人教版九年级数学下册全册教案Word格式.docx
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这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总就是固定不变的”.但就是怎样证明这个命题呢?
学生这时的思维很活跃.对于这个问题,部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成.
2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:
若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其
顶点A1,A2,A3重合在一起,记作A,并使直角边AC1,AC2,AC3……落在同一条直线上,则斜边AB1,AB2,AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题不?
引导学生独立证明:
易知,B1C1∥B2C2∥B3C3……,∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……,∴
形中,∠A的对边、邻边与斜边的比值,就是一个固定值.
通过引导,使学生自己独立掌握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透.
而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.
练习题为
作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.
(四)总结与扩展
1.引导学生作知识总结:
本节课在复习勾股定理及含30°
角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证明,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也就是固定的.
教师可适当补充:
本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测与积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识.
2.扩展:
当锐角为30°
时,它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也就是固定的.如果知道这个比值,已知一边求其她未知边的问题就迎刃而解了.瞧来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展,不仅对正、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的兴趣.
四、布置作业
本节课内容较少,而且就是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念.
五、板书设计
第十四章解直角三角形
一、锐角三角函数证明:
------------------
结论:
--------------------
练习:
---------------------
正弦与余弦
(二)
使学生初步了解正弦、余弦概念;
能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比;
熟记特殊角30°
角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
1.教学重点:
使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点:
用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦;
正弦、余弦概念.
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就是固定的.”
2.明确目标:
这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值——正弦与余弦.
只要知道三角形任一边长,其她两边就可知.
而上节课我们发现:
只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°
角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习兴趣,同时对以下要研究的内容有了大体印象.
正弦、余弦的概念就是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也就是难点.
在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图6-3:
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书:
在△ABC中,∠C为直角,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA.
若把∠A的对边BC记作a,邻边AC记作b,斜边AB记作c,则
引导学生思考:
当∠A为锐角时,sinA、cosA的值会在什么范围内?
得结论0<sinA<1,0<cosA<1(∠A为锐角).这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置就是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“cosA、cosB”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.
例1
求出图6-4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB与cosA、cosB的值.
学生练习1中1、2、3.
让每个学生画含30°
的直角三角形,分别求sin30°
、sin45°
、sin60°
与cos30°
、cos45°
、cos60°
.这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对特殊角三角函数值印象很深刻.
例2
求下列各式的值:
为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值,这里还应安排六个小题:
(1)sin45°
+cos45;
(2)sin30°
·
cos60°
;
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后,引导学生思考,“请大家观察特殊角的正弦与余弦值,猜测一下,sin20°
大概在什么范围内,cos50°
呢?
”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力,而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小.”为查正余弦表作准备.
(四)总结、扩展
首先请学生作小结,教师适当补充,“主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在0~1之间,即
0<sinA<1,
0<cosA<1(∠A为锐角).
还发现Rt△ABC的两锐角∠A、∠B,sinA=cosB,cosA=sinB.正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小.”
教材习题14、1中A组3.
预习下一课内容.
14、1正弦与余弦
(二)
一、概念:
三、例1----------四、特殊角的正余弦值
-------------------------------------------------------
二、范围:
------------------五、例2------------
正弦与余弦(三)
使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系.
逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力.
培养学生独立思考、勇于创新的精神.
使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用.
一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用.
1.复习提问
(1)、什么就是∠A的正弦、什么就是∠A的余弦,结合图形请学生回答.因为正弦、余弦的概念就是研究本课内容的知识基础,请中下学生回答,从中可以了解教学班还有多少人不清楚的,可以采取适当的补救措施.
(2)请同学们回忆30°
角的正、余弦值(教师板书).
(3)请同学们观察,从中发现什么特征?
学生一定会回答“sin30°
=cos60°
sin45°
=cos45°
sin60°
=cos30°
这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”.
2.导入新课
根据这一特征,学生们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值.”这就是否就是真命题呢?
引出课题.
(二)、整体感知
关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,就是通过30°
角的正弦、余弦值之间的关系引入的,然后加以证明.引入这两个关系式就是为了便于查“正弦与余弦表”,关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明,但不标明就是定理,其证明也不要求学生理解,更不应要求学生利用这两个关系式去推证其她三角恒等式.在本章,这两个关系式的用处仅仅限于查表与计算,而不就是证明.
1.通过复习特殊角的三角函数值,引导学生观察,并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值不?
”提出问题,激发学生的学习热情,使学生的思维积极活跃.
2.这时少数反应快的学生可能头脑中已经“画”出了图形,并有了思路,但对部分学生来说仍思路凌乱.因此教师应进一步引导:
sinA=cos(90°
-A),cosA=sin(90°
-A)(A就是锐角)成立不?
这时,学生结合正、余弦的概念,完全可以自己解决,教师要给学生足够的研究解决问题的时间,以培养学生逻辑思维能力及独立思考、勇于创新的精神.
