第二十一届华杯赛初赛高年级组讲解Word文档下载推荐.docx
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【分析】
(1020161)2(1020162)1020161999...998000...001
2015个2015个
2.已知A,B两地相距300米.甲、乙两人同时分别从A,B两地出发,相向而行,在距A地140米处
相遇;
如果乙每秒多行1米,则两人相遇处距B地180米.那么乙原来的速度是每秒(
)米.
A.2
3
B.2
4
D.3
1
5
【考点】行程,比例方程解行程【难度】☆【答案】D
【分析】设甲速v1乙速v2,有
v
140
7
14
v2
300140
8
v1
300180
2
解得
16
180
2
v21
3.在一个七位整数中,任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数,则这个七
位数最大是()
【考点】数论,整除【难度】☆【答案】B
【分析】注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数,所以这个七位数的前五个数字不能是0,
逐步极端分析,得9881376,8841368,8471177,4731143,7371167
4.将1,2,3,4,5,6,7,8这8个数排成一行,使得8的两边各数之和相等,那么共有()
种不同的排行.
【考点】计数,加乘原理与排列组合【难度】☆☆【答案】A
【分析】123728,8的两边之和都是14
研究有7的一边,147617527437421
数的两侧分法有4种,两侧可互换,每个分法都是一边四个数另一边三个数,两边内部可互换(全排列),共42A44A331152种排法
5.在等腰梯形ABCD中,AB平行于CD,AB6,CD14,AEC是直角,CECB,则AE2等
于()
E
AB
DC
【考点】几何,勾股定理【难度】☆☆【答案】A
【分析】做出两侧的高,连结AC,有
FGAB6,CF12(CDFG)4,CG10,令AGBFh,由勾股定理,
AC2AG2CG2h2100
CE2BC2BF2CF2h216
AE2AC2CE284
DG
F
C
6.从自然数1,2,3,…,2015,2016中,任意取n个不同的数,要求总能在这n个不同的数中找到
5个数,它们的数字和相等.那么n的最小值等于()
【考点】组合,最不利原则【难度】☆☆☆
【答案】B
【分析】1到2016中,数字和最大28。
数字和28的数只有1999;
数字和27的数有999、1899、1989、1998;
数字和1的数有1、10、100、1000;
数字和2~26的数都至少有5个最坏情况:
取数字和1到27的数各4个,以及1999,共109个数。
再多取一个数就保证有5个数字和相等,n110
二、填空题(每小题10分,共40分)
7.两个正方形的面积之差为2016平方厘米,如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米,那么满足
上述条件的所有正方形共有对.
【考点】数论,因数个数定理【难度】☆☆【答案】12
【分析】a2b2(ab)(ab)2016
ab与ab奇偶性相同,乘积是偶数,必然都是偶数,且和大于差,2016450423327的因数有24个,即12组不同的分拆,故有12组解.
8.如下图,O,P,M是线段AB上的三个点,AO54AB,BP23AB,M是AB的中点,且OM2,
那么PM长为.
APMOB
【考点】应用题,分数应用题【难度】☆【答案】109
【分析】OMAOAM54AB12AB103AB,AB2103203PMBPMB23AB12AB16AB16203109
9.设q是一个平方数.如果q2和q2都是质数,就称q为P型平方数,例如,9就是一个P型平
方数,那么小于1000的最大P型平方数是.
【考点】数论,同余【难度】☆☆☆
【答案】441
【分析】显然,q是奇数,且q2和q2都不是3的倍数,而平方数除以3只能余0或1,若q除以
3余1则q2是3的倍数,所以q只能除以3余0,即q是3的倍数,
极端分析,3321000,27227311743,2122439,2122443都是质数
10.有一个等腰梯形的纸片,上底长度为2015,下底长度为2016,用该纸片剪出一些等腰梯形,要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上,剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角,
则最多可以剪出个同样的等腰梯形.
【考点】组合,最值【难度】☆☆☆
【答案】4029
【分析】如图,将大等腰梯形分成2n1个等腰梯形,由于底角相等,大小等腰梯形的上下底之差也相等(相差一个平行四边形),设小等腰梯形上底为x,有
n(2x1)x2015
n
2015x
2015
2x1
∴n的最大值是2014,最多可以剪出4029个
x
…
x+1
2n个
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