费马点问答含答案解析Word文档格式.docx
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G是其重心。
ZAGH=ZAGB=/BGH=120%
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.
以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.
AH=BH=AB=12.
ZAGH=120°
/HGP=60
A、G・P三点一线。
再连PD两点。
AABHAGHP和Z\BDH都是等边三角形,
/GHB=30
/PHD=30
HG=HP
ZGHB=/PHD;
HB=HD;
△HGB也zHPD;
(SAS)
ZHPD=/HGB=120
/HPG=60
AG=GP=PD但同在一条直线上。
GA+GH+GB二GA+GP+PD二AD.
G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点,费马点。
也就是重心°
例2:
△ABC是等腰三角形‘G是三角形内一点。
/AGC=/AGB=/BGC=120
GA+GB+GC最小
将厶BGC逆时针旋转60…连GPQB.贝UZ\HGBA/HPD;
/CPD=/CGB=120°
3CG=CP,GB=PD5BC=DC,ZGCB=/PCD.
/GCP=60
/BCD=60
AGCP和ABCD都是等边三角形。
/AGC=120°
/CGP=60
P三点一线。
ZCPD=120°
ZCPG=60
G・P・D三点一线。
AG・GP・PD三条线段同在一条直线上o
GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点‘费马点。
但它不同于等边三角形的费马点是重心。
例3:
△ABC是锐角三角形,G是三角形内一点。
将厶BGC逆时针旋转60°
,连GPQB.贝U△:
GB旦QPD;
3CG=CP,GB=PD5BC=DC,/GCB=/PCD.
/CGP=60
ZCPD=1200ZCPG=60
AG、GP・PD三条线段同在一条直线上o
GA+GC+GB二GA+GP+PD二AD.
G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点,费马点。
•从而
(费马点问题)如图,P是边长为1的等边ABC内的任意一点,求tPAPB
解:
Parti:
将BPC绕点B顺时针旋转60。
得到BPC,易知BPP'
为等边三角形
PAPBPCPAPP*PCAC'
(两点之间线段最短),从而t3.
Part2:
过P作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N,易知MNAN因为在BMPAM.
和PNC中,PBMPBM①,PCPNNC②。
又APMANMAMN,所以PA
tAMBMMPNPNCABMNNC1ANNC即t2•综上,tPAPBPC的取值范围为3
t2.
“费马点^与中考试题
费马点
费尔马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的发明者之
就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.
费尔马的结论:
对于一个各角不超过120o的三角形,费
马点是对各边的张角都是120。
的点,对于有一个角超过120。
的三角形,费马点就是这个内角的顶点.
下面简单说明如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?
这就是所谓的费尔马问
图1
解析:
如图1,把AAPC绕A点逆时针旋转60。
得到公PC,连接PP\
则MPP,为等边三角形,AP=PP'
pC冬PC,
所以PA+PB+PC=PP-+PB+PC*.
点C*可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60o而得的定点,BC'
为定长,所以当B、P、P,、0四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小.
这时/BPA=180°
-ZAPP'
=180°
-60°
120°
ZAPC=ZAPCT80°
-ZAPP=180°
120°
/BPC=360°
-ZBPA-ZAPC=360°
因此,当4ABC的每一个内角都小于120。
时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°
,可在AB、
BC边上分别作120。
的弓形弧,两弧在三角形内的交点就是P点;
当有一内角大于或等于120。
时,所求的P点就是钝角的顶点.
费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转
变换.
本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例,供同学们学习参考.
、B、C三点的距离之和的最小
本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例,供同学们学习参考.例1(2008年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到A
ABC三个顶点的距离之和‘这实际
连接EF、BG、AG,可知△
E、F两点都在BG上(图3).
分析:
连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到△
是费尔马问题的变形,只是背景不同.
解如图2,连接AC,把Z\AEC绕点C顺时针旋转60。
,得到AGFC»
EFC、MGC都是等边三角形,则EF=CE.
又FG=AE,
••AE+BE+CE=BE+EF+FG(图4).
•…点B、点G为定点(G为点A绕C点顺时针旋转60。
所得).
・线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值,此时
设正方形的边长为a,那么
-6
.2
BO=CO=2a,GC=2a,GO=
BG=BO+GO
・••点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为•、2・.6.
