超级画板《动态几何教程》经典范例Word下载.docx
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i=i+1;
}
也可以写成函数便于使用:
fd(A,B,n)
{for(i=1;
i<n;
i=i+1){DivisionPoint(A,B,i/(n-i) );
}}
这些程序运行情形见文件“9-1等分线段.zjz”,如图9-1。
图9-1
注意图中程序工作区是浮动窗口。
双击上边框可使它归位,再双击它又成为浮动窗口。
2.线段的动态n等分点
但是,上面的程序作出的分点,分段数是不能变化的。
5等分就是5等分,7等分就是7等分。
能不能作一般的n等分点,当n变化时分点的个数也随着变化呢?
文件“9-2线段的n等分点.zjz”中的程序和动态图形,就是可以变化的n等分点。
如图9-2,拖动n的变量尺改变n的数值,分点的个数会随着改变。
图9-2
从作图的程序可见,先作出A、B两个自由点,再对两点的坐标进行测量。
根据测量的数据,可以写出线段AB的参数方程。
使用作参数曲线的函数命令:
Function(m000+t*(m002-m000),m001+t*(m003-m001),t,0,1,n+1,);
这里将曲线的描点数目设置为n+1,是因为所描的点的含线段的两端点,所以点数比分段数多1。
执行作参数曲线的函数命令后,做出的线段上并没有分点。
打开参数曲线的属性对话框,在左下部勾选“画点”(参看图5-17);
点的大小可选择为2。
单击“确定”后,线段上的分点就出现了。
作出参数n的变量尺,拖动滑钮改变n的值,分点的数目随之改变。
这种方法,n<3时分点不出现,要平分线段至少要作出4等分点。
3.线段的可选择n等分点
上面的作图虽然实现了动态等分,但分点是不可选择的。
既不可能从分点出发来作图,也不可能改变某一个分点的大小颜色。
文件“9-3线段的可选择n等分点.zjz”实现了线段的可选择的动态n等分点作图。
如图9-3。
图9-3
作出这些分点的关键的函数ndf(p,q,n)的程序为:
ndf(p,q,n)
{for(i=1;
i<100;
i=i+1)
{DivisionPoint(p, q,sign(n,i)*i/(n-i) );
}
这个函数中使用了for循环语句,作了99个点,所以最多把线段100等分。
但定比分点的分比为sign(n,i)*i/(n-i);
这就是说,当i=1,2,…,n-1时(sign(n,i)=1),分比为i/(n-i),作出了n-1个n等分点;
当i≥n时(sign(n,i)=0),分比为0,作出的点都和线段的端点A重合。
这种把多余的点隐藏起来的技巧,后面将多次使用。
这样作出的分点可以被选择,隐藏,改变大小和颜色,可以作为进一步作图的基础。
从图9-3看到,可以以分点为心作圆,以分点为端点作线段等等。
4.圆弧的动态n等分点
一般说来,用尺规作图只可能做出圆弧的某些等分点,例如2等分、4等分点。
已经证明,尺规作图三等分任意圆弧是不可能的。
当然,计算机作图不受这样的限制。
文件“9-4圆弧的n等分点.zjz”,作出了任意一段圆弧的动态n等分点。
拖动圆弧端点B、C可以改变圆弧的度数和它在圆上的位置;
拖动圆心可以平移圆弧;
拖动参数r的变量尺上的滑钮可以改变圆弧的半径;
拖动参数n的变量尺上的滑钮可以改变分点的个数。
如图9-4。
图9-4
在程序工作区可以看到作出此动态等分点的主要程序:
A=Point(3,2,A);
cr=CircleOfRadius(A,r,);
B=PointOnConic(cr,B);
C=PointOnConic(cr,C);
ArcOnCircle(B,C,cr,);
MeasureExpress(u001+sign(u000,u001)*2*pi);
h=Function(rho=r,u000,m000,n+1, );
Translate(h,1,A,);
