平面三次Bzier曲线间的一种延拓方法Word文档下载推荐.docx
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关键词:
Bzier曲线;
G1连续;
控制顶点;
过渡
中图分类号:
TP39172文献标识码:
A文章编号:
10035060(201106095704
AnextensionmethodforplanecubicBziercurves
CAODecai1,ZHOUQuan2,GUOQingwei1
(1.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;
2.SchoolofComputerandInformation,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China
Abstract:
ThispaperpresentsamethodtoextendagivenplanecubicBziercurvetoanothernonadjacentcubicBziercurveunderG1continuousconditions.ThetransitioncurvesarealsocubicBziercurves.Theshapeofthetransitioncurvescanbeadjustedbytheuserandvariousfairingcurvesareconstructedbyminimizingtheobjectivefunctionsofapproximatearclength,energyandcurvaturevariationofthecurvesrespectively.SomeexamplesoftheextensionoftwononadjacentplanecubicBziercurvesaregivenandtheobtainedresultsarecomparedwiththeknownones.Itisprovedthatthepresentedmethodisbetterthantheknownones.
Keywords:
Bziercurve;
G1continuity;
controlvertex;
transition
0引言
Bzier曲线/曲面、Bspline曲线/曲面、NURBS曲线/曲面在曲线/曲面造型中被广为应用,其中Bzier曲线/曲面和Bspline曲线/曲面是CGAD中最基本和最重要的造型工具,有着广泛的应用。
而在实际工程中,三次Bzier曲线/曲面和Bspline曲线/曲面应用最为广泛。
在CAD系统中,经常会遇到如下问题:
将2条不相连接的平面Bzier曲线拼接起来,其中间过渡曲线也是Bzier曲线,并且在连接点处要达到某种程度的光滑度。
文献[1]提出了对于Bspline曲线的一种延拓方法,其所延拓的曲线同原曲线在拼接点处达到了曲线的最大连续性,即对于三次Bspline曲线,在拼接点处可以达到
C2连续;
文献[2]则采用了G2
连续为约束条件对三次Bzier曲线进行延拓;
文献[3]利用几何方法给出了平面三次Bzier曲线的一种过渡方法,所构造的过渡曲线与原曲线在拼接点处达到G1
或G2
连续;
文献[4]定义了带2个参数的多项式曲
线,分析了其几何意义并给出了曲线的几何作图法;
文献[5]提出了一种带1个形状参数的二次Bzier曲线的扩展;
文献[6]则将其推广成n次Bzier曲线的扩展。
本文利用文献[7]中的带2个形状参数的三次Bzier曲线的扩展曲线作为中间媒介,在保持G1连续的条件下,将2条不相邻接的平面三次Bzier曲线拼接起来。
根据2条平面三次Bzier曲线的相对位置的不同,其媒介曲线可以是1条,也可以为2条。
同时,本文给出了媒介曲线的具体生成方法,并与文献[3]中的方法进行比较。
1过渡曲线的构造
假设有2条平面三次Bzier曲线P(u和R(v,其控制顶点为Pi和Ri(i=0,1,2,3,如图
1所示。
令Bi,2=2
i
ti(1-t2-i,0t1(i=0,
1,2为二次Bernstein多项式[8]。
现引入带有形状参数、的调配函数[7]bi(t(i=0,1,2如下:
b0(t=B0,2(t(1-t=
-t3+(2+1t3-(+2t+1,
b1(t=B1,2(t1+(1-t
2
+
ut
=
(-t3+(-2-2t2+(+2t,
b2(t=B2,2(t[1-(1-t]=t3+(1-t2,其中,-2,1,则称曲线r(t=
P3b0+Qb1+R3b2是控制顶点为P3、Q、R3的带有形状参数、的三次Bzier曲线的扩展。
图12条不相邻接的平面三次Bzier曲线
11使用1段曲线进行拼接
如图1所示,此时P2P3与R2R3不平行,显然延长P2P3与R2R3必交于一点Q,以P3、Q、R3为控制顶点构造带有形状参数、的三次Bzier曲线的扩展曲线r(t=P3b0+Qb1+R3b2,由文献[7]可知,r(t与P(u和R(v相连,并且在拼接点处显然为G1连续。
