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(3)除法:
(4)
(二)整式
1.整式的分类:
单项式、多项式
2.整式的运算:
(1)整式的加减:
(合并同类项)
(2)整式的乘除:
①幂的运算:
②整式的乘法法则:
单项式乘以单项式:
。
单项式乘以多项式:
③乘法公式:
平方差:
完全平方公式:
④整式的除法:
(3)因式分解:
分解因式的方法:
①提公因式法:
②运用公式法:
平方差公式:
;
完全平方公式:
③十字相乘法:
(三)分式
1.分式有关概念
(1)分式:
分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说:
①当________时分式有意义。
②当________时分式没有意义。
③只有在同时满足________,且________这两个条件时,分式的值才是零。
(2)分式的运算:
三方程与不等式
(一)一元一次方程
(二)分式方程
1.分式方程:
分母中含有的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:
解分式方程的关键是(即方程两边都乘以最简公分母),将分式方程转化为整式方程;
3.分式方程的增根问题:
⑴增根的产生⑵检验:
方法是将所求的根代人,若的值为零,则该根就是增根。
(三)二元一次方程(组)
二元一次方程组的解法:
(1)代人消元法;
(2)加减消元法。
(四)一元二次方程
1.一元二次方程:
只含有一个,且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。
它的一般形式是,(其中、)。
2.它的根的判别式是△=;
当△>0时,方程有实数根;
当△=0时,方程有实数根;
当△<0时,方程实数根。
3.一元二次方程根的求根公式是,(其中)。
4.一元二次方程的解法:
⑴配方法:
①化二次项系数为1;
②移项;
③配方,即方程两边都加上的绝对值一半的平方;
④化原方程为
的形式;
⑤如果
就可以用两边开平方来求出方程的解;
如果n
0,则原方程无解.
⑵公式法:
注意:
用求根公式解一元二次方程时,一定要将方程化为。
⑶因式分解法:
(五)不等式(组)
不等式组的分类及解集(a<b):
四函数
(一)一次函数
1.一次函数的意义及其图象和性质
(1)一次函数:
若两个变量x、y间的关系式可以表示成(k、b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地,当b时,称y是x的正比例函数.
(2)一次函数的图象:
一次函数y=kx+b的图象是经过点(,),(,)的一条直线,正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线,如表所示.
(3)一次函数的性质:
y=kx+b(k、b为常数,k≠0)当k>0时,y的值随x的值增大而;
当k<0时,y的值随x值的增大而.
(4)直线y=kx+b(k、b为常数,k≠0)时在坐标平面内的位置与k在的关系.
①
直线经过第象限(直线不经过第象限);
②
③
④
2.一次函数表达式的求法:
待定系数法:
先设出解析式,再根据条件列方程或方程组求出未知系数,从而写出这个解析式的方法,叫做待定系数法,其中的未知系数也称为待定系数。
(二)反比例函数
1.反比例函数:
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数,k≠0)的形式(或y=kx-1,k≠0),那么称y是x的反比例函数.
2.反比例函数的图象和性质.
反比例函数的图象是双曲线,反比例函数y=
具有如下的性质(见下表)①当k>0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是在每个象限内,y随x的增加而减小;
②当k<0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内,y随x的增加而增大.
3.反比例函数y=
(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=
(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│。
(三)二次函数
1.二次函数的概念:
一般地,形如的函数,叫做二次函数。
其中x是,a、b、c分别是函数表达式的,和。
2.二次函数的表示方法:
(1)一般式:
(2)顶点式:
(3)交点式:
3.函数图像的平移变换:
记住规律:
左加右减,上加下减
4.二次函数的图像与性质:
开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性。
5.二次函数图象与系数a、b、c的关系
系数的符号
图象特征
a的符号
a>0
抛物线开口向
a<0
b的符号
>0
抛物线对称轴在y轴的侧
b=0
抛物线对称轴是轴
<0
c的符号
c>0
抛物线与y轴交于
c=0
c<0
的符号
抛物线与x轴有个交点
=0
6.二次函数与一元二次方程的关系:
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、有一个交点、没有交点;
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(3)当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根;
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根。
五几何图形
(一)基本图形及其位置关系
1.直线、射线、线段
2.角
(1)余角:
①∠1+∠2=90°
∠1、∠2互余;
②同角或等角的余角相等。
(2)补角:
①若∠A+∠B=180○
∠A、∠B互补;
②同角或等角的补角相等。
(3)对顶角:
对顶角相等.