Variable(n,);
Variable(r,);
程序的前5行顺次为:
作自由点A;
作以A为心半径为r的圆cr;
在圆上取点B、C;
作弧BC。
圆弧的等分点是这样作出的:
在极坐标下作一条和圆弧BC全等且方位相同的曲线,利用曲线属性的“画点”功能,作出曲线上的动态分点,再把曲线和分点平移到圆弧BC的位置,就得到圆弧上的分点了。
为了在极坐标中作出和圆弧BC全等且方位相同的曲线, 需要确定圆弧BC的两个端点在圆上的位置参数的关系。
打开点B和点C的属性对话框,可以看到两点的参数分别为u000和u001。
从B到C的圆弧,按超级画板的作图规则,总是沿反时针方向画出来的,而参数u000有时却会大于u001。
要使参数的大小关系和圆弧的走向一致,应当有u000<
u001。
为此,当u000>u001时,我们给u001加上2π,得到m000=u001+sign(u000,u001)*2*pi,把u000和m000作为极坐标曲线ρ=r两端的参数,就能保证作出和圆弧BC全等且方位相同的曲线。
第6行测量语句,作出了变量m000=u001+sign(u000,u001)*2*pi,第7行语句作出以u000和m000作为两端参数的极坐标曲线ρ=r,描点数为n+1,编号为h。
执行后,要在曲线的属性对话框里勾选“画点”,并将“间断点最小值”设置得小些。
第8行,将极坐标曲线h沿向量OA平移到圆弧BC位置。
最后作出r和n的变量尺。
程序可以复制到新建立的文件的程序工作区执行。
注意,先执行前7行,再执行后3行。
执行后,不要忘了设置曲线的属性和调整参数n和r,用鼠标把它们拖开B、C两点,使分点正常地出现。
这种方法,n<
3时分点不出现,要平分圆弧至少要作出4等分点。
5.圆弧的可选择的动态n等分点
图9-4显示的圆弧等分点,和图9-2中的线段等分点类似,都是不可选择的。
既不能给不同的分点染上不同的颜色,也不能将分点作为继续作图的基础。
例如,我们不能以一个分点为心作圆。
比照图9-3中作出线段的可选择等分点的方法,也可以作出圆弧的可选择等分点。
打开文件“9-5圆弧的可选择n等分点.zjz”,如图9-5,可以看到这里的圆弧等分点是可以选择的。
可以设置分点的大小和颜色,也可以以分点为心作圆,或以分点为心作线段。
图9-5
作图程序的前6行和图9-4中的程序前6行相同:
A=Point(3,2, A);
cr=CircleOfRadius(A,r,);
B=PointOnConic(cr,B);
C=PointOnConic(cr,C);
ArcOnCircle(B,C,cr,);
MeasureExpress(u001+sign(u000,u001)*2*pi);
d=(m000-u000)/floor(n);
Variable(n,);
Variable(r,);
for(i=1;
i<100;
i=i+1) {Rotate(B,A,sign(n,i)*i*d,);
第7行计算出等分出来的一小段弧的弧度d;
第8、9行作出参数n、r的变量尺;
最后一行用for循环语句和以A为心的旋转变换,使点B旋转,作出99个点。
当i<
n时,旋转角是d的1至n-1倍,作出各分点;
对于更大的i,因sign(n,i)=0故旋转角为0,作出的点和圆弧的端点B重合。
这样,表面上就只看见分点了。
将上面的10行程序复制并粘贴到新文件的程序区,可以一次执行。
为了不显示分点的名字,在执行程序前可以先看看菜单项“对象|新点自动生成名字”。
如果此项前面有个勾,就单击它使勾消失。
这时执行程序,分点就没有名字了。
还要注意的是,程序执行后,圆弧两端点B、C会重合。
用鼠标把它们拖开即可。
为了显示分点,还要让参数n大于2。
[习题9-1]本节叙述的作圆弧等分点的方法,是对在圆上任意取点后作出的圆弧而言。
如果先指定了圆弧的两端点(自由点或约束点)和圆弧的圆心,该如何作出圆弧的动态n等分点呢?
