基于频率特性的典型系统校正设计及仿真研究Word文档格式.docx
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操纵系统的校正问题,是自动操纵系统设计理论的重要分支,也是具有有效意义的一种改善系统性能的手腕与方式。
系统的设计问题,传统的提法是依照给定的被控对象和自动操纵的技术要求,单独进行操纵器的设计,使得操纵器与被控对象组成的系统,能够较好地完成不可改变的部份。
可是近代操纵系统的设计问题已冲破了上述传统观念,例如,近代的不稳固飞行对象的设计,确实是事前考虑了操纵的作用,亦即操纵对象不是不可变的部份了,而是对象与操纵器进行一体化的设计。
依照被控对象及其技术要求,设计操纵器的传统做法也需要考虑多方面的问题,除保证良好的操纵性能之外,还要照顾到工艺性、经济性;
同时利用寿命、允许的体积与重量、治理与保护的方便等也不容轻忽。
在设计手腕上,除必要的理论计算之外,还需要配合一些局部和整体的模拟实验和数字仿真。
因此,要达到比较中意的设计,需要综合多方面的知识和依托长期实践的积存
若是将操纵系统中的各个变量看成是一些信号,而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的,那么各个变量的运动确实是系统对各个不同频率信号响应的总和。
系统对正弦输入的稳态响应称频率响应。
利用这种思想研究操纵系统稳固性和动态特性的方式即为频率响应法。
频率响应法的优势为:
1.物理意义明确,关于一阶或二阶系统,频域性能指标与时域性能指标有明确的对应关系;
关于高阶系统,可成立近似的对应系统。
2.能够利用实验方式求出系统的数学模型,易于研究机理复杂或不明的系统,也适用于某些非线性系统。
3.能够依照开环频率特需研究闭环系统的性能,无需求解高阶方程。
4.能较方便地分析系统中的参量对系统动态响应的阻碍,从而进一步指出改善系统性能的途径。
5.采纳作图方式,超级直观。
(二)MATLAB应用前景
MATLAB是起源于美国MathWorks公司发布要紧面向数值计算、科学数据可视化和交互式程序设计的高技术计算语言。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化和非线性动态系统的建模和仿真等诸多壮大功能集成在一个易于利用的视窗环境当中,为科学研究、为适应众多专业科技人员的需要;
MathWorks同时提供了数十个应用工具箱为科学和工程领域各类特殊问题及应用定制MATLAB运行环境;
并为全面解决复杂数值计算问题和CAD研究等提供了综合解决方案。
MATLAB仿真在科学研究中的地位愈来愈高,如何利用MATLAB仿真出理想的结果,关键在于如何准确的选择MATLAB的仿真。
二、理论整理
(一)频率特性
系统或环节对正弦输入信号的稳态响应与输入函数之比称为频率特性。
频率特性能反映系统(环节)的动态特性。
当对不同系统施加相同信号时,由于它们的动态特性不同,其稳态响应不同也专门大。
因此,频率特性尽管是从系统的稳态输出求出的,但却反映了系统的动态特性。
这是因为频率响应是在强制振荡输入信号作用下的输出响应,尽管观测到的频率响应是在过渡进程终止以后,但现在,系统并无进入静止状态,输出仍在等幅振荡当中,系统的动态特性对转变的信号必然有阻碍。
值得注意的是,一方面,相同频率的信号对不同系统的输入,会反映出系统动态特性的不同,另一方面,具体到刻画每一系统的动态特性,需要明白频率在大范围(ω从0→∞)转变时所有的输出响应,即假设要用频率特性表征系统的动态特性时,只明白在单一频率下的输出响应是远远不够的。
频率特性分析方式是从频域的角度研究系统特性的方法。
通过度析频率特性研究系统性能是一种普遍利用的工程方式,能方便地分析系统中的各部份参量对系统整体性能的阻碍,从而进一步指出改善系统性能的途径,因此咱们对系统的频响特性要进行深切的分析。
1.频率特性大体概念
如果将控制系统中的各个变量看成是一些信号,而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的,则各个变量的运动就是系统对各个不同频率信号响应的总和。
利用这种思想研究控制系统稳定性和动态特性的方法即为频率响应法。
频率响应法的优点为:
1.物理意义明确;
2.可以利用试验方法求出系统的数学模型,易于研究机理复杂或不明的系统,也适用于某些非线性系统;
3.采用作图方法,非常直观;
2.频率特性函数的概念
对于稳定的线性系统或者环节,在正弦输入的作用下,其输出的稳态分量是与输入信号相同频率的正弦函数。
输出稳态分量与输入正弦信号的复数比,称为该系统或环节的频率特性函数,简称为频率特性,记作G(jω)=Y(jω)/
R(jω)
关于不稳固系统,上述概念能够作如下推行。
在正弦输入信号的作用下,系统输出响应中与输入信号同频率的正弦函数分量和输入正弦信号的复数比,称为该系统或环节的频率特性函数。
