苏科版八年级数学上册《第三章勾股定理》单元测试含答案Word文件下载.docx
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二、填空题(共8题;
共24分)
11.若一直角三角形的两边长为4、5,则第三边的长为________
12.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断,旗杆顶端落在离旗杆底部6米处,则旗杆折断前高为________
13.如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2,则x的长为________厘米.
14.一个直角三角形,两直角边长分别为3和2,则三角形的周长为________.
15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图
(1)).图
(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=________.
16.已知在三角形ABC中,∠C=90°
,AC=15,BC=20,则AB的长等于________.
17.如图所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8,正方形A的面积是10,B的面积是11,C的面积是13,则D的面积之为________.
18.如图,Rt△ABC中,分别以它的三边为边长向外作三个正方形.S1,S2,S3分别为三个正方形的面积,若S1=36,S2=64,则S3=________.
三、解答题(共5题;
共35分)
19.如图,圆柱形容器高12cm,底面周长24cm,在杯口点B处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处,
(1)求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离;
(2)若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑,4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜,求蚂蚁的平均速度至少是多少?
20.如图,圆柱形容器高12cm,底面周长24cm,在杯口点B处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处,
21.如图,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线L,过点B作一直线(在山的旁边经过),与L相交于D点,经测量∠ABD=135°
,BD=800米,求直线L上距离D点多远的C处开挖?
(结果保留根号)
22.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,BC=2,CD=1,求AD的长.
23.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=6,BC=4,求BD的长.
四、综合题(共1题;
共10分)
24.一架梯子AB长25米,如图斜靠在一面墙上,梯子底端B离墙7米.
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗?
为什么?
答案解析
一、单选题
1、【答案】C
【考点】平面展开-最短路径问题
【解析】【解答】解:
如图,AB=
.故选C.
【分析】将正方体的左侧面与前面展开,构成一个长方形,用勾股定理求出距离即可.
2、【答案】B
【考点】勾股定理
如图,
设正方形S1的边长为x,
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形,
∴AB=BC,DE=DC,∠ABC=∠D=90°
,
∴sin∠CAB=sin45°
=BCAC=22,即AC=2BC,同理可得:
BC=CE=2CD,
∴AC=2BC=2CD,
又∵AD=AC+CD=6,
∴CD=63=2,
∴EC2=22+22,即EC=22;
∴S1的面积为EC2=22×
22=8;
∵∠MAO=∠MOA=45°
∴AM=MO,
∵MO=MN,
∴AM=MN,
∴M为AN的中点,
∴S2的边长为3,
∴S2的面积为3×
3=9,
∴S1+S2=8+9=17.
故选B.
【分析】由图可得,S2的边长为3,由AC=2BC,BC=CE=2CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=22;
然后,分别算出S1、S2的面积,即可解答.
3、【答案】B
将点A和点B所在的两个面展开,
①矩形的长和宽分别为6cm和8cm,
故矩形对角线长AB=62+82=10cm;
②矩形的长和宽分别为3cm和11,
故矩形对角线长AB=32+112=130cm.
即蚂蚁所行的最短路线长是10cm.
【分析】根据”两点之间线段最短”,将点A和点B所在的两个面进行展开,展开为矩形,则AB为矩形的对角线,即蚂蚁所行的最短路线为AB.
4、【答案】D
【考点】勾股定理的应用
根据题意,画出图形,AB=4m,BC=3m,AC为梯子的长度,
可知△BAC为Rt△,
有AC=AB2+BC2=42+32=5(m).
故选:
D.
【分析】如下图所示,AB=4m,BC为梯子底端到建筑物的距离,有BC=3m,AC为梯子的长度,可知△ABC为Rt△,利用勾股定理即可得出AC的长度.
5、【答案】D
∵a2-6a+9+|b﹣4|=0,
∴a2﹣6a+9=0,b﹣4=0,
∴a=3,b=4,
∴直角三角形的第三边长=42+32=5,或直角三角形的第三边长=42-32=7,
∴直角三角形的第三边长为5或7,
故选D.
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值,根据勾股定理即可得到结论.
6、【答案】C
在直角三角形ABC中,首先根据勾股定理求得AC=2.4,
则A′C=2.4﹣0.4=2,
在直角三角形A′B′C中,根据勾股定理求得B′C=1.5,所以B′B=1.5﹣0.7=0.8,
故选C.
【分析】在本题中,运用两次勾股定理,即分别求出AC和B′C,求二者之差即可解答.
7、【答案】C
①当5是斜边时,根据勾股定理,得:
第三边是4;
②当5是直角边时,根据勾股定理,得:
第三边是
=
.
【分析】因为在本题中,不知道谁是斜边,谁是直角边,所以此题要分情况讨论.
8、【答案】A
两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm,60cm,∵正北方向和正东方向构成直角,
∴由勾股定理得602+802
=100,
∴其距离为100cm.
故选A.
【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角,其10分钟内走路程分别等于两直角边的长,利用勾股定理可求斜边即其距离.
9、【答案】C
由勾股定理得:
=5(cm),∴阴影部分的面积=5×
1=5(cm2);
C.
