1418年北清自招博雅领军数学真题排列组合与概率.docx
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1418年北清自招博雅领军数学真题排列组合与概率
北大博雅2015.10.登梯时规定每次只能跨上1级或者2级楼梯,今欲登上10级楼梯,则不同走法的种数为
清华领军2015.15.设随机事件与互相独立,且,则()
A.
B.
C.
D.
清华领军2015.17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有()
A.105种B.225种C.315种D.420种
同时分入平面几何
清华领军2015.28.对于50个黑球和49个白球的排列(从左到右排成一排),则()
A.存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多
B.存在一个白球,它右侧的白球的黑球一样多
C.存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个
D.存在一个白球,它右侧的白球的黑球少一个
清华领军2015.29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,其中有两个数字各用两次,例如12231,则能得到的不同的五位数有()
A.300个B.450个C.900个D.1800个
北大博雅2016.9.将12个不同物体分成3堆,每堆4个,则不同的分法种类是()
A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对
9.【解答】D
不同的分法有。
【解答】平均分组问题,高考难度。
注意必须除以。
北大博雅2016.13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它是一个等腰三角形的三个项点的方法数是()
A.30B.36C.42D.前三个答案都不对
13.【解答】A
以正9边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有4个,其中有一个是正三角形,因此所有的方法数为。
【评析】又是一道带有对应方法思想的计数问题,将等腰三角形的数量对应为同一顶点发出的相等边。
类似的问题出现在2015年的自招考试,要求计算正十五边形的钝角三角形的个数,对应的钝角个数。
清华领军2016.3.将16个数:
4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44的矩阵中,要求每行、每列正好有2个偶数,则共有种填法。
3.【解答】441000.
先选出填偶数的位置,第一行两个偶数有种选择方法,考虑这两个偶数所在的列,还应填入两个偶数:
若这两个偶数也同行,则余下四个偶数的位置唯一确定(还没有填入偶数的两行两列的四个交叉位置),此时共有3种填法;若两偶数不同行则这两数有种填法,考虑填入这两数的行,还需分别填入一个偶数,这两偶数同列时则恰有一行和一列还没有偶数,其他行与列均已有两个偶数,无法再填入偶数,矛盾,因此这两偶数不同列,此时余下两个偶数的位置唯一确定(两个恰有一个偶数的列与一个没有偶数的行的交叉位置),共有2种填写方法。
综上,偶数的填写方法有种。
8个奇数中有4个1,8个偶数中有4个2,因此总的填写方法为种。
清华领军2016.8.一堆数乘在一起有很多种乘的顺序,如三个数可以有四种不同的乘法,记个数的乘法为,则:
A.B.C.D.
8.【解答】AB.
枚举易知A,B正确,考虑四个数的情况a,b,c,d固定顺序时至少有abcd,a(bc)d,ab(cd),a(bcd),a[b(cd)]五种乘法,四个数的全排列有4!
=24种,I4。
五个数全排列5!
=120,因此I5>120,即知C,D错误。
清华领军2016.12.问一个正2016边形,任选顶点顺序相连构成的凸多边形中,正多边形有几个?
A.6552B.4536C.3528D.2016
12.【解答】A.
2016=,考虑正n边形,则n应整除2016,且正n边形应共有个。
因此正多边形的总数为
,故选A。
清华领军2016.27.随机变量的分布列如下图,则下列说法正确的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A.若成等差数列,则
B.若满足,则
C.若,则
D.若,则
27.【解答】AB
若若a1,a2,…,a10成等差数列,因a1+a2+…+a10=1,知a5+a6=,A正确;由a1+a2+…+a10=1,得a10=1-a1-a2-…-a9=,B正确;CD中,a1=,a2=,有a1+a2>1,显然错误,综上选AB。
清华领军2016.31.甲,乙,丙,丁四个人进行网球赛规定甲乙一组,丙丁一组先打,胜者再打决胜局,四人相互对战,对战时胜率如下,求甲获胜的概率为
选手对手
甲
乙
丙
丁
甲
/
0.3
0.3
0.8
乙
0.7
/
0.6
0.4
丙
0.7
0.4
/
0.5
丁
0.2
0.6
0.5
/
31.【解答】0.165
甲获胜的概率为P=0.3(0.50.3+0.50.8)=0.165.
清华领军2017.4.有序数对中,。
记表示此数对中不同数的个数,例如,,则所有的的平均值为()
A.B.C.D.
4、【解答】A.
