高中数学竞赛(07-10)试题之三角函数教师版.doc
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高中数学竞赛(07-10年)试题分类汇总——三角、向量
一、选择题
1.(07全国)设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。
若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于()
A. B. C.−1 D.1
解:
令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x)+f(x−c)=2,于是取,c=π,则对任意的x∈R,af(x)+bf(x−c)=1,由此得。
一般地,由题设可得,,其中且,于是af(x)+bf(x−c)=1可化为
,即
,所以
。
由已知条件,上式对任意x∈R恒成立,故必有,
若b=0,则由
(1)知a=0,显然不满足(3)式,故b≠0。
所以,由
(2)知sinc=0,故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。
当c=2kπ时,cosc=1,则
(1)、(3)两式矛盾。
故c=2kπ+π(k∈Z),cosc=−1。
由
(1)、(3)知,所以。
2.(08全国)中,边成等比数列,则的取值范围是(C)
A.B.
C.D.
[解]设的公比为,则,而
.
因此,只需求的取值范围.
因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且.即有不等式组
即
解得
从而,因此所求的取值范围是.
3.(08江苏)如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值,那么答:
[B]
A.与都是锐角三角形
B.是锐角三角形,是钝角三角形
C.是钝角三角形,是锐角三角形
D.与都是钝角三角形
解两个三角形的内角不能有直角;的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若是锐角三角形,则不妨设
cos=sin=cos,cos=sin=cos,
cos=sin=cos.
则
,,,
即,矛盾.选B.
4.(08河北)已知,则的取值范围是().
ABCD
答案:
D.
解:
设,易得,即.由于,所以,解得.
5.(08湖南)设,,,,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
解:
因为,所以,
;;
;.
又,故故选B.
6.(08江西)若对所有实数,均有,则().
、; 、; 、; 、.
解:
记,则由条件,恒为,取,得,则为奇数,设,上式成为,因此为偶数,令,则,故选择支中只有满足题意.
二、填空题
1.(08江西).
解:
,
所以.
2.(08湖北)设集合,则E的真子集的个数为15
3.(08湖北)若,则使函数为奇函数的的个数为3.
4.(08湖北)在△中,已知的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,,则△的面积为.
5.(08湖北)已知,,过作直线的垂线,垂足为.若,,,则-2.
6.(07全国)在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,
,若,则与的夹角的余弦值等于________
解:
因为,所以,即。
因为,
,,所以,即。
设与的夹角为θ,则有,即3cosθ=2,所以。
7.(07全国)已知函数,则f(x)的最小值为_____
解:
实际上,设,则g(x)≥0,g(x)在上是增函数,在上是减函数,且y=g(x)的图像关于直线对称,则对任意,存在,使g(x2)=g(x1)。
于是
,而f(x)在上是减函数,所以,即f(x)在上的最小值是。
8.(08全国)设的最小值为,则.
[解]
,
(1)时,当时取最小值;
(2)时,当时取最小值1;
(3)时,当时取最小值.
又或时,的最小值不能为,
故,解得,(舍去).
9.(10全国)已知函数的最小值为,则实数的取值范围是.
解:
令,则原函数化为,即
.
由,
,
及知
即
(1)
当时
(1)总成立;
对;
对.
从而可知.
10.(08江苏)在中,若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则=3.
解切割化弦,已知等式即,
亦即,即=1,即.
所以,,故.
11.(08河北)是平面上不共线三点,向量,,设P为线段AB垂直平分线上任意一点,向量.若,,则的值是________.
答案:
8.
A
B
O
P
Q
解:
如图,是线段AB的垂直平分线,,
,,
.
12.(08浙江)已知,直线与
的交点在直线上,则。
解:
由已知可知,可设两直线的交点为,且为方程
,
的两个根,即为方程
的两个根。
因此
,
即0。
13.(08浙江)在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点,使沿线段DE折叠三角形时,顶点A正好落在边BC上。
AD的长度的最小值为。
解:
设,作△ADE关于DE的对称图形,A的对称点G落在BC上。
在△DGB中,
当时,即。
14.(09湖北)设,,则的值域为
15.(09湖北)已知O是锐角△ABC的外心,,若,且,则.
16.(09江苏)已知sinαcosβ=1,则cos(α+β)=
解:
由于|sinα|≤1,|cosβ|≤1,现sinαcosβ=1,故sinα=1,cosβ=1或sinα=-1,cosβ=-1,
∴α=2kπ+,β=2lπ或α=2kπ-,β=2lπ+πÞα+β=2(k+l)π+(k,l∈Z).
∴cos(α+β)=0.
17.(09江苏)设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则·=
解:
设||=||=||=R.则
·=(+)·=·+·=R2cos(π-2C)+R2cos2B
=R2(2sin2C-2sin2B)=(2RsinB)2-(2RsinC)2=(122-132)=-.
18.(09江苏)12.如图,设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求BC.
解:
=Þ△ACD∽△ABCÞ∠ABC=∠ACD=∠BCE.
∴CE=BE=12.AE=AB-BE=16.
∴cosA====.
∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=142+282-2·14·28·=72·9ÞBC=21.
附加:
(07全国)设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:
存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:
(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);
(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x
(07全国)设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:
存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:
(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);
(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x
证明:
记,,则f(x)=g(x)+h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的x∈R,g(x+2π)=g(x),h(x+2π)=h(x)。
令,,,,其中k为任意整数。
容易验证fi(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈R,fi(x+π)=fi(x),i=1,2,3,4。
下证对任意的x∈R,有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。
当时,显然成立;当时,因为,而
,故对任意的x∈R,f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。
下证对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。
当时,显然成立;当x=kπ时,h(x)=h(kπ)=h(kπ−2kπ)=h(−kπ)=−h(kπ),所以h(x)=h(kπ)=0,而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0,故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x;当时,
,故,又f4(x)sin2x=0,从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。
于是,对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。
综上所述,结论得证。
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