3.平行线的性质:
(1)两条平行线被第三条直线所截,角相等,角相等,同旁内角。
(2)过直线外一点直线和已知直线平行。
4.平行线的判定:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
如果内错角相等,那么这两条直线平行;
如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
(二)图形的投影与视图
1.三视图:
主视图、左视图、俯视图。
2.投影:
物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是;
投影分投影和投影。
(1)平行投影:
太阳光线可以看成光线,像这样的光线所形成的投影称为投影
(2)中心投影:
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是由一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为投影。
(三)图形的变换
1.轴对称
(1)轴对称:
两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合,我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段.
(2)如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
(3)轴对称的性质:
如果两个图形关于某广条直线对称,那以对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
2.中心对称图形
(1)定义:
在平面内,一个图形绕某个点旋转180○,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.
(2)性质:
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.
(3)中心对称与旋转对称的关系:
中心对称是旋转角是180o的旋转对称.
3.图形的平移
(1)平移的概念:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.
(2)平移的基本性质:
经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
4.图形的旋转
(1)旋转的概念:
图形绕着某一点(固定)转动的过程,称为旋转,这一固定点叫做旋转中心。
(2)旋转的基本性质:
对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相等,图形的形状、大小都不发生变化.
(3)简单图形的旋转作图:
作图步骤:
①作出图形的几个关键点旋转后的对应点;
②顺次连接各点得到旋转后的图形.
(四)三角形
1.三角形中的主要线段:
角平分线、中线、高、中位线。
2.三角形的边角关系
(1)边与边的关系:
三角形中两边之和大于第三边;
三角形任意两边之差小于第三边;
(2)角与角的关系:
三角形三个内角之和等于180o,外角和等于360o;
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.等腰三角形
(1)等腰三角形的性质:
①等边对等角;
②三线合一。
(2)等腰三角形的判定:
①两边相等;
②等角对等边。
4.等边三角形
(1)等边三角形的性质:
①三边相等;
②三角相等,都是600。
(2)等边三角形的判定:
①三角相等;
②有一个角是600的等腰三角形。
5.直角三角形
(1)三角形的两个重要性质
①300角所对的直角边是斜边的一半。
②斜边上的中线等于斜边的一半。
6.两个重要定理:
(1)角平分线性质定理及逆定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等;
到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上;
三角形的三条角平分线相交于一点(内心)。
(2)垂直平分线性质定理及逆定理:
线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等;
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;
三角形的三边的垂直平分线相交于一点(外心)。
7.全等三角形
(1)全等三角形的性质:
①对应边相等;
②对应角相等。
(2)全等三角形的判定:
①三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”.
②两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等,简写成“角边角”或"
ASA”
③两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜过直角边定理”或“HL”.
8.相似三角形
(1)相似三角形的性质:
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
②相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比.
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(2)相似三角形的判定:
①两角对应相等的两个三角形相似.
②两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
③三边对应成比例的两个三角形相似.
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
(3)位似图形:
如果两个图形不仅是相似图形.而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又叫做位似比.
9.解直角三角形
(1)锐角三角函数:
∠A的正弦=
∠A的余弦=
∠A的正切=
(2)特殊角的三角函数值:
(右表)
(3)直角三角形边角关系.
①三边关系:
勾股定理:
②三角关系:
∠A+∠B+∠C=180°
,∠A+∠B=∠C=90°
③边角关系tanA=
,sinA=
cosA=
。
(五)平行四边形
1.平行四边形
(1)平行四边形的性质:
①平行四边形的两组对边分别平行;
②平行四边形的两组对边分别相等;
③平行四边形的两组对角分别相等;
④平行四边形的对角线互相平分.
