1
2X+1+2
11
=1
22”+1
由y=2V的单调性nJ•推知/(X)在R上为减函数
_2丫+]11
(3)解法一:
由
(1)知/(%)=——=一一+,
2如+222”+1
由上式易知/(%)在R上为减函数,乂因于(兀)是奇函数,从而不等式
f(t2一2r)+f(2t2-k)<
0等价于f(t2一2t)<
-f(2t2-k)=f(-2t2+k).…….2分因/(%)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>
-2t2+k.
即对一切fg/?
有3/2-2r-jt>
0,从而
9.解析:
(1)由/(x)=(|)v,xg
△二4+12kv0,解得k<
--2分
[—1,1],f(x)e一,3,令t=f(x)E-,3
.1分
记g(x)=y=t2-2at+3,则g(x)的对称轴为t=a,故有:
1CQC
1当a5—时,g(x)的最小值h(ci)=-
393
2当a>
3时,g(兀)的最小值/i(q)=12-6a
3当-<
3时,g(x)的最小值/i(a)=3-a2
综述,
—
1c
—<
a<
7分
28_2a
~9~~^
h(a)=<
3—a2
12—6。
(2)当a>
3时,h(a)=-6tz4-12.故m>
/?
>
3时,/z(d)在[n,m]上为减函数.
所以/2(d)在[弘加]上的值域为
[h(m),h{n)].9分
h(m)=n2—6m+12=z?
200
7=>
<
两式相减得6n-6m=n~-m2,乂mn
h(n)=tn2[—6n+12=m2
所以777+n=6,这与加>
72>
3矛盾.故不存在满足题中条件的加,71的值.
10.解析:
设g(x)=ax2+(a+2)x+2(a+2),则f(x)=log2[ax2+(a+2)兀+2(a+2)]在区间[a+2,2(a+2)]上恒有定义即g(x)>
0在[a+2,2(a+2)]上恒成立.
当a=0时,g(x)=2x+4>
0于[2,4]上恒成立.
IC
当Q>
0时,g(x)的对称轴一一VO,g⑴在S+2,2(d+2)]上单调增加,所以,2a
g(a+2)=(a+2)3+3a+4)>
0,
由d+2>
0,6Z2+36f+4>
0,所以GW(0,+oo)・
当a<
0时,
g(x)>
0于[a+2,2(a+2)]上恒成立,则
g(d+2)>
g[2(d+2)]>
由g(a+2)=(a+2)(a〜+3a+4)>
0,+3a+4>
0,得
d+2>
0,即—2;
由g[2(a+2)]=(a+2)(2/+5«
+3)>
0,得M+5°
+3>
0,
解得GV-。
或°
-l,所以,-2vdV-0或-lvavO.
22
综上,tlG(-2,--)U(-l,+oo).
11.解析:
(I)
凶
III)对于[3,4]上的每一个力的值,不等式
±
1
恒成立,
即:
恒成立
••TO分
令
(II)证明:
由(I)知:
在R上单调递增,
由(II)知:
12分
12.
(1)增函数,川定义证明.
(2)设w(x)=x+—-2,当ae(1,4),xg[2,+oo)吋
x
由
(1)知〃(兀)=兀+纟一2在[2,+8)上是增函数
A/(x)=lg(x+--2)在[2,+oo)上是增函数
・・・f(x)=lg(x+兰-2)在[2,+co)上的最小值为/
(2)=lg-
x2
(3)对任意XG[2,+oo)恒有/(x)>
0,即%+--2>
1对兀w[2,+oo)恒成立
39
・・・d>
3x-x2,而h(x)=3x-x2=-(j--)24--在*[2,+oo)上是减函数
/i(x)max=h
(2)=2,a>
i】■
(1)a=
(2)(3)—
13.16
13考点:
对数的运算性质;
指数函数综合题;
对数函数的图像与性质.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)山lg(lgy)=lg3x+]g(3-x),可得lg(lgy)=lg[3x(3-x)],0<
x<
3.lgy=3x(3-x),即可得出.
(2)令u二3x(3・x)=-3(x-舟)2+马在(0,冷)上单调递增,在[丄,3)上单调递
2422
减;
而10“是增函数,即可得出f(0)<
f(x)<
f(令,
(3)由
(2)可知:
函数f(x)的递减区间为[号,3)・
解答:
(1)Vlg(lgy)=lg3x+lg(3-x),
Alg(lgy)=lg[3x(3-x)],0<
3.
/.lgy=3x(3-x),
・・・f(x)=y=103x(3"
x),xE(0,3).
(2)令u=3x(3・x)=-3(x-弓)2+孕在(0,弓)上单调递增,在[弓,3)上单调递减;
而10。
是增函数.
・・.f(0)<
f(~|),
27
・・・f(x)的值域为(1,10]•
14.解:
(i)・・・g(QM(x—l)2-d+l+b
・・・函数g°
)的图彖的对称轴方程为*=
・・・a>
0.・.g(x)=d(x_l)2_d+]+b在区间[2,3]上递增。
Jg⑵=1
依题意得]gG)=4
Ja-a+l+b=lJtz=1
即仏—g+1+24,解得爲=0
・^(x)=x一2x+l
••
蚀=型/(x)=£
W=x+1_2
(II)Vx・・・XX
・.・/(2'
)-「2”在xe[-l,1]时恒成立,
2”+丄-2-mo「1n
即2'
在兀"
一1,II时恒成立
1?
八1
—)—2(—)+1「[[[
・・・2’2'
在灯[一1,1]时恒成立
(11、
k-(歹)2-2(歹)+1
只需v22丿斷
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