模块92《概率》Word下载.docx
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[探究] 1.概率和频率有什么区别和联系?
提示:
频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越大时,频率也越来越向概率接近,只要次数足够多,所得频率就近似地看作随机事件的概率.
[探究] 2.互斥事件和对立事件有什么区别和联系?
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生;
而对立事件则是必有一个发生,但不能同时发生.所以两个事件互斥但未必对立;
反之两个事件对立则它们一定互斥.
【自测·
牛刀小试】
1.甲:
A1、A2是互斥事件;
乙:
A1、A2是对立事件.那么( )
A.甲是乙的充分但不必要条件
B.甲是乙的必要但不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球,都是白球
B.至少有1个白球,至少有1个红球
C.恰有1个白球,恰有2个白球
D.至少有1个白球,都是红球
3.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175]的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为( )
A.0.2 B.0.3
C.0.7D.0.8
4.某城市2012年的空气质量状况如下表所示:
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;
50<
T≤100时,空气质量为良;
100<
T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市2012年空气质量达到良或优的概率为( )
A.
B.
C.
D.
5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是
,乙获胜的概率是
,则乙不输的概率是________.
考点一
随机事件间的关系
【例1】 从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只球,判断下列每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件.
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”;
(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”;
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”;
(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”.
—————
——————————————
理解互斥事件与对立事件应注意的问题
(1)对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不可能同时发生外,其并事件应为必然事件,这可类比集合进行理解;
(2)具体应用时,可把试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而判断所给事件的关系.
1.判断下列每对事件是否为互斥事件?
是否为对立事件?
从一副桥牌(52张)中,任取1张,
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.
考点二
随机事件的频率与概率
【例2】某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩如下表:
射击次数
120
150
160
击中飞碟数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)将各次击中飞碟的频率填入表中;
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少?
概率和频率的关系
概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.
2.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,如下表所示:
(1)计算表中进球的频率并填表;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?
投篮次数n
8
10
15
20
40
50
进球次数m
6
12
17
25
32
38
进球频率
考点三
互斥事件、对立事件的概率
【例3】某战士射击一次,问:
(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少?
(2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为0.21,命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为多少?
不够9环的概率为多少?
求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法:
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和,运用互斥事件的概率求和公式计算.
(2)间接法:
先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(
),即运用逆向思维,特别是“至少”“至多”型题目,用间接法就显得较简便.
3.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
1个难点——对频率和概率的理解
(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验,用事件发生的频率近似地作为它的概率,但是,某一事件的概率是一个常数,而频率随着试验次数的变化而变化.
(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的“可能性”,事件A的概率是事件A的本质属性.
1个重点——对互斥事件与对立事件的理解
(1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解:
①互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;
③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的.
(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件,集合A的对立事件记作
.从集合的角度来看,事件
所含的结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成的集合的补集,即A∪
=U,A∩
=∅.对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.
易误警示——误判事件间的关系导致概率计算失误
【典例】 (2013·
临沂模拟)抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,则P(A∪B)=________.
【变式训练】
某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件,恰好得正品的概率为( )
A.0.99 B.0.98
C.0.97D.0.96
第二节古典概率
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)等可能性:
每个基本事件出现的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
P(A)=
[探究] 1.在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的吗?
不一定.如试验一粒种子是否发芽,其发芽和不发芽的可能性是不相等的.
[探究] 2.如何判断一个试验是否为古典概型?
关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征:
有限性和等可能性.
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( )
B.
D.1
2.某国际科研合作项目由两个美国人,一个法国人和一个中国人共同开发完成,现从中随机选出两个人作为成果发布人,在选出的两人中有中国人的概率为( )
3.5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )
4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5的下方的概率为________.
5.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为________.
简单古典概型的求法
【例1】 编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
35
21
28
36
18
34
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
26
33
22
31
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率.
本例条件不变,从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,求这2人得分之和小于50的概率.
应用古典概型求概率的步骤
(1)仔细阅读题目,分析试验包含的基本事件的特点;
(2)设出所求事件A;
(3)分别列举事件A包含的基本事件,求出总事件数n和所求事件A包含的基本事件数m;
(4)利用公式求出事件A的概率.
1.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.
(1)求所选2人中恰有一名男生的概率;
(2)求所选2人中至少有一名女生的概率.
较复杂的古典概型的概率
【例2】 为振兴旅游业,四川省2012年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中
是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有
持金卡,在省内游客中有
持银卡.