(2)平行四边形的判定:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.矩形:
(1)矩形的性质:
①矩形的四个角都是直角.
②矩形的对角线相等.
③矩形具有平行四边形的所有性质.
(2)矩形的判定:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③有三个角是直角的四边形是矩形.
3.菱形
(1)菱形的性质:
①菱形的四条边都相等.
②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
③具有平行四边形所有性质.
(2)菱形的判定:
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
②一组邻边相等的平行四边形是菱形.
③四条边都相等的四边形是菱形.
4.正方形
(1)正方形的性质:
①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
(2)正方形的判定:
①有一个角是直角的菱形是正方形.
②有一组邻边相等的矩形是正方形.
③对角线相等的菱形是正方形.
④对角线互相垂直的矩形是正方形.
5.梯形
一组对边平行,另一组对进不平行的四边形叫梯形.两腰相等的梯形叫等腰梯形.一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.
(2)等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个角相等;
等腰梯形的对角线相等.
(3)等腰梯形的判定:
①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
②对角线相邻的梯形是等腰梯形.
(4)等腰梯形常见的作辅助线的方法.
①作等腰梯形的两条高,将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形,如图l-4-26
②平移一腰,将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形.如图l-4-27.
③平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,如图l-4-28.
④如果题中有一腰的中点,则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点,如图1-4-29.
6.多边形:
(1)多边形的内角和:
n边形的内角和=(n-2)180°
(2)多边形的外角:
多边形的外角和都等于360°
(3)过n边形的一个顶点共有(n-3)条对角线,n边形共有
条对角线.
(4)过n边形的一个顶点将n边形分成(n-2)个三角形.
(六)圆
1.圆的有关概念和性质
(1)圆的有关概念
①圆:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心,定长为半径.
②弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.
③弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
(2)圆的有关性质
①圆是轴对称图形;
其对称轴是任意一条过圆心的直线;
圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
②垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
③弧、弦、圆心角的关系:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推论:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;
直径所对的圆周角是直角;
90”的圆周角所对的弦是直径.
④三角形的内心和外心
ⓐ:
确定圆的条件:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
ⓑ:
三角形的外心:
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
ⓒ:
三角形的内心:
和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
(1)圆心角:
顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
(2)圆周角:
顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
(3)圆心角与圆周角的关系:
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(4)圆内接四边形:
顶点都在国上的四边形,叫圆内接四边形。
圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角。
3.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系:
①点在圆外
d>r;
②点在圆上
d=r;
③点在圆内
d<r。
(2)直线和圆的位置关系:
①直线与圆相交
d<r;
②直线与圆相切
③直线与圆相离
d>r。
(3)圆与圆的位置关系:
①两圆外离
d>R+r;
②两圆外切
d=R+r;
③两圆相交
R-r<d<R+r(R>r);
④两圆内切
d=R-r(R>r);
⑤两圆内含
d<R—r(R>r).
4.切线的性质和判定
①切线的定义:
直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时,这条直线叫做圆的切线.
②切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的直径.
③切线的判定:
经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
5.弧长、扇形的面积和圆锥侧面积
(1)弧长公式:
(2)扇形的面积公式S=
(3)圆锥的侧面积
六数据的收集与描述
1.统计学中的基本概念:
总体、个体、样本、样本容量。
2.数据收集方法的选择:
普查、抽样调查。
3.描述数据集中趋势和平均水平特征的数
(1)平均数:
(2)加权平均数:
(3)中位数:
(4)众数:
4.描述数据波动大小(离散程度)特征的数
(1)方差:
(2)极差:
七概率
1.频数与频率
2.统计图:
条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数分布直方图
3.简单事件:
必然事件、不可能事件、不确定事件。
4.概率:
P必然事件=1,P不可能事件=0,0<P不确定事件<1
5.概率的计算方法
(1)用试验估算:
(2)常用的计算方法:
①;
②。
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