首先注意到有44=256种可能情况,按N值得不同分类:
N=4有A44=24种,N=3有C42·A43=144种(先指定哪两个数相同有C42种)N=2有C43·A42+(C42·A42)÷2=84种(前者是3+1情况,后者是2+2情况),N=1只有四种情况,因此==。
【评析】注意计数时如何分类,分完后所有情况的和应为256种是一种很好的检查手段,本题还应注意为什么N=2的2+2情形下面要除以2。
清华领军2017.12.已知。
是一个从到的映射,则满足对,为奇数的映射的种数为()
A.B.50C.60D.70
清华领军2017.23.是的一个排列,使,则有()种不同排列数。
A.5B.6C.8D.7
北大数学营初试2016.3.给定正整数n,有2n张纸牌叠成一堆,从上到下依次编号为1到2n。
我们进行这样的操作:
每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来,保持顺序放在牌堆下方。
例如n=3时,初始顺序为123456,操作后依次得到135246,154326,142536,123456。
证明:
对任意正整数n,操作不超过2n−2次后,这堆牌的顺序会变回初始状态。
分类存疑
3.【解答】证明如下。
我们证明一个等价的命题,将每次操作改为先从上往下取后一半的数出来,然后与前一半交叉放置(类似于洗扑克牌),如初始顺序为123456,操作后依次得到142536,154326,135246,123456。
将纸牌按顺时针摆放,使得第一张牌和最后一张牌(它们始终为1和2n)重合,将第一张牌的位置记为1,顺时针旋转将其他牌的位置依次记为2,3,⋯,2n−1。
定义纸牌m顺时针旋转到纸牌n时旋转的步数为纸牌m到n的距离,记为d(m→n),如图中d(2→3)=3。
下面证明经过k次操作(k∈)后
d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n),
用数学归纳法。
归纳基础当k=1时,有
d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=1,
命题成立。
归纳假设与递推证明设当k=p时,有
d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=q。
不难计算得经过操作后位置x的纸牌将会移动到位置
f(x)=(2x−1)%(2n−1),
其中t%s表示t模s的余数,因此原来距离为q的纸牌在操作后距离为(2q)%(2n−1)。
因此经过p+1次操作后,仍然有
d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)。
综上所述,经过k次操作(k∈)后
d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)。
这就意味着当纸牌2的位置确定时,其他所有纸牌的位置都可以依靠该性质确定。
而纸牌2至多只有2n−2种可能的位置,并且纸牌2的所在的位置不可能出现不包含位置2的循环。
这是因为操作是可以反向的,因此如果出现不包含位置2的循环,那么可以断定最初的状态纸牌2所在的位置不可能为2。
因此经过不超过2n−2次操作后,纸牌2必然回到位置2,原命题得证。
2017.5北大优特12.60支球队两两比赛,且一定有胜负,每队赢的概率均为0.5,设没有两队赢相同场数的概率为,其中p,q为互质的正整数,则2n可整除p的最大正整数n是()
A.1768B.1746C.1714D.1702
12.【解答】C
直接考虑计算,采取正难则反的策略。
问题的反面情况是任两支球队的获胜场数均不相同,先考虑把60支球队排给60种胜利场次数,一共种排法。
再注意到,一旦每支球队的胜利场次数确定了,所有比赛的胜负情况其实也确定了。
这是因为:
胜场次最多的队伍一定胜了其他全部的队伍,胜场次第二的队伍胜了除了胜场次最多的队伍以外的全部队伍……以此类推,每一场比赛的结果都已经确定。
于是。
利用阶乘幂次的公式:
60!
中2的幂次为
,故n=1770-56=1714。
【评析】此题是典型的竞赛第一试的问题,非竞赛生可能非常不习惯,尤其是确定2的幂次那一步,用到了数论中的结论。
同时分入数论类
2017.5北大优特19.两个相同的正四面体,四面分别标有1,2,3,4某人每次同时投掷这两个正四面体,规定每次两个底面数字之和为所得数字,共投掷3次,则3次所得数字之积能被10整数的概率是()
A.B.C.D.
19.【解答】D
2017.5北大优特31.已知a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},且a,b,c两两不相同。
已知直线ax+by+c=0的倾斜角为锐角,问直线有多少种?
(a,b,c)有多少组?
31.【解答】43、90
ax+by+c=0的倾斜角为锐角斜率大于等于0,即。
在{-3,-2,-1,0,1,2,3}中找可以取得的斜率,有{1,2,3,,,,}7种。
由于a,b,c两两不相同,那么当a,b取到满意题意的斜率后,c有5种剩余取法。
枚举a,b的取法有:
(1,-1)(2,-2)(3,-3)(2,-1)(1,-2)(3,-1)(1,-3)(2,-3)(3,-2)以及每一组对应取相反数,共有18组。
故符合题意的(a,b,c)有18=90组。
再看直线,仅当(a,b,c)成完全倍数关系时,两组(a,b,c)对应的是同一条直线,那么除了取相反数重复之外,只有(1,-1,0),(2,-2,0),(3,-3,0)为a,b不同的重复,多算了2种。
故直线种数为。
【评析】此题看似简单,但区分度很大。
一是考虑到用斜率的种数来对直线计数,二是要注意到(a,b,c)成对应的倍数关系时刻画的直线相同,三是要看清条件“a,b,c两两不相同”。
其他的分类方法也可以做,但也要注意直线的不同种数。
2017.5北大优特32.已知均匀正四面体上写有1,2,3,4,游戏中每轮抛掷两个正四面体,底面数字之和大于5则胜且游戏结束,否则轮到其他玩家。
甲乙轮流抛掷,甲先开始,问甲胜的概率。
32.【解答】
底面之和大于5的情况有(2,4)(3,3)(3,4)(4,2)(4,3)(4,4)6种。
那么抛掷一次获胜的概率为:
。
把甲胜的概率分为无数种情况:
第一次掷获胜,第三次掷获胜,…,第2n+1次获胜,…。
(第偶次一定是乙投掷)
故P(甲获胜)=p1+p3+…+p2n+1+…
计算有p1=,p3=,p5=,故{pn}为一个等比数列。
对上式计算有:
p(甲获胜)=。
【评析】概率题,高考难度。
注意要想清楚。
2017.1清华标测1.在圆周的十等分点A1,A2,…,A10中取出四个点,可以围成的梯形个数是()
A.60B.40C.30D.10
1.【解答】A.
由于圆的对称性,故只考虑一个方向上的问题,其他方向上的情况相同。
当梯形的上下底线段的端点角标奇偶性相同时,上下底是A2A10,A3A9,A4A8,A5A7中的两条,当梯形的上下底线段的端点角标奇偶性不同时,上下底是
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