安徽中考数学专题复习几何探究题.docx
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安徽中考数学专题复习几何探究题
2018年安徽中考数学专题复习
几何探究题
类型一 与全等三角形有关的探究
★1.如图①,P是△ABC的边BC上的任意一点,M、N分别在AB和AC边上,且PM=PB,PN=PC,则△PBM和△PCN叫做“孪生等腰三角形”.
(1)如图②,若△ABC是等边三角形,△PBM和△PCN是“孪生等腰三角形”,证明△PMC≌△PBN;
(2)如图③,若△ABC为等腰三角形,AB=AC,△PBM和△PCN是“孪生等腰三角形”,证明:
BN=CM;
(3)如图④,若
(2)中P点在CB的延长线上,其他条件不变,是否依然有BN=CM,若是,请证明,若不是,请说明理由.
第1题图
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵△PBM和△PCN是“孪生等腰三角形”,
∴PM=PB,PN=PC,
∴△PBM和△PCN是等边三角形,
∴∠BPM=∠NPC=60°,
∴∠BPM+∠MPN=∠NPC+∠MPN,即∠BPN=∠MPC.
在△PMC和△PBN中,
∴△PMC≌△PBN(SAS);
(2)证明:
如题图③,∵△ABC为等腰三角形,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵△PBM和△PCN是“孪生等腰三角形”,
∴PM=PB,PN=PC,
∴∠PBM=∠PMB,∠PCN=∠PNC,
∴∠BPM=∠CPN,
∴∠BPM+∠MPN=∠CPN+∠MPN,
∴∠BPN=∠MPC,
在△PMC和△PBN中,
∴△PMC≌△PBN(SAS),
∴BN=CM;
(3)解:
是.
证明:
如题图④,由
(2)易知∠ACB=∠PNC=∠ABC=∠PBM=∠PMB,
∴∠MPB=∠NPC,
在△PMC和△PBN中,
∴△PMC≌△PBN(SAS),
∴BN=CM.
★2.已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.
(1)如图①,若AB=2,点A、E、P恰好在一条直线上时,求此时EF的长;
(2)如图②,当点A、E、P不在一条直线上时,猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段),并加以证明;
(3)若AB=2,设BP=x,以QF为边的等边三角形的面积y,说明等边三角形的面积y随x的变化情况.
第2题图
解:
(1)∵△ABE是等边三角形,
∴AE=AB,∠BAE=∠ABE=60°.
∵∠ABC=90°,
∴∠EBP=∠EPB=30°,∴BE=EP=AE=2,
∴点E为AP的中点,
∴∠FEP=90°,
∴在Rt△FEP中,EF=EP·tan30°=2,
∴EF=2;
(2)EF=BF,
理由如下:
∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP,
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP,
∴∠BAP=∠EAQ,
在△ABP和△AEQ中,
AB=AE,∠BAP=∠EAQ,AP=AQ,
∴△ABP≌△AEQ(SAS).
∴∠AEQ=∠ABP=90°.
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°.
又∵∠EBF=90°-60°=30°,
∴∠BEF=∠EBF,
∴EF=BF;
(3)如解图,过点F作FD⊥BE于点D.
∵△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=2.
由
(2)得∠EBF=30°,
在Rt△BDF中,BD=.
∴BF==2.
∴EF=BF=2.
∵△ABP≌△AEQ,
∴QE=BP=x.
∴QF=QE+EF=x+2.
∴以QF为边的等边三角形的面积
y=(x+2)·(x+2)
=(x+2)2
=x2+x+.
∵BP=x,x>0,
∴y随x的增大而增大.
第2题解图
★3.在△ABC中,∠BAC为锐角,AB>AC,AD平分∠BAC交BC于点D.
(1)如图①,若△ABC是等腰直角三角形,直接写出线段AC,CD,AB之间的数量关系;
(2)如图②,BC的垂直平分线交AD的延长线于点E,交BC于点F,连接CE,BE,若∠ABE=60°,判断AC,CE,AB之间有怎样的数量关系,并加以证明;
(3)如图③,BC的垂直平分线交AD的延长线于点E,交BC于点F.若AC+AB=AE,求∠BAC的度数.
第3题图
解:
(1)AB=AC+CD.
【解法提示】过D作DE⊥AB交AB于点E,如解图①所示,
∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,
∴CD=DE,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=45°,即△BDE为等腰直角三角形,
∴CD=DE=EB,
则AB=AE+EB=AC+CD;
第3题解图①
(2)AB=AC+CE;
证明:
在线段AB上截取AH=AC,连接EH,如解图②所示,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE,
在△ACE和△AHE中,
,
∴△ACE≌△AHE(SAS),
∴CE=HE,
∵EF垂直平分BC,
∴CE=BE,∴BE=HE,
又∵∠ABE=60°,
∴△EHB是等边三角形,
∴BE=HE=HB,
∴AB=AH+HB=AC+CE;
第3题解图②
(3)在线段AB上截取AH=AC,连接EH,作EM⊥AB于点M,如解图③所示,
同理可得△ACE≌△AHE(SAS),
∴CE=HE,
∵EF垂直平分BC,
∴CE=BE,
∴HE=BE,
∴△EHB是等腰三角形,
∴HM=BM,
∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM,
∵AC+AB=AE,
∴AM=AE,
在Rt△AEM中,cos∠EAM==,
∴∠EAB=30°,
∴∠BAC=2∠EAB=60°.
第3题解图③
★4.在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,延长AB至点D,使BD=BC,E是直线BC上一点,F是直线AC上一点,连接DE、EF,且∠DEF=∠DBC.
