苏教版锐角三角函数.doc
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苏教版锐角三角函数.doc
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2015—2016学年第一学期初三数学期终复习要点四
第7章锐角三角函数
知识点:
锐角三角函数(正切、正弦、余弦),特殊角的三角函数,由三角形值求锐角,解直角三角形,用锐角三角函数解决问题。
典型例题:
A
C
B
(第1题)
例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠B=30°,则AB的长为()
A.2 B.3
C. D.
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,那么c可以表示为
A.a2+b2 B.a×cosB+b×cosA
C.a×sinB+b×sinA D.
例3.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,CD^AB,AC=8,AB=10,则tan∠ACD=.
例4.计算:
例5.如图,为了测量旗竿CD的高度,在平地上选择点A,用测角仪测得旗竿顶D的仰角为30°,再在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)进行测量,已知AB=40m.
(1)若测得∠DBC=60°,则CD=m;
(2)若测得∠DBC=75°,求旗竿CD的高度(以上结果均保留根号).
A
B
C
D
30°
例6.如图,点A、B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.
(1)求证:
AC=CD;
(2)如果OD=1,tan∠OCA=,求AC的长.
当堂练习:
1.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,下列等式一定能成立的有()
A.sinA=sinBB.a=c.sinBC.sin2A+cos2B=1D.sinA=tanA.cosA
2.如图,AB是⊙O的弦,半径OA=2,sinA,则弦AB的长为()
A. B. C.4 D.
(第2题)(第3题)
3.如图,在顶角为30°的等腰△ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D.根据图形计算tan∠BCD=.
4.计算:
2cos30°-tan45°-.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20.
(1)求BC的长;
(2)求的值.
6.小美和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m,匀速旋转1周需要12min.小美乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,请回答下列问题:
(参考数据:
≈1.414,≈1.732)
(1)1.5min后小美离地面的高度是▲m;(精确到0.1m)
(2)摩天轮启动多长时间后,小美离地面的高度将首次达到10.5m?
(3)摩天轮转动一周,小美在离地面10.5m以上的空中有多长时间?
课后作业:
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sinA的值为()
A. B. C. D.
(第1题)(第2题)
2.(2015•鄂州)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=( )
A.
B.
C.
D.
3.计算:
-22+2cos60°+
4.如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上).求教学楼AB的高度.
(参考数据:
sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
5.(2015•鄂州)已知点P是半径为1的⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且PA=1,AB是⊙O的弦,AB=,连接PB,则PB=。
6.(2015•鄂州)如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.
(1)求证:
AE为⊙O的切线.
(2)当BC=8,AC=12时,求⊙O的半径.
(3)在
(2)的条件下,求线段BG的长.
7.计算6tan45°-2cos60°的结果是()
A.4 B.4C.5 D.5
8.已知一棵树的影长是30m,同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m,则这棵树的高度是()A.15m B.60m C.20mD.10m
9.若锐角满足2sin(-15°)-1=0,则tan=.
10.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D,已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为.
(第10题)(第11题)
11.如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.
12.计算:
13.如图,在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,
现均收到故障船c的求救信号.已知A、B两船相距100(+3)海里,船
C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一
观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
(1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,
请保留根号).
(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC
去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险?
(参考数据:
≈1.41,≈1.73)
14.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接DE.
(1)求证:
直线DE是⊙O的切线;
(2)连接OC交DE于点F,若OF=CF,求tan∠ACO的值.
典型例题参考答案:
1.A;2、B;3、;4、0;
5、解:
(1)CD=20. 2¢
(2)过点B作BE⊥AD于点E.
在Rt△ABE中,∠A=30°,AB=40,∴BE=20,AE=20. 3¢
∵∠DBC=75°,∠A=30°,∴∠ADB=45°.
在Rt△DBE中,∠ADB=45°,BE=20,∴DE=20. 4¢
∴AD=20+20. 5¢
在Rt△ACD中,∠A=30°,AD=20+20,∴CD=(10+10)m. 6¢
6.
(1)证明:
∵直线AC是⊙O的切线,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,即∠OAB+∠DAC=90°,
∵OC⊥OB,∴∠B+∠ODB=90°,∵OA=OB,∴∠B=∠DAB,∵∠ODB=∠ADC,
∴∠ADC=∠DAC,∴AC=CD;
(2)解:
在Rt△OAC中,∠OAC=90°,∵tan∠OCA=,∴,∴设AC=2x,则AO=x,由勾股定理得:
OC=3x,∵AC=CD,∴AC=CD=2x,∵OD=1,∴OC=2x+1,
∴2x+1=3x,解得:
x=1,∴AC=2.
当堂检测参考答案:
1.D;2、A;3、;4、-2;5.
6.
课后作业参考答案:
1.C;
2.解:
过E作EH⊥CF于H,由折叠的性质得:
BE=EF,∠BEA=∠FEA,
∵点E是BC的中点,∴CE=BE,∴EF=CE,∴∠FEH=∠CEH,∴∠ABE+∠CEH=90°,
在矩形ABCD中,∵∠B=90°,∴∠BAE+∠BEA=90°,∴∠BAE=∠CEH,∠B=∠EHC,
∴△ABE∽△EHC,∴,∵AE==10,∴EH=,∴sin∠ECF==,
故选D.
(2题答图)(5题答图)
3.1;4.
5.解:
连接OA,
(1)如图1,连接OA,∵PA=AO=1,OA=OB,PA是⊙的切线,
∴∠AOP=45°∵OA=OB,∴∠BOP=∠AOP=45°,
在△POA与△POB中,,∴△POA≌△POB,∴PB=PA=1;
(2)如图2,连接OA,与PB交于C,∵PA是⊙O的切线,∴OA⊥PA,
而PA=AO=1,∴OP=;∵AB=,而OA=OB=1,∴AO⊥BO,
∴四边形PABO是平行四边形,∴PB,AO互相平分;
设AO交PB与点C,即OC=,∴BC=,∴PB=.故答案为:
1或.
6.
(1)证明:
连接OM.∵AC=AB,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC,CE=BE=BC=4,
∵OB=OM,∴∠OBM=∠OMB,∵BM平分∠ABC,∴∠OBM=∠CBM,∴∠OMB=∠CBM,
∴OM∥BC。
又∵AE⊥BC,∴AE⊥OM,∴AE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为R,∵OM∥BE,∴△OMA∽△BEA,∴=即=,解得R=3,∴⊙O的半径为3;
(3)过点O作OH⊥BG于点H,则BG=2BH,∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°,
∴四边形OMEH是矩形,∴HE=OM=3,∴BH=1,∴BG=2BH=2.
(5题答图)(14题答图)
7.D;8、A;9、1;10、;11、;12、;13.
14.
(1)证明:
连接OD、OE、BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠CDB=∠ADB=90°,
∵E点是BC的中点,∴DE=CE=BE.∵OD=OB,OE=OE,∴△ODE≌△OBE(SSS),
∴∠ODE=∠OBE=90°,∵OD是圆的半径,∴直线DE是⊙O的切线.
(2)解:
作OH⊥AC于点H,∵OA=OB,∴OE∥AC,且OE=AC,∴∠CDF=∠OEF,∠DCF=∠EOF;∵CF=OF,∴△DCF≌△EOF(AAS),∴DC=OE=AD,∴四边形CEOD为平行四边形,∴CE=OD=OA=AB,∴BA=BC,∴∠A=45°;∵OH⊥AD,∴OH=AH=DH,
∴CH=3OH,∴tan∠ACO=.
9
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