上海奥数精讲 第5讲 余数问题教师版Word下载.docx
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求被除数
学习带余除法中求被除数的方法并解决相关问题。
20分钟
有学生在操场上列队做操,只知道人数在90~110之间。
如果排成3列不多也不少;
如果排成5列则少2人;
如果排成7列则少4人,问共有学生多少人?
1、师生审题,理解实际题意:
在90~110之间有一个数,能被3整除,而被5除余3,被7除余3,求此数。
2、教师提问:
为什么这个数被7除余3而不是余4?
答:
因为排成7列则少4人。
3、教师提问:
90~110之间能被3整除的数有哪些?
90;
93;
96;
99;
102;
105;
108。
4、教师提问:
以上哪些数被5除余3?
5、教师提问:
以上哪些数被7除余3
108
6、解题过程:
解法1:
90~110之间能被3整除的数有90;
108,其中被5除余3的数有93;
108,而108被7除余3。
所以符合上述条件的条件的数只有108,故有学生108人。
解法2:
110÷
(5×
7)=3…5
5×
7×
3+3=108
7、请同学们思考:
解法2的依据是什么?
依据:
被除数减去3是5和7的倍数,所以被除数减去3是35的倍数
又∵被除数必须在90~110之间,
∴被除数减去3是105的倍数
∵余数是3
∴被除数是105+3=108
(巩固拓展:
某数被7除余6,被5除余3,被3整除,求此数最小是多少?
)
1、师生审题,教师提问:
要求的数是什么数?
被除数。
2、指名学生A回答提问:
这与例题1有什么相同之处?
被5除,被3除,余数都是3(余数相同)。
被除数减去3是谁的倍数?
是5×
3=15的倍数。
被5和3除同余3的最小自然数是什么?
是15+3=18。
5、请同学们思考,怎么求被除数被7除余6的最小值?
因为(15+3)÷
7=2…4;
(15×
2+3)÷
7=4…5;
3+3)÷
7=6…6
所以48是最小值。
解:
因为"
被5除余3,被3整除"
中余数相同,即都是3(同余),所以要先求满足5和3的最小数,[5、3]=15,
15+3=18,
18÷
7=2……4
15×
2=30
(30+3)÷
7=4……5
7=6……6
所以满足条件的最小数是48。
某数被3除余2,被5除余4,被7除余5,这个数最小是多少?
这道题和例1拓展有什么区别?
区别是被除数被3,5,7除余数各不相同。
2、请同学们观察,被3除余2,被5除余4的共同点是什么?
被3除余2,被5除余4中被除数加上1就可被整除。
3、教师归纳:
当被除数被几个自然数除时,若补上相同的数都可被整除,我们称被除数对于除数同差。
被除数加上1被3除,被5除余几?
余0,即可被整除。
被3除,被5除余0的最小自然数是几?
5=15
6、教师提问:
怎么求被7除余5的最小值?
(15-1)÷
7=2…0;
…;
6-1)÷
7=12…5
即15×
6-1=89是最小值。
7、解题过程:
解:
因为“被3除余2,被5除余4”中都差1就可整除,即同差,所以要先满足被5和3除的最小数,5×
3=15,
15-1=14,
14÷
7=2……0
(15×
7=12……5
所以满足条件的最小数是89。
注:
同余加余,同差减差(记忆方法)。
某班学生,如果每排3人,就多出1人;
如果每排5人,就多出3人;
如果每排7人,就多出2人。
问这个班共有多少人?
这里有没有同余,同差?
有,被3除差2整除;
被5除差2整除。
被3,5整除的最小数是几?
15。
3、点名学生演板。
4、解题过程:
(15-2)÷
7=1…6
2-2)÷
7=4…0
3-2)÷
7=6…1
4-2)÷
7=8…2
∴这个班共有15×
4-2=58人。
求除数
学习带余除法中求除数的方法并解决相关问题。
30分
一个整数除300,262,205,得到相同的余数,问这个整数是几?
这个题是要求什么?
要求除数。
题中300,262,205分别是什么?
是不同的被除数。
知道余数是几吗?
不知道,但是知道余数相同。
(300-余数)是谁的倍数?
(262-余数)呢?
(205-余数)呢?
它们都是除数的倍数。
5、请同学们判断:
(300-262)与(262-205)是谁的倍数?
为什么?
它们也是除数的倍数,因为【(300-余数)-(262-余数)】是除数的倍数;
【(262-余数)-(205-余数)】是除数的倍数。
300-262=38
262-205=57
(38,57)=19
所以所求数应该是19的约数,但19只有2个约数1与19,而1不合题意
这个整数是19
7、小结:
在除法算式中,可将商理解为被除数与除数间的倍数关系,即这类问题可转化为倍数问题。
一个数去除551,745,1133这3个数,余数都相同。
问这个数最大可能是几?
)
这题和上题有什么相同和不同之处?
相同的地方是:
要求的数是除数,这个数除3个不同的数余数都相同。
不同的地方是:
要求的除数要取最大值。
(745-551)与(745-551)分别是谁的倍数?
除数的倍数。
3、点名学生求出(745-551)与(745-551)的公约数。
(194,388)=194
194的最大约数是几?
194。
5、解题过程:
745-551=194,1133-745=388。
(194,388)=194,所以这个数最大是194。
两个数相除,商是15,余数是11,被除数、除数、商与余数和是309,除数是多少?
题目中含有几个量?
四个,分别是被除数;
除数;
商和余数。
它们之间有什么关系?
被除数÷
除数=商…余数
已知什么?
要求什么?
已知商、余数与四个数的和,要求除数。
(被除数-11)是谁的倍数?
(被除数+除数-11)呢?
(被除数-11)是商的倍数;
(被除数+除数-11)是(商+1)的倍数。
怎么求除数?