(1)如图①,若∠D=∠EFC=15°,AB=,求AC的长;
(2)如图②,当∠BAC=45°,点E在线段BC的延长线上,点F在线段AC的延长线上时,求证:
EF=DE;
(3)如图③,当∠BAC=90°,点E在线段CB的延长线上,点F在线段CA的延长线上时,求的值.
第4题图
(1)解:
在△BDE中,∠D+∠DBE+∠BED=180°,
∵∠BED+∠DEF+∠FEC=180°,∠DEF=∠DBC,∠D=∠F=15°,
∴∠D=∠FEC=∠F=15°,
∴∠ACB=∠F+∠CEF=30°,
∴∠ABC=2∠ACB=60°,∴∠BAC=90°,
在Rt△ABC中,AB=,∠ACB=30°,
∴BC=2AB=2,
∴AC===3;
(2)证明:
如解图①,连接CD,作EM⊥EB交AF于点M,记AF交DE于点O.
∵∠BAC=45°,∠ABC=2∠ACB,
∴∠ABC=90°,∠ACB=∠MCE=∠EMC=45°,
∴EM=EC,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=45°,
∴∠DCE=∠EMF=135°,
∵∠DEF=∠DBC=90°,∠FCD=∠DCA=90°,
∴∠OEF=∠OCD,
∵∠EOF=∠COD,
∴∠OFE=∠ODC,即∠EFM=∠EDC,
在△EMF和△ECD中,
∴△EMF≌△ECD(AAS),
∴EF=DE;
第4题解图①
(3)解:
如解图②中,连接CD、DF,作NE⊥CE交AD的延长线于点N,在线段CE上取一点M,使得FM=FE.
∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,
∴∠ABC=60°,∠ACB=30°,
∵DB=BC,
∴∠DBC=120°,∠BDC=∠BCD=30°,
∴∠DBC=∠DEF=120°,∠DCA=∠DCB+∠ACB=60°,
∴∠DEF+∠DCF=180°,
∴E、F、C、D四点共圆,
∵∠DCE=∠ECF,
∴=,
∴DE=EF=FM,
∵∠NEB=90°,∠NBE=∠ABC=60°,
∴∠N=∠ACM=30°,
∵∠DBC=∠BDE+∠DEB=120°,∠DEF=∠DEB+∠FEM=∠DEB+∠FME=120°,
∴∠BDE=∠FME,
∴∠NDE=∠FMC,
在△EDN和△FMC中,
,
∴△EDN≌△FMC(AAS),
∴NE=CF,在Rt△NEB中,
∵∠NEB=90°,∠N=30°,
∴NE=BE,
∴CF=BE.
∴=.
第4题解图②
★5.在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在直线CD上(不与点C、D重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于H,连接AH,PH.
(1)如图①,若点P在线段CD上,求证:
AH=PH;
(2)如图②,若点P在线段CD的延长线上,其他条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明,否则说明理由;
(3)若点P在线段DC的延长线上,且∠AHQ=120°,正方形ABCD的边长为2,求线段DP的长.
第5题图
(1)证明:
如解图①,连接HC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BDC=45°,
又∵QH⊥BD,
∴△DHQ是等腰直角三角形,
∴HD=HQ,∠HDP=∠HQC=45°,
由平移的性质可知DP=CQ,
在△HDP和△HQC中,,
∴△HDP≌△HQC(SAS),
∴HP=HC,
根据正方形是轴对称图形得到HA=HC,
∴AH=PH;
第5题解图①
(2)解:
(1)中的结论仍然成立;
证明:
如解图②,连接HC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BDC=45°,
又∵QH⊥BD,
∴△DHQ是等腰直角三角形,
∴HD=HQ,∠HDC=∠HQD=45°,
∴∠HDP=∠HQC=135°,
由平移的性质可知DP=CQ,
在△HDP和△HQC中,
∴△HDP≌△HQC(SAS),
∴HP=HC,
根据正方形是轴对称图形得到HA=HC,
∴AH=PH;
第5题解图②
(3)解:
如解图③,由
(1)知,AH=PH,∵∠AHD=∠CHD,
第5题解图③
∴∠AHP=∠AHD+∠DHP=∠CHD+∠QHC=90°.
∴∠HPA=45°,
∵∠AHQ=120°,
∴∠AHD=∠CHD=30°,
∴∠QHP=∠CHD=∠CHP=30°,
∵∠HCP=∠HDC+∠CHD=45°+30°=75°,
∴∠CPH=180°-∠HCP-∠CHP=180°-75°-30°=75°,
∴∠APD=30°,
在Rt△ADP中,AD=2,
∴DP=2.
类型二 与相似三角形有关的探究
★1.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,P为DC延长线上一点,AP分别交BD,BC于点M,N.
(1)图中相似三角形共有________对;
(2)证明:
AM2=MN·MP;
(3)若AD=6,DC∶CP=2∶1.求BN的长.
第1题图
(1)解:
6.
【解法提示】有△AMB∽△PMD,△ADM∽△NBM,△ABN∽△PCN∽△PDA,△ABD∽△CDB,∴共6对相似三角形.
(2)证明:
∵AD∥BC,
∴∠ADM=∠NBM,∠DAM=∠BNM,
∴△ADM∽△NBM,
∴=;
∵AB∥DC,
∴∠P=∠BAM,∠MDP=∠ABM,
∴△PDM∽△ABM,
∴=,
∴=,
∴AM2=MN·MP;
(3)解:
∵AD∥BC,
∴∠PCN=∠PDA,又∵∠P=∠P,
∴△PCN∽△PDA,
∴=,
∵DC∶CP=2∶1,
∴==.
又∵AD=6,
∴NC=
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