完整版2质点运动定律习题思考题Word文件下载.docx
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⑵求路程x随时间t的变化规律;
kx
(3)证明速度v与路程x之间的关系为vV°
e,其中k
k/m。
解:
(1)由牛顿运动定律Fma得:
kv2
m竺,分离变量有—dt
dt
两边积分得:
速率随时间变化的规律为
'
(2)由位移和速度的积分关系:
dt,
积分有:
t1
x
01kx
t
V0m
kln(丄
mV0
-t)
k1
kln丄•••路程随时间变化的规律为:
V0
x上ln(1—V0t);
mm
(3)由kv2
dvdxm
dxdt
kdxm
dx
Vdv
V0V
积分有:
vv0e
kx
2-3•质量为m的子弹以速度V。
水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例
(2)子弹进入沙土的最
系数为k,忽略子弹的重力,求:
(1)子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式;
大深度。
(1)由题意,子弹射入沙土中的阻力表达式为:
fmdv,则kv
k
dt,两边同时积分,
又由牛顿第二定律可得:
dv
m—
kv
分离变量,可得:
vv°
em
有:
0dv
所以:
(2)子弹进入沙土的最大深度也就是v0的时候子弹的位移,
考虑到dv
dvdx
dxdt
不,可推出:
则:
max
0m,m
vomdvmv°
。
^dt,m
-dv,而这个式子两边积分就可以得到位移:
2-4•—条质量分布均匀的绳子,质量为M、长度为L,一端拴在竖直转轴00'
.
上,并以恒定角速度在水平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且'
忽略重力,求距转轴为r处绳中的张力T(r).['
:
在绳子L上距离转轴为r处取一小段微元绳子,假设其质量为dm,可知:
|
MV/Z/Z
dmdr,因为它做的是圆周运动,所以微元绳的所受合力提供向心力:
dT(r)2rdm2r。
L
距转轴为r处绳中的张力T(r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力,所以两边积分:
lM222
T(r)dT(r)M—(L2r2)。
r2L
2-5.已知一质量为m的质点在x轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比,即fk/x2,k是比例常数.设质点在xA时的速度为零,求质点在xA/4
处的速度的大小。
0时,它的初
vv2v
2-6.一质量为2kg的质点,在xy平面上运动,受到外力F4i24tj(SI)的作用,t
vvv
速度为v。
3i4j(SI),求t1s时质点的速度及受到的法向力Fn。
由于是在平面运动,所以考虑矢量。
vv
vdvv2vdv
由:
Fm「,有:
4i24t2j2匚,两边积分有:
dtdt
vv11v2vvvv3v
dv—(4i24t2j)dt,二vv。
2ti4t3j,
v°
02
vvvvv
考虑到v。
3i4j,t1s,有v5i
由于在自然坐标系中,vv首,而v-i5v(t1s时),表明在t1s时,切向速度方向就是i方向,所
vvv2vvvvvv
以,此时法向的力是j方向的,则利用F4i24t2j,将t1s代入有F4i24j4首24en,•••Fn24N。
2-7•如图,用质量为的板车运载一质量为m2的木箱,车板与箱底间的摩擦系数为,车与路面间的
滚动摩擦可不计,计算拉车的力F为多少才能保证木箱不致滑动?
解法一:
根据题意,要使木箱不致于滑动,必须使板车与木箱具有相同的加速度,且上限车板与箱底间为
最大摩擦。
Fffmax
即:
a
叶m2m2
可得:
F(gm2)g
解法二:
设木箱不致于滑动的最大拉力为
Fmaxm2gga
m2g|m2a
联立得:
Fmax(m1m2)g,
有:
Fgm2)g。
2-8•如图所示一倾角为的斜面放在水平面上,斜面上放一木块,
两者间摩擦系数为(tg)。
为使木块相对斜面静止,求斜面加速
度a的范围。
在斜面具有不同的加速度的时候,木块将分别具有向上和向下滑动的趋势,这就是加速度的两个范围,
由题意,可得:
可计算得到:
此时的a2
tan
1tan
g,所以:
tan
考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中,将物体m受力沿x'
和y'
方向分解,如图示,同时考虑非惯性力,隔离物块和斜面体,列出木块平衡式:
x'
方向:
mgsinmacosf0
y'
Nmgcosmasin0
考虑到fN,有:
mgsinmacos(mgcosmasin
Nsin
mgN
cos
Ncos
ma2
分离变量,有:
vdv
则两边积分,
得:
1gl
22
(221)gl
(2)
J_妲来看,棒可以全部浸入液体的条件为
即:
寸,假若有条件
1,则棒不能全部浸入液体;
1v
亍,设棒进入液体的最大深度为h,由积分°
vdv
h2gl
可得:
】v2gh,考虑到棒在最大深度时速度为零,有:
2221
22丨
1
(3)由牛顿运动定律GFn
ma知,当GFn时,a0,速度最大(设为vm)
2glS
1gxS,即
Xn
由积分vdv
—2gl
2l
虫dx,有:
21
o
1g2l2”),
2-10.圆柱形容器内装有一定量的液体,若它们一起绕圆柱轴以角速度的形状如何?