当输入信号和输出信号为非周期函数时,那么有如下概念。
系统或环节的频率特性函数,是其输出信号的傅里叶变换象函数与输入信号的傅里叶变换象函数之比。
频率特性与传递函数和微分方程一样,也表征了系统的运动规律,这确实是频率响应能够从频率特性动身研究系统的理论依据。
图1
3.频率特性函数的表示方式
系统的频率特性函数可以由微分方程的傅里叶变换求得,也可以由传递函数求得。
这三种形式都是系统数学模型的输入输出模式。
当传递函数G(s)的复数自变量s沿复平面的虚轴转变时,就取得频率特性函数
G(jω)=G(s)|s=jω
所以频率特性是传递函数的特殊形式。
代数式
G(jω)=R(w)+jI(ω)
R(w)和I(w)称为频率特性函数G(jw)的实频特性和虚频特性。
指数式
G(jω)=A(w)eΦ(ω)
式中
A(ω)=|G(jω)|
是频率特性函数G(jw)的模,称为幅频特性函数。
Φ(w)=argG(jω)
是频率特性函数G(jω)的幅角,称为相频特性函数。
(二)频率响应曲线
系统的频率响应可以用复数形式表示为G(jω),常用的频率响应表示方法是图形表示法。
根据系统频率响应幅值、相位和频率之间的不同显示形式,有伯德(Bode)图、奈魁斯特(Nyquist)图和尼柯尔斯(Nichols)图。
1.伯德图
伯德(Bode)图又称对数频率特性图,由对数幅频特性图和相频特性图组成。
伯德图的横坐标为角频率ω,按常对数lgω分度。
对数复频特性的纵坐标是对数复值。
L(ω)=20lgA(ω)
单位为分贝(dB),线性分度。
对数相频特性的纵坐标为φ(ω),单位为度,线性分度。
一样情形下,操纵系统开环对数频率特性图的绘制步骤如下:
1).将开环频率特性按典型环节分解,并写成时刻常数形式;
2).求出各转角频率(交接频率),将其从小到大排列为ω1,ω2,ω3,……,并标注在ω轴上;
3).绘制低频渐近线(ω1左侧的部份),这是一条斜率为-20rdB/decade(r为系统开环频率特性所含1/jw因子的个数)的直线,它或它的延长线应通过点(1,20,lgK);
4).各转角频率间的渐近线都是直线,但自最小的转角频率ω1起,渐近线斜率发生转变,斜率转变取决于各转角频率对应的典型环节的频率特性函数。
例1绘制一阶惯性环节G(s)=1/(4s+1)的伯德图。
程序代码如下:
>
num=[1];
den=[41];
G=tf(num,den);
bode(G,'
r'
)
图2
2.奈魁斯特图
奈魁斯特图又称为极坐标图或者幅相频率特性图。
频率特性函数G(jω)的奈魁斯特图是角频率ω由0变化到∞时,频率特性函数在复平面上的图像。
它以ω为参变量,以复平面上的向量表示G(jω)的一种方法。
G(jω)曲线的每一点都表示与特定ω值相应的向量端点,向量的幅值为|G(jω)|,相角为argG(jω);
向量在实轴和虚轴上的投影分别为实频特性R(ω)和虚频特性I(ω)。
一样情形下,系统开环频率特性函数奈魁斯特图的绘制步骤如下:
1).将系统的开环频率特性函数G0(jω)写成G(jω)=A(w)eΦ(ω);
2).确信奈魁斯特图的起点(ω=0+)和(ω→+∞)。
起点与系统所包括的积分环节个数(γ)有关,终点的A(ω)与系统开环传递函数分母和分子多项式阶次的差有关;
3).确信奈魁斯特图与坐标轴的交点;
4).依照以上的分析而且结合开环频率特性的转变趋势绘制奈魁斯特图。
例2绘制一阶惯性环节G9s)=3/(5s+1)的奈魁斯特图。
G=tf(3,[51]);
nyquist(G);
holdon;
set(G,'
inputdelay'
5);
10);
title('
Nyquist图'
);
图3
3.尼柯尔斯图
尼科尔斯图又称为对数幅频率特性图,它以开环频率特性函数的对数幅值为纵坐标,以相角值为横坐标,以角频率为参变量绘制的频率特性图。
采用直角坐标。
纵坐标表示20lg|G(jω)|,单位是dB,线性刻度。
横坐标表示∠G(jω),单位是度,线性分度。
在曲线上一样标注角频率ω的值作为参变量。
一般是先画出Bode图,再依照Bode图绘制尼科尔斯图。
4.频率响应分析
时域分析中的性能指标直观反映控制系统动态相应的特征,属于直接性能指标,而系统频率特性函数的某些特征可以用作间接性能指标。
1).开环频率特性的性能分析
基于开环频率特性函数的性能分析指标有如下两个:
一是相角裕量γ,反映系统的相对稳定性;
另一个是截止频率ωc,反映系统的快速性。
ωc是A(ωc)=1所对应的角频率,或对数幅频特性图上L(ω)穿越0分贝线的斜率,在采用渐近线作图时,两者略有不同。
2).闭环频率特性的性能分析
基于闭环频率特性函数的常用指标有两个:
一是谐振峰值Mr,反映系统的相对稳定性;
另一个是频带宽度或者带宽频率ωB,定义为闭环幅频特性幅值M(ω)下降到(0)时对应的角频率,它反映了系统的快速性。
