解三元一次方程组的消元技巧.doc
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解三元一次方程组的消元技巧
解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元,化三元为二元、一元,最终求出各未知数的值,完成解题过程.但是,在具体解题过程中,许多同学却难以下手,不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略,供同学们学习时参考.
一、当方程组中有一个方程缺省某未知数时,可以从其余方程中消去所缺少的未知数.
1、解方程组
分析:
因为方程①中缺少未知数项,故而可由②、③先消去,再求解.
解:
②×3+③,得,④
解由①、④组成的方程组,得,⑤
把⑤代入②,得,
所以原方程组的解为.
二、当方程组中有两个方程缺省不同的未知数时,可将其中一个与剩余方程消去另一个所缺少的未知数;或则可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数,再用代入法消元.
1、解方程组
分析:
很明显,在方程①、③中,分别缺少未知数、的项,而都含有未知数的项,从而可用含的代数式分别表示、,再代入②就可以直接消去、了.
解:
由③,得,④
把①、④代入②,得,⑤
把⑤代入①,得,⑥
把⑤代入③,得,
所以原方程组的解是.
2、
解答:
三、当方程组中三个方程都缺省不同的未知数时,可从中挑选两个消去相同的未知数
四、当方程组中某个未知数的系数成整数倍关系时,可先消去这个未知数
1、解方程组
分析:
方程组中含的项系数依次是4,-2,-6,且4=-2×(-2),-6=-2×3.由此可先消去未知数.
解:
①+②×2,得,④
②×3-③,得,⑤
解由④、⑤组成的方程组,得,⑥
把⑥代入①,得,
所以原方程组的解是.
2、;
解答:
;
3、
4、
解答:
.
5、解方程组
分析:
若考虑用加减法,三个方程中,z的系数比较简单,可设法先消去z,①+③可以消去z,得到一个只含x,y的方程,进一步②+③×2,也可以消去z得到一个只含x,y的方程,这样,就得到了一个关于x、y的二元一次方程组,实现了消元.
解:
①+③,得5x+5y=25④
②+③×2得5x+7y=31⑤
解由④、⑤组成的二元一次方程组得
把x=2,y=3代入①得3×2+2×3+z=13,
解得z=1
∴原方程组的解是
技巧提升:
本题选用了加减法,也可以使用代入法,比如将方程②变形为,分别代入方程①③就可以消去未知数x.可见消元仍是解三元(或多元)一次方程组的基本思想,代入法和加减法仍是三元(或多元)一次方程组基本方法.
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