经典几何中线段和差最值(含答案).doc

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几何中线段和，差最值问题

一、解决几何最值问题的通常思路

①两点之间线段最短；

②直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

几何最值问题中的基本模型举例

轴对称最值

图形

原理

两点之间线段最短

两点之间线段最短

三角形三边关系

特征

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值

A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值

转化

作其中一个定点关于定直线l的对称点

先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点

作其中一个定点关于定直线l的对称点

折叠最值

图形

原理

两点之间线段最短

特征

在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．

转化

转化成求AB'+B'N+NC的最小值

一般处理方法：

线段最大（小）值

线段差最大

线段和（周长）最小

平移

对称

旋转

平移

对称

旋转

转化

构造三角形

使目标线段与定长线段构成三角形

使点在线同侧

（如下图）

使点在线异侧

（如下图）

三角形三边关系定理

三点共线时取得最值

两点之间，线段最短

垂线段最短

常用定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点时）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

|PA-PB|最大，

需转化，使点在线同侧

PA+PB最小，

需转化，

使点在线异侧

二、典型题型

1．如图：

点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=，则△PMN的周长的最小值为　6　．

2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a=　　　　　　．

3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为　5　　　　　．

4．动手操作：

在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为　2　．

5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于　　　　　　．

6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为　　．

7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是　2　．

8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为　　　　　　．

9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是　BB′+CC′+DD′．

10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　3　．

11．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则＝　　　3　　　．

第11题图第12题图

12.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为__2.4_______．

13.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________.若将△ABP中边PA的长度改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为_________．

14.动手操作：

在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为2．

解答题：

1.如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．

（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为PD；

（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于多少？

2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；中点

（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由.EC与BD的交点为M

连接MN，则三角形BMN为等边三角形，BMCBMABNE,所以MC=MA=EN,即AM＋BM＋CM=EN+MN+MC,AM＋BM＋CM的值最小时，E,N,M,C四点在同一直线上

3.如图，已知平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）.

（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝________时，△PAB的周长最短；

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝________时，四边形ABDC的周长最短；

（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：

是否存在这样的点M（m，0），N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？

若存在，请写出m和n的值；若不存在，请说明理由.

m=,n=

课堂作业：

几何中的最值问题

1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE＋PB的最小值是__________．

第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图

2．在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm（结果不取近似值）.

3．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB=a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，点M为BC上一动点，则A′M的最小值为．

4．如图，在锐角△ABC中，，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为______4_____．

5．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为，连接A，则A的最小值是_2________．

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上

运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是.

第6题图

7．一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=（m<0）的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（-6，2）

（1）求m，k的值；m=-12,k=-

（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|PA-PB|

的值最大？

并求出最大值.

8．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．

（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；y=

（2）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？

求出此时点E的坐标．（,0）

图1图2