考研数学线性代数强化习题相似与相似对角化Word文档下载推荐.docx

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（A）1（B）2（C）3（D）4

2.相似对角化的条件

3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（）

（A）（B）

（C）（D）

4、已知三阶矩阵A的特征值为0,±

1,则下列结论中不正确的是（）

（A）矩阵A是不可逆的

（B）矩阵A的主对角元素之和为0

（C）1和一1所对应的特征向量正交

（D）心=°

的基础解系由一个向量构成

5、设4、B为川阶方阵，且对V/1,有\A,E-A^AE-B\,则（）

（A）\AE+A冃（B）A与B相似

（C）人与〃合同（D）人、B同时可相似对角化或不可相似对角化

6、设A为”阶方阵，满足=证明：

（1）"

4丘）+心）=川；

⑵矩阵A可以相似对角化.

7、设A为三阶方阵，a\、a、、a、为三维线性无关列向量组，且有AaL=a2-l-a3,

Aa2=冬+，人°

3二e+6•

（1）求人的全部特征值；

（2）4是否可对角化？

8、已知三阶矩阵A的特征值为0,1,2，设B=AZ-2A2,则（）

（A）1（B）2（C）3（D）不能确定

3.相似对角化中P与八的计算

‘200、

9、己知pTAP=060是矩阵A属于特征值2=2的特征向量，6,勺是矩阵A

H06,

属于特征值2=6的特征向量，那么矩阵P不能是（）

（A）（厶一如他）（B）（a1?

4-a3,a2-2<

z3）

（c）（4，他，冬）（D）（冬+冬，3一冬心）

10、已知Aq=a°

=1,2,3）,其中4=（1,2,2）7,672=⑵一2,ljq=（-2,-1,2），,求

A=.

200_

~200_

11.己知矩阵人=

001

与B=

0y0

相似:

01x

00-1

（1）求兀与丁；

（2）求一个满足P~'

AP=B的可逆矩阵P

32-2

A=-k-1k

12、设矩阵L42-3」问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P~lAP为对角矩阵?

并求出P和相应的对角矩阵.

值.试求可逆矩阵P,使得严虫戸为对角矩阵.

14、设矩阵A与3相似,其中

-200_

■-100_

2x2

、E=

020

311

00y

（1）求兀和『的值；

⑵求可逆矩阵P,使P~'

AP=B,

4.力"

的计算

Uar

15、己知A、〃为三阶矩阵，满足AB+B=Q,001,齐次方程组AX二0有

、110丿

O

非零解1,

（1）求Q的值；

（2）求可逆矩阵P,使P~lAP为对角矩阵；

⑶求秩RS+E）：

⑷计算行列式#-同；

（5）求S+E）"

00

5.对实对称矩阵性质的考查

16、设人为〃阶实对称矩阵，贝9（）

（A）4的X个特征向量两两正交

（B）4的”个特征向量组成单位正交向量组

（C）4的R重特征值入有r^E-A）=n-k

（D）人的R重特征值入有厂（入E_A）=*

17、设二阶实对称矩阵A的一个特征值人=1,属于人的特征向量为（1，一1广，若丨人1=一2,则人=.

18、设三阶实对称矩阵人的特征值为人二T，人二人=1,对应于人的特征向量为U」,

求A.

6.实对称矩阵的正交相似对角化

19、设A是八阶矩阵，且有n个相互正交的特征向量，证明A是实对称矩阵

20、设三阶对称矩阵A的特征值为人=2,人=-1,人=1,q=（l10）7■是A的属于人特

征值的特征向量，记3二A'

—A—2E

（1）验证0=（110）丁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与其对应的特征向量;

（2）求矩阵B

7.综合

21、A为3阶实对称矩阵，且满足条件A'

+24=0,r（A）=2.

（1）求4的全部特征值.

（2）当*为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中丘为彳阶单位矩阵.

II参考答案

1、【答案】

【解析】：

（A）中，r（A）=l,r（B）=2,故A和B不相似.

（B）中，Zr（A）=9,/r（B）=6,故A和B不相似.

（D）中，A的特征值为2,2,-3,〃的特征值为1,3,-3，故A和*不相似.

由排除法可知：

只有（C）中矩阵A和B可能相似.

