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二项式定理,(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2,(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+baa+abb+bab+bba+bbb=a3+3a2b+3ab2+b3,还能写出(a+b)4的展开式吗?
写出二项式(a+b)2、(a+b)3展开式,(a+b)2(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2,展开后其项的形式为:
a2,ab,b2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
考虑b,恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21,恰有2个取b的情况有C22种,则b2前的系数为C22,每个都不取b的情况有1种,即C20,则a2前的系数为C20,即每一项的形式是a4-kbk,,从上述过程中可以发现,,(a+b)n是n个(a+b)相乘,,根据多项式乘法法则,,每个(a+b)相乘时有两个选择,选a或选b,,而且每个(a+b)中的a或b选定后,才能得到展开式的一项,,由分步乘法计数原理,可以得到这样的项的项数,然后合并同类项。
探索(a+b)4的展开式的形式。
4个括号中取a和取b的个数和为4,,每个都不取b的情况有1种,即C40,则a4前的系数为C40,恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41,恰有2个取b的情况有C42种,则a2b2前的系数为C42,恰有3个取b的情况有C43种,则ab3前的系数为C43,恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44,则(a+b)4C40a4C41a3bC42a2b2C43ab3C44b4,(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)?
k=0时,k=4,k=3,k=2,k=1,(a+b)4C40a4C41a3bC42a2b2C43ab3C44b4,猜想(a+b)n的展开式,(nN*),然后将上述过程合起来,就得到二项展开式,,(nN*),证明:
对(a+b)n分类,按b可以分n+1类,,不取b:
Cn0an;,取1个b:
Cn1an-1b1;,取2个b:
Cn1an-2b2;,(k+1)取k个b:
Cnkan-kbk;,(n+1)取n个b:
Cnnbn;,(a+b)nCn0anCn1an-1bCn2an-2b2Cnkan-kbkCnnbn(nN*),Tk+1=Cnkan-kbk,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,共n+1项,Cnkan-kbk:
二项展开式的通项,记作Tk+1,表示k+1项,Cnk:
二项式系数,若令a=1,b=x,则得到:
(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn,(a+b)nCn0anCn1an-1bCn2an-2b2Cnkan-kbkCnnbn(nN*),(4)二项式系数为Cn0,Cn1,Cn2,Cnk,Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数,与a,b无关,二项展开式的特点:
(1)共有n+1项,
(2)各项的次数都等于二项式的次数n,(3)字母a按降幂排列,次数由n递减到0,字母b按升幂排列,次数由0增加到n,例1:
(1)写出(1+2x)5的展开式中的第4项,
(2)写出(1+2x)5的展开式,(3)求的展开式,例2
(1)求的展开式的第4项的系数;,
(2)求的展开式中x3的系数及二项式系数,9-2r=3,r=3,例3求的展开式中的倒数第4项;,求的展开式常数项;,解:
展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,,,,;,当,时展开式是常数项,即常数项为,的展开式中的第3项,求的展开式的中间两项,,,“杨辉三角”与二项式系数性质,二项式系数表,以上二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了,这个表称为杨辉三角,杨辉指出这个方法出于释锁算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它。
这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
杨辉三角,详解九章算法记载的表,杨辉,能得出哪些性质?
会证明这些性质吗?
a)表中每行两端都是1。
b)除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
当n不大时,可用该表来求二项式系数。
对称,c)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,可以看成以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,n。
函数角度:
当n=6时,二项式系数(0r6)用图象表示:
f(r),关于r=n/2对称,r=3和r=4时取得最大值,n为偶数;如n=6,n为奇数;如n=7,增减性与最大值,d)当n为偶数如2、4、6时,中间一项最大,当n为奇数如1、3、5时,中间两项最大,(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn,令x=1,则,2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnk+Cnn,即(a+b)n展开式的二项式系数和为2n,赋值法,二项式系数的性质,总结,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,r=n/2将函数f(r)的图象分成对称的两部分。
二项式系数先增大后减小,且在中间取得最大值;,即(a+b)n展开式的二项式系数和为2n,当n为偶数如2、4、6时,中间一项最大,当n为奇数如1、3、5时,中间两项最大,Cn0+Cn1+Cn2+Cnk+Cnn=2n,n-1,例1证明:
在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证:
(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn,令x=-1,(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)kCnk+(-1)nCnn,0=(Cn0+Cn2+)(Cn1-Cn3+),例2已知的展开式中,第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的一次项.,n=8,设展开式中含x的项是第r+1项,则,故展开式中含x的项为第3项,即,例3已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,证明展开式中没有常数项;求展开式中所有的有理项,舍去),若是常数项,则,即16-3r=0,,,这不可能,展开式中没有常数项;,r=0,4,8,,分别是:
例4已知的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14:
3,求展开式的常数项,解:
依题意,3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!
=4n(n-1)/2!
n=10,设第r+1项为常数项,又,令,此所求常数项为180,例8求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数,解:
=,原式中x3实为这分子中的x4,则所求系数为,,,例9求的近似值,使误差小于0.001,解:
展开式中第三项为,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,,一般地当a较小时,例题选,题型一二项展开式中系数的最大与最小,例1在二项式的展开式中,求系数最小的项的系数。
所以系数最小的项的系数为,例2已知的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求的展开式中:
二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.,.,解:
由题意,解得n=5.,设第r+1项的系数的绝对值最大,则,r=3,故系数的绝对值最大的是第4项。
例3求的展开式中系数最大的是第几项?
解:
设展开式中第r+1项的系数最大,则,r=7故第18项的系数最大,题型二展开式的系数和,例1已知:
的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992,求展开式中二项式系数最大的项;,求展开式中系数最大的项,解:
令x=1,则展开式中各项系数和为,又展开式中二项式系数和为2n,n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三,四两项,设展开式中第r+1项系数最大,则,即展开式中第5项系数最大,,解:
在,令x=1,得,令x=-1,得,两式相乘得,例3已知,求:
当x=1时,,展开式右边为,当x=0时,,令x=-1,,例4在的展开式中,求:
二项式系数的和;,各项系数的和;,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;,奇数项系数和与偶数项系数和;,x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.,令x=y=1,各项系数和为,解:
令x=1得:
令x-a=1即x=a+1可得各项系数的和,的值;令x-a=-1即x=a-1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系。
练习已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,则
(1)a1+a2+a3+a7=_
(2)a1+a3+a5+a7=_(3)a0+a2+a4+a6=_,赋值法,(4)若已知(1+2x)200=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a200(x-1)200求a1+a3+a5+a7+a199的值。
二项式定理的其它问题,例1在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数.,在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,,含x的项为,展开式中含x的项为,此展开式中x的系数为240,例2求证:
证(法一)倒序相加:
设,,,(法二):
左边各组合数的通项为,例4求的展开式中x的系数,(法一),显然,上式中只有第四项中含x的项,系数是,(法二),展开式中含x的项的系数是,例5已知的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值.,展开式中含x2的项的系数为,t=,时,t取最小值,,但,时,,t即x2项的系数最小,最小值为272,此时,练习化简:
(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.,
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