平行四边形知识点及同步练习含答案Word文件下载.docx
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注意:
①识别四边形为平行四边形有五种方法选择,应根据具体条件而定;
②“平行且相等”用符号
表示.
2.平行四边形识别方法的选择:
已知条件
选择的识别方法
边
一组对边相等
方法2或方法4
一组对边平行
定义或方法4
角
一组对角相等
方法1
对角线
方法3
3.平行四边形知识的运用:
(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题,如求角的度数,线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等.
(2)识别一个四边形为平行四边形,从而得到两直线平行.
(3)先识别—个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.
4.平行四边形作图:
(1)常见的平行四边形的作图:
①已知两邻边和夹角作平行四边形.
②已知一边、一条对角线及它们夹角作平行四边形.
③已知一边和两条对角线作平行四边形.
④已知两邻边和一条对角线作平行四边形.
⑤已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线作平行四边形.
(2)完成图形的关键步骤:
①先由条件作出它们能确定的三角形.
②然后再将三角形补成平行四边形.
①作图前要先画草图,然后根据草图决定先画什么,再画什么.
②四边形的作图基本上都是先画三角形,再补成平行四边形,这也体现了将四边形知识化归成三角形问题的思想方法.
【例题精讲】
例1如图12-1-14所示,已知
中,E,F分别是AD,BC的中点,AF与EB交于G,CE与DF交于H,试说明四边形EGFH为平行四边形.
分析:
本题考查平行四边形的识别,那么多的识别方法中,选择哪一种呢?
考虑到
及中点,易知四边形AFCE和EBFD都是平行四边形,从而GE∥FH,GF∥EH,如若采取先确定识别方法,再找条件将会使解题复杂化.
解:
在
中,
,已知E,F分别为AD,BC的中点,所以
,
,所以四边形AFCE、EBFD都是平行四边形.所以AF∥EC,BE∥FD.即GF∥EH,GE∥FH.所以四边形EGFH为平行四边形.
说明:
本题是由定义判定平行四边形,在判定四边形为平行四边形时,要充分利用已知条件选择判定方法.
例2如图12-1-15,
,以AC为边长在其两侧各作一个正△ACP和△ACQ,试说明四边形BPDQ是平行四边形.
∵
∴AB∥CD,∠1=∠2.
∵△ACP和△ACQ是正三角形,
∴PA=QC,∠PAC=∠QCA=60°
∴PA∥QC,
∴四边形PCQA是平行四边形,
∴PQ与AC平分.
∵AC与PQ互相平分,BD与PQ互相平分,
∴四边形BPDQ是平行四边形.
思考:
能否通过两组对边分别相等得到结论.
提示:
能.
易证△PAB与△QCD重合,
∴PB=QD,同理PD=QB.
合理选择平行四边形的识别方法.
例3已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:
①如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.
③如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.
④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么平行四边形ABCD一定是平行四边形.
其中正确的说法是().
A.①和②B.①、③和④
C.②和③D.②、③和④
用逐个筛选法.
关于①,由于AB∥CD,知∠ABD=∠CDB,如果AD=BC及DB=BD,一般不能得到△ABD与△CDB重合,或者△ABD与△CAD重合,这样证对边相等缺少充足理由.
关于②,由AB∥CD,知∠ABD=∠CDB,如果∠BAD=∠BCD,再用BD=DB,可得△ABD与△CDB重合,于是AB=DC,
,故得
.
关于③,由AB∥CD知,∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC,若AO=OC,则△AOB与△COD重合,于是AB=DC,即
关于④,由∠DBA=∠CAB,知OA=OB,又AB∥CD知∠DBA=∠BDC,同理也会有OC=OD,但OA不一定等于OC,如12-1-16就是一个反例.
综上所述,知②③正确,应选C.
例4如图12-1-17,在
中,点E、F在AC上,且AF=CE,点G、H分别在AB、CD上,且AC=CH,AC与GH相交于点O,试说明
(1)EG∥FH;
(2)GH、EF互相平分.
(1)要证EG∥FH,需证∠GEO=∠HFO,
要证∠GEO=∠HFO,需证∠AEG=∠CFH,
故先证△AGE与△CHF完全重合.