事实上，在（C）中，A和B的特征值均为2,0,0,由于A和B均可相似对角化，也即A和B均相似于，故A和B相似.

故选（C）

2、【答案】

由于可知：

存在可逆矩阵P，使得P~lAP=B.

故P~lA2P=B2,PrAr（Pr）_1=BT,P'

lATlP=旷，可知A，〜、以〜BT、犷~.

又由于A可逆，可知A：

\AB）A=BA,故肋-BA.

故正确的命题有4个，选（D）

3、【答案】

（A）中矩阵为实对称矩阵，可以相似对角化.

（B）中矩阵有三个互不相同的特征值：

可以相似对角化.

（C）中矩阵特征值为0,0,4,由于该矩阵秩为1,可知其二重特征值0有两个线性无关的特征向量，故可以相似对角化.

‘023、

（D）矩阵特征值为2,2,-1,令该矩阵为A,A-2E=003,r（A-2E）=2,

〔00一3丿

可知其二重特征值2只有一个线性无关的特征向量，故不可以相似对角化.

故选（D）.

4、【答案】：

【分析】：

注意本题是找不正确的答案•根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A,

B正确，而Ax=0的非零解对应的是零特征值的特征向量.

根据|A|=^2,2,=0,勺+知+。

33二人+4+入=0‘知（A）,（B）正确；

而人=0是单根，因此r（0E-A）=r（A）=2,即山=0的基础解系只由一个线性无关解向量构成，可知（D）也正确.因此唯一可能不正确的选项是（C）.

事实上，由于没有限定A为实对称矩阵，故A不同特征值的特征向量不一定正交.故选（C）.

【评注】：

特征值的重数与矩阵的秩的关系：

由于矩阵的k重特征值最多只能有k个线性无关的特征向量，故假设A为矩阵A的R重特征值，则n-r{A-A,E）<

k,也即r{A-AE）>

n-k.

有两种情况可以确定r（A-2E）：

一是当矩阵可相似对角化时，必有厂（4—=—R；

二是当2为单特征值时，由r（A-2E）>

/?

-l,又由于矩阵A-AE不满秩，故r（A-2E）=«

-l.

本题在确定山=°

的基础解系所含向量个数时，用到了上述结论：

由于°

是单特征值，故r（0E-A）x=3-1=2

5、【答案】：

由|A.B具有相同特征值人，人，…,人，

而AE+A,AE+B的特征值为2+4优+久2,…，几+人，

所以|AE+A冃;

1疋+3|=（兄+人）（兄+4）・・・（/1+&

）

故（A）是正确的.

对于（B）,（C）,（D）,可以通过举反例予以排除.

111「10_

例如人=,B=，则4、B的特征多项式相同，但4、B不相似，否则

01」|_01

P~'

AP=BnA=PBpT=PEpT=E,矛盾，故可以排除（B）.同时，由于矩阵A不可相似对角化，故可排除（D）.

最后，由于合同矩阵是在实对称矩阵的范围内讨论，可知（C）不正确.

故唯一正确的选项是（A）

6、【证明】：

（1）由A2=A可得（A-E）A=Of故有r（A-E）+r（A）<

n.

又由于r（A-E）+r（A）=r（E-A）+r（A）>

r（E-A+A）=r（E）=n.

可知r（A-£

）+r（A）=7?

.

（2）由于=A，可知矩阵A的特征值；

I必满足A2=A，也即4的特征值只能为1或0.由于矩阵可相似对角化的充要条件是有”个线性无关的特征向量，故考虑1和0的特征向量.

由于1和°

的特征向量分别为（A~E）X=。

和Ar=°

的解，它们的基础解系中分别含有n-r（A-E）和"

一厂（勺个解向量.也即特征值1有兀一心一丘）个线性无关的特征向量；

特征值°

有'

i（A）个线性无关的特征向量.而斤一心一可+斤-心）="

可知A有"

个线性无关的特征向量.故矩阵A可以相似对角化.