(提示:
作出圆弧的圆心,测量从圆心到圆弧端点的向量角来代替原作图方法中所用的参数u000和u001;
具体分别见前述两文件的第二页。
)
二 动态的正n边形和完全图
既然能够作圆弧的动态n等分点,当然也可以作动态的圆内接正n边形。
图9-6显示的是文件“9-6正n边形面积和周长.zjz”中所作的动态正n边形。
拖动参数n的变量尺上的滑钮,正多边形的边数会从3逐步增加到99。
不过,当n>
40时,看起来已经几乎是一个圆了。
图9-6
和图形变化同时,正多边形的面积和周长的数据也会作同步的变化。
但这并不是对图上的正多边形直接测量得到的,而是测量对应的公式的结果。
图的右下方是文本作图命令:
Function(rho=1, 0,2*pi,n+1, );
Variable(n,);
MeasureExpress(floor(n));
MeasureExpress(pi);
MeasureExpress(n*sin(2*pi/n)/2);
MeasureExpress(2*pi);
MeasureExpress(2*n*sin(pi/n));
CircleOfRadius(1,1,);
上面第1条命令是在极坐标下作方程为ρ=1的曲线,自变量θ的范围设置为0到2π,曲线上取n+1个点(注意,首尾两点重合,只看见n个点)。
这样画出来的曲线是圆。
在曲线的属性表中勾选“折线段”(图9-7),就成为正多边形了。
后面的几条命令留给读者自己理解。
图9-7
你会想到,使用类似于上一节图9-5中的程序,可以作出顶点可选择的动态正n边形。
其实,作正n边形比n等分圆弧要简单一些,其方法见于文件“9-7顶点可选择的动态正n边形.zjz”,如图9-8。
图9-8
比较一下,图9-7和图9-5的作图命令有哪些不同?
比正多边形复杂一些的图形是所谓的“完全图”。
准确地说,是从正多边形的顶点出发所作出的完全图。
也就是由一个正多边形和它的所有的对角线构成的图形。
例如,图9-9是顶点数为29的完全图。
图9-9
图9-9是由文件“9-8顶点数为素数的完全图.zjz”生成的。
图中有29×
28/2=406条线段,图的结构看不清楚。
拖动图中的变量尺可减少顶点的数目,当顶点数为7时,如图9-10。
图9-10
在图9-9的右下部,显示有3行命令:
for (n=1;
n<30;
n=n+1)
{Function(3*cos(t),3*sin(t),t,2*n*pi/floor(m-1),2*n*pi+2*n*pi/floor(m-1),m,);
Variable(m,1,30, );
在新窗口的程序工作区执行这3行命令,作出29条曲线。
在每条曲线的属性表中勾选“折线段”,并设置不同的颜色。
拖动m的变量尺时看到,当m的整数部分是小于30的奇素数时,图形是顶点为floor(m)的完全图。
如果想理解这些命令,可以在对象工作区先把29条曲线都隐藏了,再显示其中一条,让m变化,同时观察这一条曲线的变化,就能有所体会了。
当然,主要是会用这三行程序画图,道理不明白也无妨,以后慢慢学习。
当顶点个数不是素数,得到的可能不是完全图。
如图9-11。
图9-11
事实上,顶点数为8的完全图上应当有28条线段,但这里只有21条。
在图9-12中,画出了顶点数为8的完全图。
这是由文件“9-9完全图.zjz”所生成的。
图9-12
此文件中的程序和图9-9中的不同。
拖动参数n的变量尺改变顶点数目,可以得到顶点数小于30的所有完全图,图9-13是顶点数目为15的情形。
图9-13
这里,图中的点和线段都是可以选择的。
仔细读读这个文件所用的文本命令:
a=Point(3,0,,,,);
for(i=1;
i<30;
i=i+1)ﻭ{b=Point(3*cos(i*2*pi/floor(n)),3*sin(i*2*pi/floor(n)),,,,);
ﻭc=Segment(a,b,);
if(i<
16)ﻩ
ﻩ {for(j=1;
j<
29;
j=j+1)ﻭ{Rotate(c,1,j*2*pi/floor(n),);
}}}
Variable(n,1,30, );
你会发现,这里是用for循环语句先作出正n边形的顶点;
从第1个顶点向其他顶点连线段;