3.教师板书:
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;
任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
-A).
4.在学习了正、余弦概念的基础上,学生了解以上内容并不困难,但就是,由于学生初次接触三角函数,还不熟练,而定理又涉及余角、余函数,使学生极易混淆.因此,定理的应用对学生来说就是难点、在给出定理后,需加以巩固.
已知∠A与∠B都就是锐角,
(1)把cos(90°
-A)写成∠A的正弦.
(2)把sin(90°
-A)写成∠A的余弦.
这一练习只能起到巩固定理的作用.为了运用定理,教材安排了例3.
(2)已知sin35°
=0、5736,求cos55°
(3)已知cos47°
6′=0、6807,求sin42°
54′.
(1)问比较简单,对照定理,学生立即可以回答.
(2)、(3)比
(1)则更深一步,因为
(1)明确指出∠B与∠A互余,
(2)、(3)让学生自己发现35°
与55°
的角,47°
6′分42°
54′的角互余,从而根据定理得出答案,因此
(2)、(3)问在课堂上应该请基础好一些的同学讲清思维过程,便于全体学生掌握,在三个问题处理完之后,最好将题目变形:
=0、5736,则cos______=0、5736.
(3)cos47°
6′=0、6807,则sin______=0、6807,以培养学生思维能力.
为了配合例3的教学,教材中配备了练习题2.
(2)已知sin67°
18′=0、9225,求cos22°
42′;
(3)已知cos4°
24′=0、9971,求sin85°
36′.
学生独立完成练习2,就说明定理的教学较成功,学生基本会运用.
教材中3的设置,实际上就是对前二节课内容的综合运用,既考察学生正、余弦概念的掌握程度,同时又对本课知识加以巩固练习,因此例3的安排恰到好处.同时,做例3也为下一节查正余弦表做了准备.
(四)小结与扩展
1.请学生做知识小结,使学生对所学内容进行归纳总结,将所学内容变成自己知识的组成部分.
2.本节课我们由特殊角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)值间关系,以及正弦、余弦的概念得出的结论:
任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
教材习题14、1A组4、5.
14、1正弦与余弦(三)
一、余角余函数关系二、例3
-------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------
正弦与余弦(四)
使学生会查“正弦与余弦表”,即由已知锐角求正弦、余弦值.
(二)能力渗透点
逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
(三)德育训练点
培养学生良好的学习习惯.
“正弦与余弦表”的查法.
当角度在0°
~90°
间变化时,正弦值与余弦值随角度变化而变化的规律.
1)30°
的正弦值与余弦值各就是多少?
请学生口答.
2)任意锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系怎样?
通过复习,使学生便于理解正弦与余弦表的设计方式.
我们已经求出了30°
这三个特殊角的正弦值与余弦值,但在生产与科研中还常用到其她锐角的正弦值与余弦值,为了使用上的方便,我们把0°
—90°
间每隔1′的各个角所对应的正弦值与余弦值(一般就是含有四位有效数字的近似值),列成表格——正弦与余弦表.本节课我们来研究如何使用正弦与余弦表.
1.“正弦与余弦表”简介
学生已经会查平方表、立方表、平方根表、立方根表,对数学用表的结构与查法有所了解.但正弦与余弦表与其又有所区别,因此首先向学生介绍“正弦与余弦表”.
(1)“正弦与余弦表”的作用就是:
求锐角的正弦、余弦值,已知锐角的正弦、余弦值,求这个锐角.
2)表中角精确到1′,正弦、余弦值有四位有效数字.
3)凡表中所查得的值,都用等号,而非“≈”,根据查表所求得的值进行近似计算,结果四舍五入后,一般用约等号“≈”表示.
2.举例说明
例4
查表求37°
24′的正弦值.
学生因为有查表经验,因此查sin37°
24′的值不会就是到困难,完全可以自己解决.
例5
26′的正弦值.
学生在独自查表时,在正弦表顶端的横行里找不到26′,但26′在24′~30′间而靠近24′,比24′多2′,可引导学生注意修正值栏,这样学生可能直接得答案.教师这时可设问“为什么将查得的5加在0、6074的最后一个数位上,而不就是0、6074减去0、0005”.通过引导学生观察思考,得结论:
间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).
解:
sin37°
24′=0、6074.
角度增2′
值增0、0005
26′=0、6079.
例6
查表求sin37°
23′的值.
如果例5学生已经理解,那么例6学生完全可以自己解决,通过对比,加强学生的理解.
24′=0、6074
角度减1′值减0、0002
23′=0、6072.
在查表中,还应引导学生查得:
sin0°
=0,sin90°
=1.
根据正弦值随角度变化规律:
当角度从0°
增加到90°
时,正弦值从0增加到1;
当角度从90°
减少到0°
时,正弦值从1减到0.