7、【解析】：

（1）由已知得，A（at+a2+a5）=2（^++a3）,A（a2-aL）=~（a2-at）,

A（a5-al）=-（a5-al）,又因为a^a2,az线性无关，所以q+冬+冬HO,

冬一冬工0,a^-a^Q.所以-1,2是A的特征值.a2-avaz-+a2+az是相应的特征向量.又由0,冬,冬线性无关，得也线性无关，所以-1是矩阵4的二重特征值，即A的全部特征值为-1,-1,2.

（2）由冬,冬,磅线性无关可证明a2-a^a5-+a2+az线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对角化.

对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题

8、【答案1：

（A）

【解析L因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，则有

_0

P~lAP=A=1

那么P-'

BP=厂1（A3-2A2）P=P~lA5P-2P~lA2P

=（P~lAP）3-2（P'

lAP）2

-2

=

8

即B〜

.因此r（B）=r

=1.故应选（A）

9、【答案】：

若PSP=A=a2,P=（aL,a2,ai）

_a5_

则有AP=PA

&

即人（匕,冬,03）=（匕，冬,&

3）a2

即（40],4冬,人03）=（44，冬冬，。

3冬）

可见⑦是矩阵4属于特征值务的特征向量（z=l,2,3）,又因矩阵P可逆，因此,

a.\、a“a、线性无关.

若Q是属于特征值兄的特征向量，则-a仍是属于特征值；

I的特征向量，故（A）正确.

若a,0是属于特征值兄的特征向量，则2a+30,…仍是属于特征值兄的特征向量.

本题中，a?

a,是属于2=6的线性无关的特征向量，故冬+冬，冬-2冬仍是2=6的

特征向量，并且4+冬，J—2a、线性无关，故（B）正确.

关于（C）,因为a：

均是2=6的特征向量，所以冬与冬谁在前谁在后均正确•即（C）正确.

由于匕,色是不同特征值的特征向量，因此e+冬，6-冬不再是矩阵A的特征向量，故（D）错误.

相似对角化中，只要有A的对角元是矩阵A的"

个特征值，P的列向量是与A中特征值对应的个线性无关的特征向量，所得的A与A就能满足等式P~[AP=A

7

_3

~3

10、【答案】:

「1

_1

-2~

A〜A=

P~'

AP=A,其中P=（a[a2a5）=

故5宀0---

当矩阵人可相似对角化时，由于在式A=PAP~l中，对角矩阵A的对角元均为A的特征值，可逆矩阵P的列向量为A特征值对应的特征向量.因此，只要知道了矩阵A所有的特征值、特征向量，就可以利用等式A=Pa求出这是考点相似对角化下的一个重要的命题思路.

11、【解析】：

（1）B的特征值为由A与B相似，则A的特征值为2,y,-l.故

2+y+（-l）=2+0+xfx=0

2-y-（-l）=\A\=-2nfy"

（2）分别求出A的对应于特征值人=2,入=1,人二-1的线性无关的特征向量为

3-2

1-2

-k

-1-2

-3-2

=-（l+A）2（l-2）

\A-AE\=

则A的特征值为a,2=-ia=i.

矩阵A与对角矩阵相似u>

属于特征值212=-1的线性无关的特征向量为两个

<

=>

R（A+E）=lnR=0.

的线性无关的特征向量戸=0.令可逆矩阵P=5，p»

pJ,则

〔1丿

P~[AP=A=diag（-l-l,l）

13、【解析】：

A有三个线性无关的特征向量，则A能对角化.又2=2是人的二重特征值,

则属于2=2有两个线性无关的特征向量，故R（A-2E）=1.

ri

-1「

A2E—

x—2

G+y）

x-2=0

x=2,y=-2

—（“），）=0

-2.由2+2+人=1+4+5二=6为人的另一特征值.

属于召,2=2的线性无关的特征向量戸=（-1,1,0/,p2=（1,0,l）r；

属于心=6的线性无关的特征向量p3=（1-2,3/.

令P=（Pl，P2，P3）=>

P7AP=A=diag（2,2,6）

14、【解析】：

（1）B的特征值为一12儿人有特征值一2.人与B相似，则A与〃有相同

，卩2=

，卩3=

的特征值，故尸一2.又（一1）+2+，=（一2）+/+1=>

“=0

（2）A的对应于特征值一1，2，-2的特征向量分别为逆矩阵卩二（卩“卩2，卩3）,则P~lAP=B.