例3用直接计算法,确信系统的谐振振幅和谐振频率。
已知一控制系统开环传递函数G0(s)=(s2+3s+5),试求此系统的谐振振幅Mr和谐振频率ωr。
Go=tf,[135]);
[Mr,Pr,Wr]=mwr(Go)
mwr函数程序如下:
function[Mr,Pr,Wr]=mwr(G)
[mag,pha,w]=bode(G);
magn=mag(1,:
phase=pha(1,:
[M,i]=max(magn);
Mr=20*log10(M);
Pr=phase(1,i);
Wr=w(i,1);
运行结果:
Wr=
Mr=
Pr=
结果中的单位分别是分贝(dB)、rad/s和度。
例4利用LTIView工具,取得系统频率响应的谐振振幅和谐振频率。
以例3中的传递函数为例,确信系统的谐振振幅Mr和谐振频率ωr。
在命令窗口界面键入如下命令:
Go=tf,[135])
ltiview
Transferfunction:
s^2+3s+5
进入LTIView工具箱界面,对此系统进行分析。
(三)系统设计与校正
所谓系统校正,确实是在系统中加入一些其它参数能够依照需要而改变的机构或装置,使系统整个特性发生转变,从而知足给定的各项性能指标。
1.性能指标
性能指标通常由利用单位或被控对象的设计制造单位提出,不同的操纵系统对性能指标的要求应有不同的偏重。
例如,调速系统对平稳性和稳态精度要求较高,而随动系统那么偏重于快速性要求。
性能指标的提出,应符合实际系统的需要与可能。
一样地说,性能指标不该当比完成给定任务所需要的指标更高。
在操纵系统的设计中,采纳的设计方式一样依据性能指标的形式而定。
若是性能指标以单位阶跃响应的峰值时刻、调剂时刻、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特点量给出时,一样采纳根轨迹法校正。
若是性能指标以系统的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特点量给出时,一样采纳频率法校正。
目前,工程技术界多适应采纳频率法,故通常通过近似公式进行两种指标的互换。
1):
二阶系统频域指标与时域指标的关系
谐振峰值
谐振频率
带宽频率
截止频率
相角裕度
超调量
调剂时刻
2):
高阶系统频域指标与时域指标的关系
2.校正的作用
在系统设计的初步时期,老是先选择一些元部件(如执行元件、测量元件、放大元件)组成系统的大体组成部份,它往往不能知足系统的各项性能指标要求。
为此,须引入校正装置,使最后的系统知足要求。
3、校正方式
依照校正装置在系统中的连接方式,操纵系统校正方式可分为串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正四种,。
若是校正装置串联于系统的前向通道当中,称为串联校正。
假设校正装置位于系统的局部反馈通道当中,那么称为反馈校正,如图4所示。
图4.串联校正与反馈校正
前馈校正又称顺馈校正,是在系统主反馈回路之外采纳的校正方式。
前馈校正装置位于系统给定值以后,主反馈作用点之前的前向通道上,如图6-4(a)所示。
这种校正方式的作用相当于对给定值进行整形或滤波后,再送入反馈系统。
另一种前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间,对扰动信号进行直接或间接测量,并经变换后接入系统,形成一条附加的对扰动阻碍进行补偿的通道,如图5所示。
前馈校正能够单独作用于开环操纵系统,也能够作为反馈操纵系统的附加校正而组成复合操纵系统。
图5
复合校正方式是在反馈操纵回路中,加入前馈校正通路,组成一个有机整体,如图6所示,其中(a)为按扰动补偿的复合操纵形式,(b)为按输入补偿的复合操纵形式。
在操纵系统的设计中,经常使用的校正方式为串联校正和反馈校正两种。
而串联校正又比反馈校正设计简单,也比较容易对信号进行各类必要形式的变
图6
三、操纵系统建模
在操纵系统的分析和设计中,第一要成立系统的数学模型。
在matlab中,经常使用的系统建模方式有传递函数模型、零极点模型和状态空间模型等。
下面结合图,介绍这些建模方式。
图7
其中,
(一)操纵系统模型的描述
系统传递函数模型描述
命令格式:
sys=tf(num,den,Ts)
其中,num,den别离为分子、分母多项式降幂排列的系数向量;
Ts表示采样时刻,缺省时描述的是持续传递函数。
图中的G1(s)可描述为G1=tf([1],[110])。
假设传递函数的分子、分母为因式连乘形式,如图中G2(s),那么能够考虑采纳conv命令进行多项式相乘,取得展开后的分子、分母多项式降幂排列的系数向量,再用tf命令建模。
如G2(s)可描述为num=1;
den=conv([1],[13]);
G2=tf(num,den).
