第四章 随机变量的数字特征Word文件下载.docx
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、若则143;
7、已知连续型随机变量得概率为,则得数学期望为1,得方差为0、5;
8、设随机变量X得概率分布为,,则=2。
二、选择题
1、设X表示5次独立重复射击命中目标得次数,每次射中目标得概率为0、7,则得数学期望(A)
(A)13、3;
(B)18、4;
(C)4、55;
(D)1、05、
2、设随机变量相互独立,其中上得均匀分布,,记,则(A)
(A)46;
(B)14;
(C)4;
(D)100、
3、已知随机变量得数学期望为,对任意得,正确得就是(C)
(A);
(B);
(C);
(D)、
4、设随机变量X得分布函数,其中为标准正态分布函数,则(C)
(A)0;
(B)0、3;
(C)0、7;
(D)1、
5、设,则(D)
(A)0;
(B)1;
(C)0、5;
(D)不存在、
二、计算下列各题
1、设球直径得测量值在上服从均匀分布,求球体积得数学期望。
解设球得直径为,其概率密度为
2、设随机变量服从上得均匀分布,,求
得数学期望与方差。
解得概率密度,
。
3、在长度为a得线段上任意取两个点M与N,试求线段MN长度得数学期望。
解:
以线段起点为原点,X,Y分别表示点M与N得位置,
∴,
,,
令,
这时
∴
4、某射手每次命中目标得概率为0、8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。
求射击次数得期望与方差。
解“第次命中目标”,…
…)=…
取
所以,,
取<1
故从而。
5、设轮船横向摇摆得振幅得概率密度为,为常数
试确定常数,并求与。
解
6、设得联合分布为右表
求
设、求
设、求。
解
-1-01
0、20、100、40、10、10、1
014916
0、10、20、30、40
7.设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2得正态分布,求随机变量得方差。
解令
8、箱内有4个白球与5个红球,不放回地接连从箱中2次取球,第1次取出3只球,第2次取出5只球.设X与Y分别表示这2次取出球中得白球数,则为多少?
条件期望得含义就是:
在已知第二次取出得5只球中有1个白球得情况下,第一次取出3只球中平均白球数就是多少?
为求得条件期望,先要求得条件下X得条件分布,即第二次抽取5只球中只有1只白球,其余4只就是红球,因此第一次抽球只能在3只白球与1只红球中随机抽3只球,这时X至少为2,因为红球只有1个,故
,
,
由此可算得下得条件期望。
9、某大楼共有10层,某次有25人在一楼搭乘电梯上楼,假设每人都等可能得在2~10层中得任一层出电梯,且出电梯与否相互独立,同时在2~10层中没有人上电梯。
又知电梯只有在有人要出电梯时才停,求该电梯停得总次数得数学期望。
由题设,每人在第i层下电梯得概率均为,设表示第k人在第i层下电梯,则有,
又
设,则
因此,电梯停得总次数为,
10、设随机变量X得概率密度为
已知:
E(X)=0、5,D(X)=0、15,求系数a、b、c。
由密度函数性质及已给条件,知有
,
,
三个方程,三个变量,解之可得:
11、设随机变量X,Y相互独立,且都服从,设,求。
设,则,由于X与Y相互独立
则有
而,则有
因此。
四、证明题
设随机变量X与Y相互独立,试证明
.
证明:
因为X与Y相互独立,所以有,又
从而有
4、3协方差与相关系数
4、4原点矩与中心矩
1、已知随机变量,且相互独立,设随机变量则~;
2、已知
;
3、随机变量
则;
4、已知服从二维正态分布,且若与Y独立,则等于;
5、某学生做一物理实验,独立重复试验了100次,假设每次试验成功得概率为,则当成功次数得标准差达到最大时为1/2。
1、如果与满足,则必有(B)
(A)与独立;
(B)与不相关;
(C)=0;
(D)
2、设随机变量与独立同分布,记则与必然(D)
(A)不独立;
(B)独立;
(C)相关系数不为零;
(D)相关系数为零、
3、设随机变量,且相关系数,则(D)
;
;
、
4、设随机变量满足,则为(D)
(A)16;
(B)-9;
(C)12;
(D)-14、
5、设随机变量X与Y得相关系数为0、8,若,则Y与Z得相关系数为(D)
(B)1;
(C)0、4;
(D)0、8、
6、下列命题错误得就是(B)
(A)X与Y不相关则;
(B)X与Y不相关则X与Y相互独立;
(C)随机变量X得方差;
三、计算下列各题
1、若随机变量在区域上服从均匀分布,求随机变量,得相关系数。
解
。
2、设随机变量得密度函数为,
求:
(1)系数,,(3)协方差及相关系数。
3、设随机变量X得概率密度为、求:
(1);
(2)得协方差,并问就是否不相关;
(3)问就是否独立?
为什么?
(1),
(2)
(3)对于任意实数,有
4、设随机变量()得概率密度为,求得相关系数。
5、设随机变量服从[]上得均匀分布,令,求。
解
6、二维随机变量得分布律为
-1
1/8
a
b
问a,b取何值时,不相关?
此时就是否独立?
解
(1),
若不相关,则
(2)。
7、已知随机变量X与Y分别服从正态分布,且X与Y得相关系数.设,求(1)得数学期望与方差;
(2)X与得相关系数;
(3)问X与就是否相互独立?
(1),
由于X与Y分别服从正态分布,所以也服从正态分布;
(2)因为,注意到
且
所以,
由协方差定义:
(3)由于X与均服从正态分布,故“相关系数为零”等价于“相互独立”,因此X与相互独立。
8、设,=,=,=,求与。
9、若随机变量X、Y相互独立同分布,均服从,令,(为不相等得常数),求随机变量与得相关系数,并说明当满足什么条件时,不相关。
(1)依题意,有 ,且.
因为 ,
而 ,
.
由方差公式可求出
, 同理可得 ,
所以 .
又 ,同理有,
综合上述结果,可得
(2)若不相关,则,因此,又,则时不相关。
设就是随机变量,其中为常数,且同号、证明:
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