(2)要证GH、CF互相平分,需证四边形GFHE是平行四边形.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
∵AF=CE,
∴AE=CF.
∵AG=GH,
∴△AGE与△CHF重合.
(2)连结GF、EH,
∵GE平行且等于FH,
∴四边形GFHE是平行四边形,
GH、EF互相平分.
用平行四边形的识别方法和特征可解决有关的相等或互补,线段相等或倍分,两直线平行等问题,一般是先判定一个四边形是平行四边形,然后用平行四边形的性质解决有关问题.
【中考考点】
本节要求大家会用平行四边形的识别方法解决有关问题,并能和特征结合证题.
【命题方向】
本节多以填空题、证明题、综合题形式出现.
【常见错误分析】
错误:
对角线平分的四边形是平行四边形.
误区分析:
错误在“对角线平分”不够准确,词意含糊,不知两条对角线是怎么平分,应该改为“对角线互相平分”.
正解:
【学习方法指导】
平行四边形的特征与识别表,对应记忆更有利于理解和区分.
【同步达纲练习】
一、填空题
1.四边形任意相邻两个内角都互补,那么这个四边形是_________.
2.
中,AB=2,BC=3,∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F,则EF=_________.
3.一个四边形的边长依次是a、b、c、d,且
,则这个四边形是_________.
4.把边长为4cm、5cm、6cm,两个完全重合的三角形拼成四边形,一共能拼成_________种不同的四边形,其中有_________个平行四边形.
5.在
中,如果∠A的余角比∠B的补角大10°
,那么∠A=_________,∠B=_________.
6.分别过△ABC的顶点作它的对边的平行线,围成△A′B′C′,已知△A′B′C′的周长为4cm,则△ABC的周长为_________.
二、选择题
7.能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是().
A.AB∥CD,AD=BCB.∠A=∠B,∠C=∠D
C.AB=CD,AD=BCD.AB=AD,CB=CD
8.下列条件中能判断四边形是平行四边形的是().
A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相平分D.一对邻角和为180°
三、解答题
9.在
中,点E、F在AC上,且AF=CE,点G、H分别在AB、CD上,且AG=CH,AC与GH交于O,试说明GH、EF互相平分.
10.画平行四边形,使两条对角线长分别为10cm,8cm,一边长为7cm.
11.如图12-1-19,在
中,E是AB上一点,F是CD上一点,且∠ADE=∠CBF,四边形BFDE也是平行四边形吗?
试说明理由.
12.在等腰△ABC中,AB=AC,D为底边BC上一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,试说明AB=DE+DF.
13.如图12-1-20,在
中,∠BAD和∠BCD的平分线分别交BC、AD于E、F,且分别交DC、BA的延长线于G、H,除
外,指出图中其余的平行四边形.并说明理由.
14.如图12-1-21,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角处种有一棵大核桃树,田村准备开挖池塘养鱼池,想池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?
若能请你设计并画出图形;
若不能,请说明理由.
15.如图12-1-22,已知四边形ABCD是平行四边形,CE∥BD,EF⊥AB于点F,E、D、A在一条直线上,那么有
.请你说明理由.
参考答案
一、
1.平行四边形
2.1
3.平行四边形
4.6,3
5.40°
;
140°
6.2cm
二、
7.C8.C
三、
9.略.10.略.
11.提示:
证△ADE与△CFB重合,
可得DE=BF,AE=CF.
∵ABCD为平行四边形,
∴AB=DC,
∴BE=DF,
∴四边形BFDE也是平行四边形.
12.由已知四边形AEDF为平行四边形,△EBD为等腰三角形,则DF=AE,DE=BE,所以AB=AE+BE=DE+DF.
13.四边形AHCG,解答略.
14.提示:
分别过A、B、C、D作BD、AC的平行线,得
即为所求.如图12-1-23.
15.提示:
由于四边形ABCD是平行四边形,所以
.又因为BD∥CE,所以四边形EDBC是平行四边形,可得BC=DE,根据等量代换有AD=DE.因为EF⊥AB于点F,E、D、A在同一直线上,所以在直角三角形AFE中有
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