【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长,再由长方形的面积公式即可得出结果.
10、【答案】2π
S1=
π(
)2=
πAC2,S2=
πBC2,所以S1+S2=
π(AC2+BC2)=
πAB2=2π.
故答案为:
2π.
【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积.
二、填空题
11、【答案】
和3
当4和5都是直角边时,则第三边是
=
;
当5是斜边时,则第三边是3.
和3.
【分析】考虑两种情况:
4和5都是直角边或5是斜边.根据勾股定理进行求解.
12、【答案】12米
如图所示,AC=6米,BC=4.5米,由勾股定理得,AB=4.52+62=7.5(米).故旗杆折断前高为:
4.5+7.5=12(米).
故答案是:
12米.
【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形,其直角边分别是4.5米和6米.利用勾股定理解题即可.
13、【答案】17
∵正方形的面积为64厘米2,∴正方形的边长为8厘米,
x=152+82=17(厘米),
17.
【分析】首先计算出正方形的边长,再利用勾股定理计算出x即可.
14、【答案】5+
根据勾股定理可知:
斜边=
,∴三角形周长=3+2+
=5+
5+
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边,继而即可求出三角形的周长.
15、【答案】12
【考点】勾股定理的证明
∵八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=KG,CF=DG=KF,
∴S1=(CG+DG)2
=CG2+DG2+2CG•DG
=GF2+2CG•DG,
S2=GF2,
S3=(KF﹣NF)2=KF2+NF2﹣2KF•NF,
∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12,
12.
【分析】根据八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,得出CG=KG,CF=DG=KF,再根据S1=(CG+DG)2,S2=GF2,S3=(KF﹣NF)2,S1+S2+S3=12得出3GF2=12.
16、【答案】25
如图,∵△ABC中,∠C=90°
,AC=15,BC=20,∴AB=
=25.
25.
【分析】根据题意画出图形,再由勾股定理求解即可.
17、【答案】30
如图记图中三个正方形分别为P、Q、M.根据勾股定理得到:
C与D的面积的和是P的面积;
A与B的面积的和是Q的面积;
而P,Q的面积的和是M的面积.
即A、B、C、D的面积之和为M的面积.
∵M的面积是82=64,
∴A、B、C、D的面积之和为64,是正方形D的面积为x,
∴10+11+13+x=64,
∴x=30
30.
【分析】根据正方形的面积公式,运用勾股定理可以证明:
四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64,由此即可解决问题.
18、【答案】100
∵在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,又由正方形面积公式得S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2,
∴S3=S1+S2=100.
100.
【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即S1+S2=S3,由此可求S3.
三、解答题
19、【答案】
解:
(1)如图所示,
∵圆柱形玻璃容器,高12cm,底面周长为24cm,
∴AD=12cm,
∴AB=AD2+BD2=122+122=122(cm).
答:
蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm;
(2)∵AD=12cm,
∴蚂蚁所走的路程=122+12+42=20,
∴蚂蚁的平均速度=20÷
4=5(米/秒).
【解析】【分析】
(1)先将圆柱的侧面展开,再根据勾股定理求解即可;
(2)根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程,于是得到结论.
20、【答案】解:
∴AB=AD2+BD2=122+122=122(cm).
∴蚂蚁所走的路程=122+12+42=20,
21、【答案】解:
∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°
∵∠ABD=135°
∴∠DBC=45°
∴∠D=45°
∴CB=CD,
在Rt△DCB中:
CD2+BC2=BD2,
2CD2=8002,
CD=400
(米),
直线L上距离D点400
米的C处开挖
【解析】【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形,再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2,然后再代入BD=800米进行计算即可.
22、【答案】解:
分别延长AD、DC交于点E,在Rt△ABE中,∵∠A=60°
∴∠E=30°
在Rt△CBE中,∵∠E=30°
,BC=2,
∴EC=4,
∴DE=4+1=5,
在Rt△ABE中,∠E=30°
AE=2AD,
AE2=AD2+DE2,
4AD2=AD2+52,
解得:
AD=
【解析】【分析】延长AD,DC交于点E,可得直角三角形ABE,易得CE长,在Rt△CBE中,利用30°
的三角函数可得EC,DE的长,进而利用勾股定理可得AD长.
23、【答案】解:
设BD=x,则AD=2x,在Rt△ACD中,由勾股定理得,AC2﹣AD2=CD2,
在Rt△BCD中,BC2﹣BD2=CD2,
∴AC2﹣AD2=BC2﹣BD2,即62﹣(2x)2=42﹣x2,
解得,x=
则BD=
.
【解析】【分析】设BD=x,根据勾股定理列出方程,解方程即可.
四、综合题
24、【答案】
(1)解:
由题意,得AB2=AC2+BC2,得AC=
=24(米)
(2)解:
由A′B′2=A′C2+CB′2,得B′C=
=15(米).
∴BB′=B′C﹣BC=15﹣7=8(米).
梯子底部在水平方向不是滑动了4米,而是8米
【解析】【分析】应用勾股定理求出AC的高度,以及B′C的距离即可解答.
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