(被除数+除数-11)÷
(商+1)=除数
(309-15-11-11)÷
(15+1)=17
所以除数为17。
除数是17
(巩固拓展:
有一个整数,用它分别去除157,234和324,得到的三个余数之和是100。
求这个整数?
这题和例4有什么异同?
相同处:
有不同的被除数,要求除数;
不同处:
余数不同,余数之和不同。
(157-余数1)是谁的倍数?
(234-余数2)呢?
(324-余数3)呢?
是除数的倍数。
3、点名学生回答下述问题:
(157+234+324-100)是谁的倍数?
也是除数的倍数。
157+324+234-100=615,615=3×
5×
41。
100÷
3=33……1,即最小的除数应大于34,小于157。
所以满足条件的有41、123两个,经过验算可知正确答案为41。
为什么除数不需要验证625,205是除数?
因为除数必须大于157
求余数
学习带余除法中求余数的方法并解决相关问题。
30分钟
已知整数n除以42余12,求n除余21的余数?
1、师生审题,点名学生指出已知,要求
已知n÷
42=商…12,要求n÷
21的余数
2、教师点名学生写出n÷
42=商…12的另一种形式:
n-12=42×
商
有没有同学知道上式的再一种形式?
n-12=21×
n除余21的余数是多少?
5、答:
转化n-12=21×
商的形式:
n=21×
商+12,
∵12<
21,∴余数是12
6、解题过程:
由已知条件可知,n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。
所以,n除以21的余数为12。
有一个整数,除1200,1314,1048所得的余数都相同且大于5。
问:
这个相同的余数是多少?
1、师生审题,理解题意;
除数是多少?
未知。
三个除法写成算式的形式是怎样的?
4、答:
1200÷
除数=商1…余数;
1314÷
除数=商2…余数;
1048÷
除数=商3…余数
1200-余数;
1314-余数;
1048-余数是谁的倍数?
(即能够整除哪个数?
解:
因为
1314-1200=114=3×
38,
1200-1048=152=4×
38。
某自然数应当是这两个差的公约数,即19或38。
又因为
1200÷
19=63…3;
19=69…3
38=31…22;
38=34…22。
所以,这个相同的余数是22。
7、总结:
同余性质:
几个数对于相同的除数,余数相同,则这几个数中任何两数的差都是该除数的倍数,即除数是这几个数中任两数的差的公约数。
由1000个1组成的千位数除以3,余数是多少?
这题与‘由1000个1组成的四位数除以3,求余数’有何区别?
区别就是数的位数不同,前者是千位数,后者是四位数(教师提醒同学们注意审题)。
要不要算出商,得到余数?
找规律。
1÷
3=0…1;
11÷
3=3…2;
111÷
3=37…0
1111÷
3=370…1;
11111÷
3=3703…2;
111111÷
3=37037
以上计算得到n个1组成的n位数除以3的余数以1,2,0为一个循环
1000÷
3=333…1,所以经过333个循环,余数为1
3、解题过程:
观察规律作周期表如下:
位数
123
456
……
余数
120
又∵1000÷
3=333…1,即这个千位数除以3的余数在第334个周期的第一个位置上,∴一千个1组成的数除以3,余数是1
有一个77位数,它的各位数字都是1,这个数除以7,余数是多少?
1、师生审题,分组演板推导各位数字都是1的n位数除以7的规律:
2、答:
7=0…1;
7=1…4;
7=15…6;
7=158…5;
7=1587…2;
7=15873…0,这个各位数字都是1的n位数除以7的余数是以1,4,6,5,2,0为一个循环出现的。
根据被7整除的特征知,111111能被7整除。
77÷
6=12…5,
11111÷
7=1587…2。
所以,这个数除以7的余数是2。
总结全课
整理全课思路,巩固收获5分
1、全课你学到了什么?
2、带余除法的意义是什么?
用式子怎么表示?
3、本课讲的带余除法的相关问题是什么?
巩固目标:
熟练同余同差等性质解决相关的余数问题。
【练习1】一盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?
【解析】如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.
故8,10,12的最小公倍数是2×
3=120.所以这盒乒乓球有123个.
【练习2】一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个,最后剩1个;
如果每次取5个或7个,最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个?
【解析】解:
2+5×
1=37(个)
∵37除以3余1,除以5余2,除以7余2,
∴布袋中至少有小球37个。
【练习3】一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。
∵被除数÷
除数=商…余数,
即被除数=除数×
商+余数,
∴251=除数×
商+41,
251-41=除数×
商,
∴210=除数×
商。
∵210=2×
7,
∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
【练习4】用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少?
【解析】 解:
∵被除数=除数×
40+16。
由题意可知:
被除数+除数=933-40-16=877,
∴(除数×
40+16)+除数=877,
∴除数×
41=877-16,
除数=861÷
41,
除数=21,
∴被除数=21×
40+16=856。
答:
被除数是856,除数是21。
【练习5】69、90和125被某个正整数N除时,余数相同,试求N的最大值。
【解析】∵三个整数被N除余数相同,
∴N|(90-69),即N|21,N|(125-90),即N|35,
∴N是21和35的公约数。
∵要求N的最大值,
∴N是21和35的最大公约数。
∵21和35的最大公约数是7,
∴N最大是7。
【练习6】2007年元月1日是星期一,那么2008年元月1日是星期几?
【解析】∵2007年是平年,全年共有365天,加上2008年元月1日共有366天,而366÷
7=52…2。
∴从2007年元月1日到2008年元月1日共经过52个周期又2天。
∵2007年元月1日是星期一,∴每个周期开始的第一天都是星期一,即2008年元月1日是第53周的第二天,星期二。
星期问题就是除数为7的同余问题。
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