再将这些线段以原点为中心旋转,便得到了所有的边和对角线。
[习题9-2]将文件“9-9完全图.zjz”(第1页)的程序复制到新窗口的程序工作区并执行;
将生成的线段组成若干对象组(在文本作图函数列表中找寻有关命令),分别给每组线段设置不同的颜色,做出动态完全图。
[习题9-3]参看文件“9-9完全图.zjz”第2页,构作以若干自由点为顶点的动态完全图,如图9-14。
特别注意如何用文本命令设置动态alpha参数来控制对象的显示和隐藏。
图9-14
三文本排列
(一)验证角谷猜想
有一道十分有趣的数学计算题:
任选一个自然数,如果是偶数,就将它除以2;
如果奇数,那就乘上3后再加上1;
将每次所得的结果照上面的方法进行运算,经过若干次计算后,无论最初是什么数,得到的结果总是“1”。
以6为例:
6→6÷
2→3→3×
3+1→10→10÷
2→5→5×
3+1→16→16÷
2→8→8÷
2→4→4÷
2→2→2÷
2→1。
这个有趣的数字计算题就是“角谷猜想”。
这一猜想看似简单,但至今还无人能够证明。
这个猜想像著名的“歌德巴赫猜想”一样,已成为数学家们研究的重点课题了。
我们编个小程序来验证这一猜想,省去一步步计算的麻烦。
在程序区输入:
jg(n)
{x=1;
Text(x,1,n);
while(n>
1)
{x=x+1;
if(Mod(n,2)==0){n=n/2;
} else{n=3*n+1;
Text(x,1,n);
}}
执行命令,然后输入“jg(6);
”,再次执行结果如图9-15所示。
我们也可以将6改成其它数字反复尝试,看看这一猜想是不是普遍成立的。
参看文件“9-10角谷猜想.zjz”。
图9-15
(二)绘制九九乘法表
输入下面程序并执行可得图9-16。
参看文件“9-11九九乘法表.zjz”。
for(i=1;
=9;
i=i+1)
for(j=1;
j<
=i;
j=j+1)
{Text(j,-i,i*j);
图9-16
(三) 绘制杨辉三角
中学教学中在讲多项式展开,二项式定理,数列等内容时都要讲到杨辉三角,甚至在讲数学史的课上,也必然要提到它。
而讲到与杨辉三角相关的内容,我们第一步就是要画出杨辉三角。
在黑板上画出杨辉三角不太方便,一方面是难以排列整齐,另一方面就是当数值较大时,难以计算。
而利用超级画板编程来解决,就较为简单了。
jc(n){if (n==0) {1;
} else{n*jc(n-1);
c(n,k){(jc(n)/(jc(n-k)*jc(k)));
yh(m)
{for(k=0;
k<
m;
k=k+1)
for(i=0;
=k;
{Text(2*i-k+3,m-k-5,c(k,i));
执行命令,然后输入“yh(6);
”,再次执行结果如图9-17所示。
此程序先是利用递归的思想定义了阶乘函数jc(n),然后定义组合函数c(n,k),这为主程序yh(m)打好了基础。
主循环中是一个二次循环,控制着每行每列输出的文本个数以及文本值。
较难理解的是文本输出语句Text命令中横、纵坐标的控制,这并不是唯一的,读者可以尝试着改动。
参看文件“9-12杨辉三角.zjz”。
图9-17
(四)根据给出数列的递推公式
其中
画出它的图象。
首先自定义函数。
在程序工作区中输入下面程序:
shulie(a,n)
{for(i=1;
=n;
{Point(i,a,,,);
a=1+1/a;
}}
执行此函数,然后接着执行“shulie(2,10);
”。
计算机返回结果“>>
(233)/(144) #”,同时画出了数列前10项对应的图象(图9-18)。
其中Point(i,a,,,)的作用是在坐标(i,a)位置作点,i代表数列的项数,每循环一次加1。
a则代表数列每一项的值,每循环一次按照递推公式发生变化。
图9-18 图9-19
从图9-18可以观察出该数列趋向于一个常数的。
我们甚至可以改变首项
的值,譬如运行“shulie(3,10);
”,数列还是趋向于一个常数,且是同一个常数(图9-19)。
于是很容易就猜想出:
该数列存在极限,且极限与首项无关。
进一步分析可以得出极限就是
的一个根
。
(为什么数列不趋向于
的另一个根
呢?
