轴对称提高训练经典版.doc
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轴对称提高
一、教学目标
掌握利用轴对称图形的性质解决最短路线问题的方法;等腰三角形性质的活用
二、教学重难点
重点:
轴对称的实际应用、等腰三角形性质
难点:
轴对称的应用、角平分线与垂直平分线的应用、等腰三角形相关计算与证明
三、基础知识梳理
轴对称的性质可运用于实际问题中的最短路线问题、球的反弹、光线反射等,解决办法是作对称点;
等腰三角形所有的性质包括:
等边对等角等角对等边、三线合一、轴对称性等,主要应用于求跟角平分线和中垂线结合的求解问题
四、典型例题分析
题型一:
角平分线及其中垂线的应用
例1.
(1)三角形内一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形________的交点.
(2)三角形内一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形________的交点.
(3)
例2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,且BD:
CD=3:
2,BC=15cm,则点D到AB的距离是__________.
例3.已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC.求证:
BC=AB+AD
例4.如图,BP是△ABC的外角平分线,点P在∠BAC的角平分线上.求证:
CP是△ABC的外角平分线.
练习:
1.如图,裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,若∠BAF=60°,则∠DAE=
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD的平分∠BAC交BC于D,点D到AB的距离为7cm,CD=
3.在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,∠A=40°,则∠CDB=,∠CBD=
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,若∠B=20°,
则∠DAC=
1题图2题图3题图4题图
5.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,若AC=10cm,则△DBE的周长等于()
A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm
④
①
②
③
6.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
7.如图,△ABC中,∠BAC=110°,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,BC=10cm.
(1)求△ADE的周长;
(2)求∠DAE的度数.
题型二:
轴对称性质的应用——最短路线问题
例5.如图,EFGH是一个长方形的弹子球台面,有黑白两球分别位于A、B两点的位置.
(1)试问:
怎样撞击黑球A,使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B?
(2)怎样撞击黑球A,使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF,最后击白球B?
例6.
例7.
(1)在锐角∠AOB内有一定点P,试在OA、OB上确定两点C、D,使△PCD的周长最短.
(2)在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.
练习:
1.在一条大的河流中有一形如三角形的小岛(如图3),岸与小岛有一桥相连.现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点.水利部门在岸边设立了一个观测站,每天有专人从观测站步行去三个取样点取样,然后带回去化验.请问,三个取样点应分别设在什么位置,才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?
小岛小岛
观测点
2.如图,在直线CD上有一动点P,P在CD上从右往左运动的过程中,找出
(1)点P到A、B距离之和最小时的位置;
(2)点P到A、B距离相等时的位置;
(3)点P到A、B的距离之差最大时P的位置。
题型三:
等腰三角形的性质
例8.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少,求这个三角形的三个内角的度数。
例9.如图,△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数
A
B
C
D
E
例10.如图,已知:
在中,,,,。
求:
的度数。
例11.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,
①求证:
△BCE≌△ACD;
②求证:
CF=CH;
③判断△CFH的形状并说明理由.
例12.如图,在△ABC中,P是的BC边上一点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线于点R,若AQ=AR,则△ABC是等腰三角形吗?
请说明理由。
练习:
1.等腰三角形的一个角为45°,则它的底角为
等腰三角形的一个角为96°,则它的底角为
2.等腰三角形的两个内角之比是1∶2,那么这个等腰三角形的顶角度数为___________.
3.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分,则此三角形的底边长为_____.
4.如图,△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数
A
B
C
D
E
5.如图,中,,试说明:
.
6.如图,已知:
在中,,。
求:
的度数。
7.如图,已知:
是等边三角形,分别在AC、BC边上取点E、F,使,BE、AF相交于点D.求证:
.
8.如图1,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点D,过D作EF//BC,交AB于E,交AC于F,易证:
EF=BE+CF.
当D为∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线的交点(如图2)时,或当D为∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线的交点(如图3)时,其它条件都不变,EF、BE、CF的关系又如何?
请对图2进行证明.
A
B
C
D
E
F
H
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
五、课后练习
1.(2012•东城区二模)已知:
等边△ABC中,点O是边AC,BC的垂直平分线的交点,M,N分别在直线AC,BC上,且∠MON=60°.
(1)如图1,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系;
(2)如图2,当CM≠CN时,M、N分别在边AC、BC上时,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请你加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系.
2.如图,线段CD垂直平分线段AB,CA的延长线交BD的延长线于E,CB的延长线交AD的延长线于F,
求证:
DE=DF.
3.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.求证:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)点M在BC的垂直平分线上.
4.如图,△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D,E为垂足,DF⊥AB于F,且AB>AC,求证:
BF=AC+AF.
5.已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P,作PK⊥AB,PL⊥AC,垂足分别是K、L,
求证:
BK=CL.
6.某私营企业要修建一个加油站,如图,其设计要求是,加油站到两村A、B的距离必须相等,且到两条公路m、n的距离也必须相等,那么加油站应修在什么位置,在图上标出它的位置.(要有作图痕迹)
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=9cm,AB的垂直平分线MN交BC于M,交AB于N,求BM的长.
8.如图,在△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN⊥AB于N,PM⊥AC于点M,求证:
BN=CM.
9.如图己知在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,E为垂足交BC于D,BD=16cm,求AC长.
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