可引导学生查得:
cos0°
=1,cos90°
=0.
根据余弦值随角度变化规律知:
时,余弦值从1减小到0,当角度从90°
减小到0°
时,余弦值从0增加到1.
1.请学生总结
本节课主要讨论了“正弦与余弦表”的查法.了解正弦值,余弦值随角度的变化而变化的规律:
间变化时,正弦值随着角度的增大而增大,随着角度的减小而减小;
间变化时,余弦值随着角度的增大而减小,随着角度的减小而增大.
2.“正弦与余弦表”的用处除了已知锐角查其正、余弦值外,还可以已知正、余弦值,求锐角,同学们可以试试瞧.
预习教材中例8、例9、例10,养成良好的学习习惯.
14、1正弦与余弦(四)
一、正余弦值随角度变二、例题例5例6
化规律例4
----------------------------------------------------
----------------------------------------------------
---------------
正弦与余弦(五)
使学生会根据一个锐角的正弦值与余弦值,查出这个锐角的大小.
(二)能力训练点
二、教学重点、难点与疑点
由锐角的正弦值或余弦值,查出这个锐角的大小.
3.疑点:
由于余弦就是减函数,查表时“值增角减,值减角增”学生常常出错.
1.锐角的正弦值与余弦值随角度变化的规律就是什么?
这一规律也就是本课查表的依据,因此课前还得引导学生回忆.
答:
间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
间变化时,余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大).
2.若cos21°
30′=0、9304,且表中同一行的修正值就是
则cos21°
31′=______,
cos21°
28′=______.
3.不查表,比较大小:
(1)sin20°
______sin20°
15′;
(2)cos51°
______cos50°
10′;
(3)sin21°
______cos68°
.
学生在回答2题时极易出错,教师一定要引导学生叙述思考过程,然后得出答案.
3题的设计主要就是考察学生对函数值随角度的变化规律的理解,同时培养学生估算.
已知一个锐角,我们可用“正弦与余弦表”查出这个角的正弦值或余弦值.反过来,已知一个锐角的正弦值或余弦值,可用“正弦与余弦表”查出这个角的大小.因为学生有查“平方表”、“立方表”等经验,对这一点必深信无疑.而且通过逆向思维,可能很快会掌握已知函数值求角的方法.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程.
例8
已知sinA=0、2974,求锐角A.
学生通过上节课已知锐角查其正弦值与余弦值的经验,完全能独立查得锐角A,但教师应请同学讲解查的过程:
从正弦表中找出0、2974,由这个数所在行向左查得17°
由同一数所在列向上查得18′,即0、2974=sin17°
18′,以培养学生语言表达能力.
查表得sin17°
18′=0、2974,所以
锐角A=17°
18′.
例9
已知cosA=0、7857,求锐角A.
分析:
学生在表中找不到0、7857,这时部分学生可能束手无策,但有上节课查表的经验,少数思维较活跃的学生可能会想出办法.这时教师最好让学生讨论,在探讨中寻求办法.这对解决本题会有好处,使学生印象更深,理解更透彻.
若条件许可,应在讨论后请一名学生讲解查表过程:
在余弦表中查不到0、7857.但能找到同它最接近的数0、7859,由这个数所在行向右查得38°
由同一个数向下查得12′,即0、7859=cos38°
12′.但cosA=0、7857,比0、7859小0、0002,这说明∠A比38°
12′要大,由0、7859所在行向右查得修正值0、0002对应的角度就是1′,所以∠A=38°
12′+1′=38°
13′.
查表得cos38°
12′=0、7859,所以:
0、7859=cos38°
12′.
值减0、0002角度增1′
0、7857=cos38°
13′,
即
锐角A=38°
例10
已知cosB=0、4511,求锐角B.
例10与例9相比较,只就是出现余差(本例中的0、0002)与修正值不一致.教师只要讲清如何使用修正值(用最接近的值),以使误差最小即可,其余部分学生在例9的基础上,可以独立完成.
0、4509=cos63°
12′
值增0、0003角度减1′
0、4512=cos63°
11′
∴锐角B=63°
为了对例题加以巩固,教师在此应设计练习题,教材P.15中2、3.
2.已知下列正弦值或余弦值,求锐角A或B:
(1)sinA=0、7083,sinB=0、9371,
sinA=0、3526,sinB=0、5688;
(2)cosA=0、8290,cosB=0、7611,
cosA=0、2996,cosB=0、9931.
此题就是配合例题而设置的,要求学生能快速准确得到答案.
(1)45°
6′,69°
34′,20°
39′,34°
40′;
(2)34°
0′,40°
26′,72°
34′,6°
44′.
3.查表求sin57°
与cos33°
所得的值有什么关系?
此题就是让学生通过查表进一步印证关系式sinA=cos(90°
-A),cosA=0、8387,∴sin5
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