取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元
面,受力分析如图示。
列式:
Nsin
—,又由导数几何意义,
g
①/②有:
匀速转动,试问稳定旋转时液面
dz
—dy,积分有:
z
0时zz0所以
yc
2g
Cz0
z—y2z0,表明yoz剖面上,形成液面的抛物线;
2g
①,
m受重力mg和支持力N的作用,考虑yoz剖
同理,在xoz剖面上,可得:
zx2z0,稳定旋转时液面是一个抛物面,综上,在立体的三维坐
标xyz上,抛物面的方程为:
z(x2y2)z0。
2-11•质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动,劈形物质量为m1,放置在光滑的水平面上,斜面倾角为求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。
利用隔离体方法,设方形物m2相对于劈形物叶沿斜面下滑的加速度为a2'
,劈形物m1水平向左的加速度为a1,分析受力有:
方形物m2受力:
m2孑,N1,m2aV1(惯性力);
劈形物m1受力:
m^,N1,N2,如图;
对于m2,有沿斜面平行和垂直的方程为:
.m2a1cosm2gsinmba2'
①
N1m2a1sinm2gcos②
对于叶,有:
N1sin叶印③
将③代入有②:
mb®
sinm2gcos,
sin
m2sincos
・2
mm2sin
g,代入①,有:
a2
(m1m2)sin
~2g
m1m2sin
再将a2'
在水平和竖直两方向上分解,有:
a2x
a2y
(m,m2)sincos
.2g
mm2sin
(mhm2)sin2
~ga2y
…a2xaa2x
msincos
m1
m2sin2
而相互作用力:
N1
m1a1
m1m2cos
:
~2
2-12•一小环套在光滑细杆上,细杆以倾角杆端点O的距离r。
根据题意,当小环能平衡时,其运动为绕
Z轴的圆周运动,所以可列式:
绕竖直轴作匀角速度转动,角速度为
,求:
小环平衡时距
所以,可得:
mg
rsin
tansin
Z
O
2-13.设质量为m的带电微粒受到沿x方向的电力F(bcx)V假定t0时,v00,沧0。
其中b,c为与时间无关的常数,
Vo
,计算粒子在任
m,F,x,
-时刻t的速度和位置,t的单位分别为kg,N,
根据题意和牛顿第二定律,可列式:
V
F(b
Vcx)i
d2x
m—2,
dt2
整理可得二阶微分方程:
F面分c为正负做讨论:
c
—xm
(1)当c0时,令
c,方程为:
.2/b.d(x2)
可以写成:
m
2(x
【考虑到高等数学中,对于
d2y
dx2
其通解为:
Acos(x)]
Acos(
),即:
再对上式求一次导,
得到:
Asin(
由初始条件:
0时,v0
0,X0
•••有x
bcos
b.
vsin
(2)当
0时,令
可以写成:
d2(x
七)mdt2
y0,其通解为:
y
C,ex
C?
ex】
)
C1et
C2e
t,1
得到:
dx
由初始条件:
0时,
Vo0
X。
•••有x-
—
(et
et),
C2
C1etC2et
0,可知:
C1
A(ete
2c
t);
2-14•在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒,半径为R,一小球紧靠圆筒内壁运动,摩擦系数为,在t0
时,球的速率为v0,求任一时刻球的速率和运动路程。
Nm,而:
R
VoR
利用自然坐标系,法向:
切向:
v1.
2dv
vov2
Svdt
dvnt
m—,则:
dt,
oR
VoRo
dvdt
RVot
RVo应
-ln(1苛
Vot
2-15设飞机降落时的着地速度大小
Vo,方向与地面平行,飞机与地面间的摩擦系数
,如果飞机受到
的迎面空气阻力与速率平方成正比为
KxV2,升力为KyV2(Kx和Ky均为常量),已知飞机的升阻比为
C,求从着地到停止这段时间所滑行的距离(设飞机刚着地时对地面无压力)
Kx
(1)由牛顿运动定律F
ma,考虑到飞机刚着地时对地面无压力,有:
KxV:
mg
则(KxV:
Kxv2)
KyV2
Kxldv,又...dv
dv
Vdx,
1dv2
•有:
2gdx
(1
W)
V2,即:
vo
dv2
(C)v2
2g(C
v2
C
V2
•••路程为:
In
)lnC。
思考题
2-1.质量为m的小球,放在光滑的木板和光滑的墙壁之间,并保持平衡,如图所示•设木板和墙壁之间的夹角为,当逐渐增大时,小球对木板的压力将怎样变化?
