阿氏圆.doc

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中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练

阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：

已知平面上两定点C、B，则所有满足（k不等于1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似（也叫"母子型相似"）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

在几何画板上观察下面的图形，当P在在圆A上运动时，PC、PB的长在不断的发生变化，但的比值却始终保持不变。

解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。

如图，在△APB的边AB上找一点C，使得，则此时△APC∽△ABP。

那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?

我们来看一道基本题目:

例：

已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.

（1）求的最小值为

（2）求的最小值为

第

（1）问解题基本步骤：

构造△OPC∽△OBP,则（相似比）

①分别连接圆心O与系数不为1的线段BP的两端点，即OP，OB;

②计算的值，则（）

③计算OC的长度，由得：

（相似比×半径）

④连接AC，当A、P、C三点共线时，

⑤计算AC的长度即为最小值.

实战练习：

1、已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，

试求的最小值

2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求的最小值

3、已知点A（-3,0），B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，

（1）的最小值;

（2）的最小值.

4、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B（2,0）两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD=2，BC=7.

（1）求OD的长；

（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.

①求证：

△OPQ∽△ODP;

②是否存在点P，使有最小值，若存在，试求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

5、

（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值.

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么的最小值为；的最大值为

（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个动点.那么的最小值为；的最大值为

6、（2016年＊济南28题）如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的値；

（3）如图2，在

（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

第28题图1

第28题图2

7、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．

（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在

（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

i：

探究：

线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

ii：

试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．

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