高中数学 第四章 函数应用归纳测试题 北师大版必修1Word格式.docx
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4.函数f(x)的图像如图所示,则函数f(x)的零点个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析] 因为f(x)与x轴有4个交点,所以共有4个零点.
5.若f(x)是一个二次函数,且满足f(2+x)=f(2-x),该函数有两个零点x1,x2,则x1+x2=( )
A.0B.2
C.4D.无法判断
[答案] C
[解析] 由f(2+x)=f(2-x)知f(x)的图像关于x=2对称.
∴x1+x2=4.
6.夏季高山温度从山脚起每升高100米,降低0.7摄氏度,已知山顶的温度是14.1摄氏度,山脚的温度是26摄氏度,则山的相对高度为( )
A.1750米B.1730米
C.1700米D.1680米
[解析] 设从山脚起每升高x百米时,温度为y摄氏度,根据题意得y=26-0.7x,山顶温度是14.1摄氏度,代入得14.1=26-0.7x.∴x=17(百米),
∴山的相对高度是1700米.
7.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
[解析]∵f(x)=2x+3x,∴f(-1)=-
<
0,f(0)=1>
0,故选B.
8.已知函数f(x)的图像是连续不断的,x、f(x)的对应关系如下表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
则函数f(x)存在零点的区间为( )
A.区间[1,2]和[2,3]
B.区间[2,3]和[3,4]
C.区间[2,3]和[3,4]和[4,5]
D.区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
[解析] 由图表可知,f
(2)>
0,f(3)<
0,f(4)>
0,
f(5)<
0.故选C.
9.若方程x2+(m-2)x+(5-m)=0的两根都大于2,则m的取值X围是( )
A.(-5,-4]B.(-∞,-4]
C.(-∞,-2)D.(-∞,-5)∪(-5,-4]
[解析] 考查函数f(x)=x2+(m-2)x+(5-m),由条件知它的两个零点都大于2,其图像如图所示.
由图可知,
即
∴-5<
m≤-4.故选A.
10.某商品零售价2015年比2014年上涨25%,欲控制2016年比2014年只上涨10%,则2016年应比2015年降价( )
A.15%B.12%
C.10%D.50%
[解析] 1+10%=(1+25%)(1-x%),解得x=12.
11.设二次函数f(x)=x2-x+a,若f(-t)<
0,则f(t+1)的值( )
A.是正数B.是负数
C.是非负数D.正负与t有关
[解析] 因为f(t+1)=(t+1)2-(t+1)+a=t2+t+a,f(-t)=t2+t+a,
又∵f(-t)<
0,所以f(t+1)为负数.
12.(2014·
某某高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}
C.{2-
,1,3}D.{-2-
,1,3}
[解析] 令x<
0,则-x>
∴f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=x2+3x,
∴f(x)=-x2-3x(x<
0),
∴f(x)=
.
∴g(x)=
当x≥0时,由x2-4x+3=0,得x=1或x=3.
当x<
0时,由-x2-4x+3=0,得x=-2-
,
∴函数g(x)的零点的集合为{-2-
,1,3}.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.函数f(x)=(x2-3)(x2-2x-3)的零点为________.
[答案]±
,3,-1
[解析] 令f(x)=0,得x=±
,或x=3,或x=-1.
14.用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是________.
[答案] 9m2
[解析] 设框架的一边长为xm,则另一边长为(6-x)m.
设框架面积为ym2,则y=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0<
x<
6),ymax=9(m2).
15.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(-∞,0)内的零点有2012个,则f(x)的零点的个数为________.
[答案] 4025
[解析] 因为f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内有2012个零点,由奇函数的对称性知,在(0,+∞)内也有2012个零点,又x∈R,所以f(0)=0,因此共4025个零点.
16.(2014·
某某高考)函数f(x)=
的零点个数是________.
[答案] 2
[解析] 当x≤2,令x2-2=0,得x=-
;
当x>
0时,令2x-6+lnx=0,
即lnx=6-2x,
在同一坐标系中,画出函数y=6-2x与y=lnx的图像如图所示.
由图像可知,当x>
0时,函数y=6-2x与y=lnx的图像只有一个交点,即函数f(x)有一个零点.
综上可知,函数f(x)有2个零点.
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出:
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=x3+1.
[解析]
(1)因为f(x)=-8x2+7x+1
=-(8x+1)(x-1),
令f(x)=0,可解得x=-
或x=1,
所以函数的零点为-
和1.
(2)令x2+x+2=0,因为Δ=12-4×
1×
2=-7<
0,所以方程无实数解.
所以f(x)=x2+x+2不存在零点.
(3)因为f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令(x+1)(x2-x+1)=0,
解得x=-1.所以函数的零点为-1.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-x+m的零点都在区间(0,2)内,某某数m的X围.
[解析] 由题意可得
解得0<
m≤
.所以实数m的取值X围是(0,
].
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=
若方程f(x)=k无实数解,求k的取值X围.
[解析] 当x≥
时,函数f(x)=lgx是增函数,
∴f(x)∈[lg
,+∞];
时,函数f(x)=lg(3-x)是减函数,
∴f(x)∈(lg
,+∞).故f(x)∈[lg
,+∞).
要使方程无实数解,则k<
lg
故k的取值X围是(-∞,lg
).
20.(本小题满分12分)某公司从2004年的年产值100万元,增加到10年后2014年的500万元,如果每年产值增长率相同,则每年的平均增长率是多少?
(ln(1+x)≈x,lg2=0.3,ln10=2.30)
[解析] 设每年年增长率为x,
则100(1+x)10=500,即(1+x)10=5,
两边取常用对数,得
10·
lg(1+x)=lg5,
∴lg(1+x)=
=
(lg10-lg2)=
又∵lg(1+x)=
∴ln(1+x)=lg(1+x)·
ln10.
∴ln(1+x)=
×
ln10=
2.30=0.161=16.1%.
又由已知条件:
ln(1+x)≈x得x≈16.1%.
故每年的平均增长率约为16.1%.
21.(本小题满分12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点?
若存在,求出X围;
若不存在,请说明理由.
[解析] 若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)≤0即可.
f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-
或a≥1.
检验:
(1)当f(-1)=0时a=1,所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
(2)当f(3)=0时a=-
,此时f(x)=x2-
x-
令f(x)=0,即x2-
=0.
解得,x=-
或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-
综上所述,a∈(-∞,-
)∪(1,+∞).
22.(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓,问:
如何设计才能使公寓占地面积最大?
求出最大面积(尺寸单位:
m).
[分析] 解答本题可先进行分类讨论,在各种情况下列出函数关系式并求最值,然后比较得到所求解的情况.
[解析] 如图所示,设计长方形公寓分三种情况:
(1)当一顶点在BC上时,只有在B点时长方形BCDB1面积最大,
∴S1=SBCDB1=5600m2.
(2)当一顶点在EA边上时,只有在A点时长方形AA1DE的面积最大,
∴S2=SAA1DE=6000m2.
(3)当一顶点在AB边上时,设该点为M,则可构造长方形MNDP,并补出长方形OCDE.
设MQ=x(0≤x≤20),∴MP=PQ-MQ=80-x.
又OA=20,OB=30,则
∴
,∴QB=
x,
∴MN=QC=QB+BC=
x+70,
∴S3=SMNDP=MN·
MP=(70+
x)·
(80-x)
=-
(x-
)2+
当x=
时,S3=
.比较S1,S2,S3,得S3最大,
此时MQ=
m,BM=
m,
故当长方形一顶点落在AB边上离B点
m处时公寓占地面积最大,最大面积为
m2.
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