为了确定形状参数、的值,引入曲线弧长、曲线能量[9]、曲线变化率的近似表达式为:
E1=10r(t2dt(1
E2=10r(t2dt(2
E3=10r(t2dt(3通过极小化目标函数(1~(3式确定自由变量、的值,由Ei/=0,Ei/=0(i=1,2,3分别得到:
(4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R23+(4Q2-8P3Q-10QR3=
20P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q2,
(4Q2-8P3Q-10QR3+16Q2=10P3Q-20Q2
(4
2(P3-Q2+(P3-Q(Q-R3+(P3-Q2-(P3-Q(Q-R3=0,
(P3-Q(Q-R3+2(Q-R32+(Q-R32-(P3-Q(Q-R3=0
(5
(P3-Q2+(P3-Q(Q-R3=0,
(P3-Q(Q-R3+(Q-R32=0
(6
由(4式系数矩阵的行列式值为:
D1=
4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R234Q2-8P3Q-10QR34Q2-8P3Q-10QR316Q2
=64[P23Q2-(P3Q2]+100[Q2R23-(QR32]+60Q2(2Q-R32>
0,
可得:
=D2/D1,=D3/D1(7
其中:
D2=20P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q24Q2-8P3Q-10QR310P3Q-20Q216Q2
D3=4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R2320P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q24Q2-8P3Q-10QR310P3Q-20Q2
。
因为(5式、(6式系数矩阵显然是满秩的,直接得:
958合肥工业大学学报(自然科学版第34卷
=2(P3-Q2
(Q-R32
-3(Q-R32
(P3-
Q(Q-R3+[(P3-Q(Q-
R3
]2
4(P3-Q2(Q-R32-[(P3-Q(Q-R3]2,
2(P3-Q2
-3(P3-Q2
(P3-Q(Q-R3+[(P3-Q(Q-R3]2
4(P3-Q2(Q-R32-[(P3-Q(Q-R3]2
(8
=0,=0
(9
根据以上结果,易画出满足曲线能量、曲线变化率最小的三次Bzier曲线的扩展,如图2所示。
图2
本文方法所得过渡曲线
如果用文献[3]所给的方法,对应同样情况的过渡曲线如图3所示。
图3对应图2的文献[3]中方法所得过渡曲线
显然,本文所提供的计算方法要比文献[3]中的方法简单一些。
12使用2段Bzier曲线进行拼接
如图4所示,此时P2P3与R2R3平行,分别延长P2P3和R2R3至Q1和Q2,连接Q1和Q2,在Q1Q2上任意取一点Q。
则由P3、Q1、Q为控制顶点的带有形状参数的三次Bzier曲线的扩展曲线和由Q、Q2、R3为控制顶点的带有形状参数的三次Bzier曲线的扩展曲线将曲线P(u和R(v拼接起来,且在连接点处P3、Q、R3为G1
连续。
其形状参数的确定方法与11中相仿,结果如图
5所示。
在此种情形下,不能用文献[3]中计算方法来生成拼接曲线,而用本文所提供的方法较简单。
图4不相邻接的平面三次Bzier曲线
959
第6期
曹德才,等:
图5本文方法所得的2条过渡曲线
2结束语
在保持G1连续的条件下,将2条不相邻接的三次Bzier曲线连接起来,其中间媒介也为Bzier曲线。
根据2条三次Bzier曲线的相对位置,其媒介Bzier曲线可以是1条,也可以为2条。
同时,本文给出拼接Bzier曲线的具体生成方法,并与文献[3]中的方法作了比较。
本文直接用文献[7]中的曲线作为过渡曲线的方法比文献[3]用几何方法生成过渡曲线的方法要简单,且可以处理文献[3]不能处理的情况。
但本文没有给出平行情况时,应如何取线段延长的长度和Q,才能使过渡曲线令人满意。
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(责任编辑张秋娟
(上接第847页
法,增加6个方向模板,提高了边缘定位精度,并且对于边缘检测后的钢管表面裂纹进行阈值分割和形态学膨胀,提取裂纹边缘并且进行连接。
实验表明,该算法能够有效地对钢管表面裂纹进行提取,对于实际工程中的裂纹检测与量化具有重要意义。
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960合肥工业大学学报(自然科学版第34卷
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- 平面 三次 Bzier 曲线 一种 延拓 方法