以小球为研究对象,设墙壁对小球的压力为Ni,
方向水平向右,木板对小球的压力为N2,方向垂直于木板,小球受重力为mg,建立平衡方程:
N2sinmg,N|N2cos
所以当增大,小球对木板的压力N2将减小;
小球对墙壁的压力N1也减小。
2-2.质量分别为mi和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上,滑块与桌面间的摩擦
系数均为仏系统在水平拉力F作用下匀速运动,如图所示.如突然撤消拉力,则刚撤消后瞬间,二者的
加速度aA和aB分别为多少?
由于系统在拉力F作用下做匀速运动,对A进行受力分析,知:
Fkxm1g,对B进行受力分析,知:
kxm2g
突然撤消拉力时,对A有:
miaAkxgg,所以aA
m1m2
对B有:
m2aBkxm2g,所以aB0。
2-3.如图所示,用一斜向上的力F(与水平成30°
角),将一重为G的木块压靠在竖
直壁面上,如果不论用怎样大的力F,都不能使木块向上滑动,则说明木块与壁面间的
静摩擦系数的大小为多少?
假设墙壁对木块的压力为N,由受力分析图可知:
/Fsin30°
GN
NFcos30°
整理上式,并且根据题意,如果不论用怎样大的力F,都不能使木块向上滑动,则说明:
iFG
3F即:
^F
F(此式中F无论为多大,总成立)
,则可得:
2-4.
质量分别为m和M的滑块A和B,叠放在光滑水平桌面上,
如图所示.A、B间静摩擦系数为
滑动摩擦系数为k,系统原处于静止.今有一水平力作用于A上,要使A、B不发生相对滑动,则F应
取什么范围?
IFmaxsmgm
IsmgMa
解得:
二F
Fmax
smg,
smg
度,所以列式:
2-5.如图,物体A、B质量相同,B在光滑水平桌面上.滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计,滑轮与其轴之间的摩擦也不计.系统无初速地释放,则物体A下落的加速度是多少?
分别对A,B进行受力分析,可知:
mAgTm^A
2TmBaB
aBaA
则可计算得到:
aA4g
5
2-6.如图所示,假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑,轨道是光滑的,在从
法不对;
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供,由于切线方向始终在改变,所以速率增加不均匀,B的说
法不对;
夕卜力有重力和支持力,后者的大小和方向都在变化,所以合力的大小方向也在变化。
C,D的说法都不对。
2下滑过程中的B和v都在增大,所以N也在增大,Nmgsinm^
则E的说法正确。
2-7•—小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动,且圆环能以其竖直直径为轴转动•当圆环以一适
当的恒定角速度转动,小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时,小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大?
根据题意,当小珠能相对于圆环平衡时,
其运动为绕Z轴的圆周运动,假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为0,可列式:
Ncosmg
Nsinm2Rsin
所以,可得:
cos—g,arccos—
2r2r
•为使一物体(视为
2-8•几个不同倾角的光滑斜面,有共同的底边,顶点也在同一竖直面上(如图所示)质点)从斜面上端由静止滑到下端的时间最短,则斜面的倾角应选
(A)60°
(B)45°
(C)30°
(D)15°
根据题意,
假设底边长为s,斜面的倾角为0
可列式:
1.
丄2
s
gsin
2
4s
gsin2
•••当0=45°
时,时间最短。
2-9.如图所示,小球A用轻弹簧0,A与轻绳O2A系住;
小球B用轻绳O1B与02B系住,今剪断02A绳和O?
B绳,在刚剪断的瞬间,A、B球的加速度量值和方向是否相同?
不同。
对于a图,在剪断绳子的瞬间,和弹簧的拉力提供的合力T,
”FsinTma
Fcosmg
所以加速度大小为:
对于b图,在剪断绳子的瞬间,
弹簧的伸长没有变化,所以弹簧的拉力所以:
F不变,A的加速度应该是由重力
gtan,方向为水平方向。
绳子拉力F变化,它将提供物体做圆周
运动,其加速度应该有切向加速度和法向加速度。
所以:
切向:
mgsinmat,法向:
Fmgcosman,
an
虑到此时v0,有:
an0,所以此时加速度大小为:
R,考
atgsin
0/
,方向为与绳垂直的切线方向。
2-10.两质量均为m的小球穿在一光滑圆环上,并由一轻绳相连,
放,试问释放瞬间绳上张力为多少?
在释放瞬间上面的小球作水平运动,下面小球作竖直运动,两者加速度大小相等,方向互相垂直。
环竖直固定放置,在图中位置由静止释
上面小球:
Tsin45°
ma下面小球:
mgTsin45°
ma两式联立消去a,
Tmg
2sin45°
2mg
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