2)系统零极点模型描述
sys=zpk(z,p,k,Ts)
其中,z,p,k别离表示系统的零点、极点及增益,假设无零、极点,那么用[]表示;
Ts表示采样时刻,缺省时描述的是持续系统。
图中的G3(s)可描述为G3=zpk([-2],[0-1],1)。
(二)模型转换
由于在操纵系统分析与设计中有时会要求模型有特定的描述形式,为此matlab提供了传递函数模型与零极点模型之间的转换命令。
[num,den]=zp2tf(z,p,k)
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
其中,zp2tf能够将零极点模型转换成传递函数模型,而tf2zp能够将传递函数模型转换成零极点模型。
图中的G1(s)转换成零极点模型为[z,p,k]=tf2zp([1],[110]),G3(s)转换成传递函数模型为[num,den]=zp2tf([-2],[0-1],1)。
(三)系统连接
一个操纵系统通常由多个子系统彼此连接而成,而最大体的三种连接方式为图中所示的串联、并联和反馈连接形式。
1)两个系统的并联连接
sys=parallel(sys1,sys2)
关于SISO系统,parallel命令相当于符号“+”。
关于图中由G1(s)和G2(s)并联组成的子系统G12(s),可描述为G12=parallel(G1,G2)。
2)两个系统的串联连接
sys=series(sys1,sys2)
关于SISO系统,series命令相当于符号“*”。
关于图中由G1(s)和G2(s)串联组成的开环传递函数,可描述为G=series(G12,G3)。
3)两个系统的反馈连接
sys=feedback(sys1,sys2,sign)
其中,sign用于说明反馈性质(正、负)。
sign缺省时,为负,即sign=-1.由于图系统为单位负反馈系统,因此系统的闭环传递函数课描述为sys=feedback(G,1,-1).其中,G表示开环传递函数,“1”表示是单位反馈,“-1”表示是负反馈,可缺省。
(四)建模举例
例5:
已知传递函数
计算G(s)的零极点;
H(s)的特点方程;
绘制GH(s)的零-极点图;
num=[601];
den=[1331];
z=roots(num);
p=roots(den);
p
p=
+
-
z
z=
0+
0-
n1=[11];
n2=[12];
d1=[12*i];
d2=[1-2*i];
d3=[13];
numh=conv(n1,n2);
denh=conv(d1,conv(d2,d3));
printsys(numh,denh)
num/den=
s^2+3s+2
---------------------------
s^3+3s^2+4s+12
tf(numh,denh)
Transferfunction:
-----------------------------
s^3+3s^2+4s+12
GH(s)
num=conv(numg,numh);
den=conv(deng,denh);
printsys(num,den)
6s^4+18s^3+13s^2+3s+2
-----------------------------------------------------------------
s^6+6s^5+16s^4+34s^3+51s^2+40s+12
[p,z]=pzmap(num,den)
pzmap(num,den)
图8
四、频率响应法校正
若是系统设计要求知足的性能指标属频域特点量,那么通常采纳频域校正方式。
在频域内进行系统设计,是一种间接设计方式,因为设计结果知足的是一些频域指标,而不是时域指标。
但是,在频域内进行设计又是一种简便的方式,在伯德图上尽管不能严格定量地给出系统的动态性能,但却能方便地依照频域指标确信校正装置的参数,专门是对已校正系统的高频特性有要求时,采纳频域法校正较其他方式更为方便。
频域设计的这种简便性,是因为开环系统的频率特性与闭环系统的时刻响应有关。
一样地说,开环
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