(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;
(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点
(1)解题的关键点是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型;
(2)必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和,或先求其对立事件的概率,进而利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
2.(2012·
新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:
元)关于当天需求量n(单位:
枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:
枝),整理得下表:
日需求量n
14
16
19
频 数
13
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:
元)的平均数;
②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
4种方法——基本事件个数的确定方法
(1)列举法:
此法适用于基本事件较少的古典概型;
(2)列表法:
此法适合于从多个元素中选定一两个元素的试验,也可看成是坐标法;
(3)树状图法:
树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求;
(4)计数原理法:
如果基本事件的个数较多,列举有一定困难时,可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m,n,再运用公式求概率.
1个技巧——求解古典概型问题概率的技巧
(1)较为简单问题可直接使用古典概型公式计算;
(2)较为复杂的概率问题的处理方法:
一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式进行求解;
二是采用间接法,先求事件A的对立事件
的概率,再由P(A)=1-P(
)求事件A的概率.
1个构建——构建不同的概率模型解决问题
(1)原则:
建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”,这就要求选择恰当的观察角度,把问题转化为易解决的古典概型问题;
(2)作用:
一方面,对于同一个实际问题,我们有时可以通过建立不同“模型”来解决,即“一题多解”,在这“多解”的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;
另一面,我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题,即“多题一解”.
答题模板——求古典概型概率
【典例】(2012山东高考·
满分12分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;
蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
(2012·
江西高考)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;
(2)求这3点与原点O共面的概率.
第三节几何概型
1.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
2.几何概型的概率公式
.
[探究]1.几何概型有什么特点?
几何概型的特点:
①无限性:
试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个.
②等可能性:
[探究]2.几何概型和古典概型有什么区别?
几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的,但古典概型的基本事件有有限个,而几何概型的基本事件则有无限个.
1.容量为400mL的培养皿里装满培养液,里面有1个细菌,从中倒出20mL的培养液,则细菌被倒出的概率是( )
B.
2.已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
3.某人向一个半径为6的圆形靶射击,假设他每次射击必定中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )
4.点A为周长等于3的圆周上一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧
的长度小于1的概率为________.
5.如图所示,已知正方形的面积为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此试验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为________.
与长度有关的几何概型
【例1】
(2012·
辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( )
B.
在长为12cm的线段AB上任取一点C,并以线段AC为边作正方形,则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率是多少?
求解与长度有关的几何概型的两点注意
(1)求解几何概型问题,解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比;
(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法,是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度,然后求解,应特别注意准确表示所确定的线段的长度.
1.在区间
上随机取一个数x,则cosx的值介于0到
之间的概率为________.
2.已知集合A={x|-1<
x<
5},B=
,在集合A中任取一个元素x,则事件“x∈A∩B”的概率是________.
与面积(体积)有关的几何概型
【例2】
(1)已知平面区域U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域U内随机投一点P,则点P落入区域A的概率为________.
(2)(2012·
湖北高考)如图所示,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆,在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )
-
B.
C.1-
求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到实验全部结果构成的平面图形,以便求解.
3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为
,则阴影区域的面积为( )
D.无法计算
4.若不等式组
表示的平面区域为M,(x-4)2+y2≤1表示的平面区域为N,现随机向区域内抛一粒豆子,则该豆子落在平面区域N内的概率是________.
与角度有关的几何概型
【例3】 如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°
角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为________.
求解与角度有关的几何概型的注意点
当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,切不可用线段代替,这是两种不同的度量手段.
5.如图,M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过
R的概率是________.
1条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识
几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.
2种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法
(1)当题干是双重变量问题,一般与面积有关系;
(2)当题干是单变量问题,要看变量可以等可能到达的区域:
若变量在线段上移动,则几何度量是长度;
若变量在平面区域(空间区域)内移动,则几何度量是面积(体积),即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.
创新交汇——几何概型与定积分的完美结合
1.几何概型是近几年高考的热点之一,主要考查形式有两种:
一是以实际问题为背景直接考查与长度、面积有关的几何概型的概率求解,多涉及三角形、矩形、圆等平面图形的计算;
二是与定积分、解析几何、函数、立体几何、线性规划、等知识交汇命题.
2.解决此类问题关键是理解几何概型的含义及其求法原理,并熟练掌握相关知识.
【典例】 (2012·
福建高考)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
(2013·
沈阳模拟)设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},从集合A中随机地取出一个元素P(x,y),则P∈B的概率是________.
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