这牵涉到不动点方面的知识,有兴趣的读者可以利用超级画板作进一步探索)
若将原来程序中的Point(i,a,,,)改为Text(i,1,a),再执行“shulie(2,10);
”,结果如图9-20所示。
其中Text(i,1,a)的作用是在坐标(i,1)位置生成文本,文本的内容为a。
Point和Text两个命令各有所长,请读者尝试体会。
参看文件“9-13数列图象.zjz”。
图9-20
四轨迹
轨迹的变化是很复杂的,当一个或多个主动点在运动时,与之相关的对象都要随之变化,可谓是“牵一发而动全身”!
其中的变化和奥妙肯定是无穷无尽的,等着我们这些数学爱好者去构造,去探索,去发现。
(一)动圆轨迹1
(1)先作一圆,圆心为原点O,点A在x轴上;
(2)在圆上任取一点B,并以点B为圆心,过点A再作一圆(图9-21);
(3)在程序区输入“Locus(7,8);
”,执行命令;
(4)双击新生成的图象,弹出对象属性对话框,将运动点的基本频率改成20,并改变轨迹颜色和填充颜色(图9-22);
图9-21 图9-22
(二)动圆轨迹2
(1)先作一圆,圆心为A,点B为圆上一点;
(2)在圆上任取一点C,并以点C为圆心,CA为半径再作一圆(图9-23);
(3)在程序区输入“Locus(8,9);
”,执行命令;
(4)双击新生成的图象,弹出对象属性对话框,将运动点的基本频率改成20;
改变轨迹颜色和填充颜色(图9-24)。
参看文件“9-14动圆轨迹.zjz”。
图9-23 图9-24
(三)梯子模型
所谓梯子模型,又称等棍模型,是指有一个梯子斜靠在墙边,有一个物体挂在梯子上。
梯子滑动时,物体的运动路线如何?
转化为数学模型就是:
端点在坐标轴上运动的定长线段上某点的轨迹如何?
由于此轨迹变化很多,不借助计算机是很难探究的。
先构造图9-25作为基本图形,步骤如下,在x轴上任取点A,以原点O为圆心,OA长为半径作圆;
在圆上任取点B,通过点B向坐标轴作垂线,得到C、D两个垂足,连接线段CD。
变化1:
图9-26是在图9-25的基础上,过点B作CD的垂线,点E为垂足,然后作B、E轨迹所得到的图形,此曲线被称为“星形线”。
变化2:
图9-27是在图9-25的基础上,过原点O作CD的垂线,点G为垂足,然后作B、G轨迹所得到的图形,此曲线被称为“四叶玫瑰线”。
变化3:
图9-27是在图9-25的基础上,过点B作CD的垂线,点E为垂足,作点B和线段BF轨迹所得到的图形。
变化4:
图9-28 是在图9-25的基础上,过原点O作CD的垂线,点G为垂足,作点B和线段OG轨迹所得到的图形。
变化5:
图9-29是在图9-25的基础上,作点B和线段CD轨迹所得到的图形。
如果点D不是垂足而是y轴上任意一点,则可得到图9-30,图形会随点D在y轴上的位置而变化;
如果基本图形图9-25不是采用x轴和y轴,而是任意的两条相交直线,那么可得到的图形就更多了,图9-31,图9-32就是其中的两个。
参看文件“9-15动圆轨迹.zjz”。
图9-25 图9-26 图9-27
图9-28 图9-29 图9-30
图9-31 图9-32 图9-33
5百变曲线
看到下面图9-34中有这么多的小图片,你相信它们都是出自同一个课件,只是参数不同而已么?
确实难以置信!
即使相信,也会以为这个课件的制作相当复杂。
参看文件“9-16百变轨迹.zjz”。
图9-34
本课件制作步骤相当简单,如下:
(1)任意作圆,圆心为点A,点B控制半径;
在3个圆上分别取点C、D、E;
(2)连接线段ED,并在ED上任取点F;
(3)连接线段CF,并在CF上任取点G(图9-35);
(4)作出以C、D、E为主动点,点G的轨迹;
将轨迹属性中3个最大值中改为floor(2*a)*pi,floor(2*b)*pi,floor(2*c)*pi,运动点的基本频率改为1000,间断点的最小值改为1;
(5)作出变量a,b,c的变量尺和动画按
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