4.占‘的计算

15、【解析】

‘1ar

AB+B=Q^>

AB=-B^因为B=001,所以

J1°

4ar

4a1>

rr

T

A

=-

A

i

11oy

110丿

\/

o

所以A有J特征值，且其重数至少是2重，因为AX=0有非零解1，所以A有0特征值,且其重数至少是1重，又因为A为三阶矩阵，所以-1是二重特征值，o为1重特征值，由于A是对称矩阵一定可对角化，所以A〜-1。

因为（A+E）B=0,且R（A+E）=1,所以/?

（3）＜2=＞网二0=＞心1。

‘110、

r-l）

p=

011

P'

lAP=

1oo?

（0、

A+E-0=>

R（A+E）=1

r

r-2、

A-E〜-2=>

卜-牛-4

、T丿

ro、

100

[000、

（A+E）10°

=P

pi=

-111

000

l/

16、【答案】：

实对称矩阵4的属于不同特征值的特征向量正交，但未必两两正交；

料个特征向量未必是单位正交向量组，故（A）,（B）均不正确.

由于实对称矩阵人必可对角化，A的属于R重特征值几。

的线性无关的特征向量必有R

个，故心一小="

一.故本题应选（C）

[1丄

17、【答案】：

I

31

~2~2>

求出A所有的特征值特征向量即可.

设矩阵A的特征值为人=1和人，对应的特征向量分别为<

zi=（l,-l）r和

z2=（xpx2）r.

因为4为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q,使得0TA0=A,其中

a

〔0

由于相似矩阵的行列式相等，所以

二入

所以^=-2.

又实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量正交，于是T/、丫召）

qa,=（1,-1）=召_x,=0

\xi）'

可得此方程组的基础解系为勺=（i,iy•

将对应的特征向量a,a,单位化.

令矩阵O=（A，0J=

则A=QAQ-l=Q\Qr

18、【解析】：

设对应于特征值=1的特征向量为■则灯与X正交，即』x=0,其基

P~lAP=A=didgaAA），故

19、【分析】：

〃个相互正交的特征向量必线性无关，可知4可对角化，并且可用正交变换化这对角矩阵.

【证明】设“个相互正交的特征向量分别为£

宀…，a「其对应的特征值分别为备人，…人，将①心，…,％单位正交化，记为A，02,…，禹,则01，02,…，0“用为A的

特征向量，令0=（0】,02，・「0”），则0为正交矩阵，且

'

人、

Q~lAQ=入.二A

故有a=qaq-1=qaqt

所以有A1=（Q\Q!

）7=QAQ1=A

即A是实对称矩阵

20、【解析】

（1）因为三阶对称矩阵A的特征值为4=2,人=—1，人二1且B=^-A-2E

所以B的特征值为4,-2,-2。

q=（l10）7■是A属于2的特征向量，所以q=（l1Of也是B属于4的特征向量，因为A是对称矩阵，所以B也是对称矩阵，所以对于B矩阵属于-2的特征向量与属于4的特征向量正交。

（110）X=0^>

a2=（-l10）r,a3=（00l）r

对于B属于4的特征向量为kg,属于-2的特征向量为k化+k、a、,其中心为非寒任意常数，R冶是不全为零的任意常数。

（2）e=（l10）7■还=（—11O）r,6Z3=（O01/

通过正交化单位化找到实现对角化的正交矩阵Q,使得

‘4

Q'

bq=

B=

-2>

21、【解析】：

⑴设2是矩阵A的特征值，则存在非零向量x使Ax=Ax,从而A2x=A2x.由于A2+2A=0,故（A2+2A）x=（A2+2A）x=0,由xh0有;

I，+2兄=0.于是A的特征值为久=0或A=—2.由于r（A）=2,A有一特征值为人=0,设另外两个特征值为人,人，由于人为3阶实对称矩阵，4~加昭｛人,人,人｝,从而厂（4）=厂（〃边｛人,人,人｝）=2,故兄2=人=一2.

（2）由⑴知实对称矩阵A+kE的特征值为k,k-2,k—2.由于实对称矩阵为正定矩阵的

充分必要条件是特征值全部大于零，故A+kE正定的充要条件是k>

2.

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