/26
a+a=A:
-26,解得a=2.
22
注本题旋转厶AEB、ABEC也都可以,但都必须绕着定点旋转‘读者不妨一试.
例2(2009年北京中考题)如图4,在平面直角坐标系xOy中,AABC三个顶点的坐标分别为
1
A6,0,B6,0,C0,4、,3,延长AC到点D,使CD=—AC,过点D作DE//AB交BC的延长线
2
于点E.
(1)求D点的坐标;
(2)作C点矢于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长
相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线ykxb与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A
点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求
到达A点所用的时间最短.
分析和解:
(DD点的坐标(3,6'
・3)(过程略).
(3)如何确定点G的位置是本题的难点也是尖健所在.设Q点为y轴上一点,P在y轴上运动的速
MQAQ1
度为V,贝UP沿MtQtA运动的时间为,使P点到达A点所用的时间最短,就是一MQ+
2vv2
AQ最小,或MQ+2AQ最小.
解法1•/BQ=AQ,-MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小,就是在直线M0上找点G
使他到A、B、M三点的距离和最小•至此,再次发现这又是一个费尔马问题的变形,注意到题目中等边三角形的信息,考虑作旋转变换.
把AMQB绕点B顺时针旋转60°
,得到ZMQB,连接QQ*>
MM'
(图5),可知AQCTB、AMM'
B都是等边三角形,贝UQQ7BQ.
又M*Q=MQ,
•••MQ+AQ+BQ=MQ+QQ+AQ.
・••点A、MM定点,所以当Q、CT两点在线段AM,上时,MQ+AQ+BQ最小.由条件可证明Q
点总在AM'
上,所以AM•与OM的交点就是所要的G点(图6).可证OG=—MG.
/
\
r汀刃曲
-阳」
'
JF
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\―•b/
厂」/
L*\1/
Mi
/Q/z
*
/尸G\
I
A
BA
0B厂
图5图6图7
解法2考虑】MQ+AQ最小,过Q作BM的垂线交BM于K,由OB=6,OM=6.3,可得
ZBMO二30°
、所以QK=-MQ.
要使一MQ+AQ最小,只需使AQ+QK最小,根据“垂线段最短”,可推出当点A、Q、K在一
条直线上时,AQ+QK最小,并且此时的QK垂直于BM,此时的点Q即为所求的点G(图7).
过A点作AH丄BM于H,则AH与y轴的交点为所求的G点.
由OB=6,OM=6、、3,可得
ZOBM=60
在RtAOAG中,OG=AOtan/BAH=2.3
•••G点的坐标为(0,2.3)(G点为线段OC的中点)
例3(2009年湖州中考题)若点P为AABC所在平面上一点,且/APB=ZBPC=ZCPA=120。
贝U
点P叫做AABC的费马点.
(1)若P为锐角△ABC的费马点,且/ABC=60°
PA=3,PC=4,则PB的值为;
(2)如图8,在锐角厶ABC的外侧作等边△ACB,连结BB*.求证:
BB,过AABC的费马点P,且
BB=PA+PB+PC.
图8
解:
(1)利用相似三角形可求PB的值为2、3.
(2)设点P为锐角△ABC的费马点,
gp/APB=ZBPC=ZCPA=120
如图8,把AACP绕点C顺时针旋转60。
到ACE‘连结PE,UAEPC为正三角形.
•••/B'
EC=ZAPC=1200/PEC=60
•••zB'
EC+ZPEC=180°
即P、E、B‘三点在同一直线上
•/zBPC=120°
/CPE=600,
•••/BPC+/CPE=180°
即B、P、E三点在同一直线上
・B、P、E、B‘四点在同一直线上,即BB'
过MBC的费马点P.
又PE=PC,B、PA,
•••BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.
注通过旋转变换,可以改变线段的位置,优化图形的结构•在使用这一方法解题时需注意图形
旋转变换的基础,即存在相等的线段,一般地,当题目出现等腰三角形(等边三角形)、正方形条件时,
可将图形作旋转60。
或90。
的几何变换,将不规则图形变为规则图形,或将分散的条件集中在一起,以便挖掘隐含条件,使问题得以解决.
费尔马问题是个有趣的数学问题,这些问题常常可通过旋转变换来解决
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