高中数学必修五人教版教师用第一章12 应用举例一Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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∴AC=
·
(千米).
类型二 测量两个不可到达点间的距离
例2 如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法.
解 测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,
在△ADC和△BDC中,应用正弦定理得
AC=
BC=
.
计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB=
引申探究
对于例2,给出另外一种测量方法.
解 测量者可以在河岸边选定点E、C、D,使A、E、C三点共线,测得EC=a,ED=b,并且分别测得∠BEC=∠AED=α,∠BCA=β,∠ADB=γ,
在△AED和△BEC中,应用正弦定理得
AE=
BE=
在△ABE中,应用余弦定理计算出A、B两点间的距离
反思与感悟 本方案的实质是:
把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为类型一.
跟踪训练2 如图,为测量河对岸A,B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C,D两点,测得∠ACB=60°
,∠BCD=45°
,∠ADB=60°
,∠ADC=30°
,则A,B两点的距离是( )
A.20
米B.20
米
C.40
米D.20
答案 D
解析 在△BCD中,∠BDC=60°
+30°
=90°
∠BCD=45°
∴∠CBD=90°
-45°
=∠BCD,
∴BD=CD=40,BC=
=40
在△ACD中,∠ADC=30°
,∠ACD=60°
+45°
=105°
∴∠CAD=180°
-(30°
+105°
)=45°
由正弦定理,得AC=
=20
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2AC×
BC×
cos∠BCA
=(40
)2+(20
)2-2×
40
×
20
cos60°
=2400,
∴AB=20
故A,B两点之间的距离为20
米.
1.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°
,∠CAB=105°
后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50
mB.50
m
C.25
mD.
答案 A
解析 ∠B=180°
-105°
=30°
在△ABC中,由
得AB=100×
=50
2.某人向东方向走了x千米,然后向右转120°
,再朝新方向走了3千米,结果他离出发点恰好
千米,那么x的值是________.
答案 4
解析 由余弦定理,得x2+9-3x=13,
整理得x2-3x-4=0,解得x=4.
3.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:
km):
AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,A,B,C,D四点共圆,则AC的长为________km.
答案 7
解析 因为A,B,C,D四点共圆,
所以D+B=π.
在△ABC和△ADC中,
由余弦定理可得
82+52-2×
8×
5×
cos(π-D)
=32+52-2×
3×
cosD,
整理得cosD=-
代入得AC2=32+52-2×
=49,
故AC=7.
1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”,而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础,这两类测量距离的题型间既有联系又有区别.
2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤:
(1)分析:
理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:
根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;
(3)求解:
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:
检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
40分钟课时作业
一、选择题
1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是( )
A.a,c,αB.b,c,α
C.c,a,βD.b,α,β
解析 由α、β、b,可利用正弦定理求出BC.
2.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°
,另两边之比为8∶5,则这个三角形的面积为( )
A.40
B.20
D.20
解析 设另两边长为8x,5x,
则cos60°
,解得x=2.
两边长是16与10,
三角形的面积是
16×
10×
sin60°
3.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°
,∠B=45°
,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1km,参考数据:
≈1.41,
≈1.73)( )
A.3.4kmB.2.3km
C.5.1kmD.3.2km
解析 过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△CAD中,
∠A=30°
,AC=10km,
CD=AC·
sin30°
=5(km),
AD=AC·
cos30°
=5
(km).
在Rt△BCD中,∠B=45°
,BD=CD=5(km),
AB=AD+BD=(5
+5)(km),
AC+BC-AB=10+5
-(5
+5)
=5+5
-5
≈5+5×
1.41-5×
1.73=3.4(km).
4.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°
,∠CBA=75°
,AB=120m,则河的宽度为( )
A.230mB.240m
C.50mD.60m
解析 在△ABC中,∠CAB=30°
∴∠ACB=75°
,∠ACB=∠ABC.
∴AC=AB=120(m).
如图,
作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.
在Rt△ACD中,由正弦定理,得
∴
∴CD=60(m),
∴河的宽度为60m.
5.海上有A、B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°
的视角,从B岛望C岛和A岛成75°
的视角,则B、C间的距离是( )
A.10
nmileB.
nmile
C.5
nmileD.5
解析 在△ABC中,C=180°
-60°
-75°
=45°
由正弦定理,得
解得BC=5
(nmile).
二、填空题
6.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°
,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°
,这时船与灯塔间的距离为________km.
答案 30
在△ABC中,
∠BAC=30°
,∠ACB=105°
⇒∠ABC=45°
AC=60km,根据正弦定理,得
=30
7.要测量对岸两点A、B之间的距离,选取相距
km的C、D两点,并测得∠ACB=75°
,∠ADB=45°
,则A、B之间的距离为________km.
解析 如图,在△ACD中,
∠ACD=120°
∠CAD=∠ADC=30°
∴AC=CD=
(km).
在△BCD中,
,∠BDC=75°
,∠CBD=60°
∴BC=
△ABC中,由余弦定理,得
AB2=(
)2+
2-2
cos75°
=3+2+
-
=5,
∴AB=
∴A、B之间的距离为
km.
8.某人在M汽车站的北偏西20°
的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°
.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.则汽车到达M汽车站还需行驶________km.
答案 15
解析 由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处.
在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,
由余弦定理,得
cosC=
则sin2C=1-cos2C=
,sinC=
所以sin∠MAC=sin(120°
-C)
=sin120°
cosC-cos120°
sinC=
在△MAC中,由正弦定理,
得MC=
=35.
从而有MB=MC-BC=15.
故汽车到达M汽车站还需行驶15km.
三、解答题
9.如图所示,一架飞机从A地飞到B地,两地相距700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成21°
角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行方向成35°
夹角的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少?
解 在△ABC中,AB=700km,
∠ACB=180°
-21°
-35°
=124°
根据正弦定理,
,BC=
AC+BC=
+
≈786.89(km),
786.89-700=86.89(km).
所以飞机的飞行路程比原来路程远了大约86.89km.
10.如图所示,一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20°
的方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东65°
的方向,已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解 在△ABS中,
AB=32.2×
0.5=16.1nmile,
∠ABS=115°
AS=
=AB×
sin∠ABS×
=16.1×
sin115°
S到直线AB的距离
d=AS×
sin20°
≈7.1(nmile)>
6.5(nmile).
所以这艘船可以继续沿正北方向航行.
11.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°
方向,此人向北偏西75°
方向前进
km到达D处,看到A在他的北偏东45°
方向,B在北偏东75°
方向,试求这两座建筑物之间的距离.
解 依题意得,CD=
(km),
∠ADB=∠BCD=30°
=∠BDC,
∠DBC=120°
,∠ADC=60°
,∠DAC=45°
在△BDC中,由正弦定理得
在△ADC中,由正弦定理得
=3
在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·
BC·
cos∠ACB
=(3
)2+(
3
cos45°
=25.
所以AB=5(km),
故这两座建筑物之间的距离为5km.
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