线段、射线、直线(基础)知识讲解.doc
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线段、射线、直线(基础)知识讲解
【学习目标】
1.在现实情境中进一步理解线段、射线、直线,并会用不同的方法表示;
2.通过操作活动,了解“两点确定一条直线”的几何事实,积累数学活动经验,并初步掌握用尺规作图法作出相关线段;
3.能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题;
4.通过从事观察、比较、概括等活动,发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.
【要点梳理】
要点一、线段、射线、直线的概念及表示
1.概念:
绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段,如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念,则用“线段”定义射线和直线如下:
(1)将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
(2)将线段向两个方向无限延长就形成了直线.
要点诠释:
(1)线段有两个端点,可以度量,可以比较长短.
(2)射线只向一方无限延伸,有一个端点,不能度量,不能比较大小.
(3)直线是向两方无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小.
(4)线段、射线、直线都没有粗细.
2.表示方法:
如图1、图2、图3,线段、射线、直线的表示方法都有两种:
它们都可以用两个大写字母表示,也可以一个小写字母表示.
要点诠释:
(1)从表示方法上看,虽然它们都可以用一个小写字母表示,也可以用两个大写字母表示,但直线取的是直线上任意两点的字母,线段用的是两个端点的字母,射线用的是一个端点和任意一点的字母,而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分,但射线的两个大写字母有顺序之分,第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线.如下图4中射线OA,射线OB是不同的射线;端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线.如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线.
图4
图5
(2)表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样.
3.线段、射线、直线的区别与联系
线段
射线
直线
图示
表示方法
线段AB或线段a
射线OA或射线a
直线AB或直线a
端点
两个
一个
无
长度
可度量
不可度量
不可度量
延伸性
不向两方延伸
向一方无限延伸
向两方无限延伸
要点二、基本事实
1.直线:
过两点有且只有一条直线.简单说成:
两点确定一条直线.
要点诠释:
(1)点和直线的位置关系有两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点.如图6中,点O在直线l上,也可以说成是直线l经过点O;
②点在直线外,或者说直线不经过这个点.如图6中,点P在直线l外,也可以说直线l不经过点P.
(2)两条不同直线相交:
当两条不同的直线只有一个公共点时,称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点.
2.线段:
两点之间的所有连线中,线段最短.简记为:
两点之间,线段最短.
如图7所示,在A,B两点所连的线中,线段AB的长度是最短的.
图7
要点诠释:
(1)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.
(2)两条线段可能无公共点,可能有一个公共点,也可能有无穷多个公共点.
要点三、比较线段的长短
1.尺规作图的定义:
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
要点诠释:
(1)只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.
(2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上面画刻度.
(3)圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度.
2.线段的中点:
如下图,若点B在线段AC上,且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC,这时点B叫做线段AC的中点.
要点诠释:
(1)若点B是线段AC的中点,则点B一定在线段AC上且,或AC=2AB=2BC.
(2)类似地,还有线段的三等分点、四等分点等.
3.用尺规作线段或比较线段
(1)作一条线段等于已知线段:
用圆规作一条线段等于已知线段.例如:
下图所示,用圆规在射线AC上截取AB=a.
要点诠释:
几何中连结两点,即画出以这两点为端点的线段.
(2)线段的比较:
叠合比较法:
利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.如下图:
要点诠释:
线段的比较方法除了叠合比较法外,还可以用度量比较法.
【典型例题】
类型一、相关概念
1.下列说法中,正确的是().
A.射线OA与射线AO是同一条射线.
B.线段AB与线段BA是同一条线段.
C.过一点只能画一条直线.
D.三条直线两两相交,必有三个交点.
【答案】B
【解析】射线OA的端点是O,射线AO的端点是A,所以射线OA与射线AO不是同一条射线,故A错误;过一点能画无数条直线,所以C错误;三条直线两两相交,有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时),所以D错误;线段AB与线段BA是同一条线段,所以B正确.
【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关,但射线必须是表示端点的字母写在前面,不能互换.
举一反三:
【变式1】以下说法中正确的是 ().
A.延长线段AB到CB.延长射线AB
C.直线AB的端点之一是AD.延长射线OA到C
【答案】A
【变式2】如图所示,请分别指出图中的线段、射线和直线的条数,并把它们分别表示出来.
【答案】
解:
如下图所示,在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.
图中有6条射线:
射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.
有3条线段:
线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)
有1条直线:
直线AC(或AB,BC).
类型二、有关作图
2.如图所示,线段a,b,且a>b.
用圆规和直尺画线段:
(1)a+b;
(2)a-b.
【答案与解析】
解:
(1)画法如图
(1),画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是a与b的和,记作AC=a+b.
(2)画法如图
(2),画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在线段AB上画线段BD=b,线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b.
【总结升华】在画线段时,为使结果更准确,一般用直尺画直线,用圆规量取线段的长度.
举一反三:
【变式1】下列语句正确的是( ).
A.画直线AB=10cm. B.画直线AB的垂直平分线.
C.画射线OB=3cm. D.延长线段AB到C使BC=AB.
【答案】D
【变式2】用直尺作图:
P是直线a外一点,过点P有一条线段b与直线a不相交.
【答案】
解:
类型三、有关条数及长度的计算
3.如图,A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点,那么过其中两点,可画出条直线.
【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数.
【答案】6条直线
【解析】由两点确定一条直线知,点A与B,C,D三点各确定一条直线,同理点B与C、D各确定一条直线,C与D确定一条直线,综上:
共有直线:
3+2+1=6(条).
【总结升华】平面上有个点,其中任意三点不在一条直线上,则最多确定的直线条数为:
.
举一反三:
【变式1】如图所示,已知线段AB上有三个定点C、D、E.
(1)图中共有几条线段?
(2)如果在线段CD上增加一点,则增加了几条线段?
你能从中发现什么规律吗?
【答案】
解:
(1)线段的条数:
4+3+2+1=10(条);
(2)如果在线段CD上增加一点P,则P与其它五个点各组成一条线段,因此,增加了5条线段.
(注解:
若在线段AB上增加一点,则增加2条线段,此时线段总条数为1+2;若再增加一点,则又增加了3条线段,此时线段总条数为1+2+3;…;当线段AB上增加到n个点(即增加n-2个点)时,线段的总条数为1+2+……+(n-1)=n(n-1).)
【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D,则图中共有________条射线.
【答案】8
4.如图所示,AB=40,点C为AB的中点,点D为CB上的一点,点E是BD的中点,且EB=5,求CD的长.
【思路点拨】显然CD=CB-BD,要求CD的长,应先确定CB和BD的长.
【答案与解析】
解:
因为AB=40,点C为AB的中点,
所以.
因为点E为BD的中点,EB=5,
所以BD=2EB=10.所以CD=CB-BD=20-10=10.
【总结升华】求线段的长度,注意围绕线段的和、差、倍、分展开,若每一条线段长度均已确定,所求问题便可迎刃而解.
举一反三:
【变式】在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D,且使AB:
BC:
CD=2:
3:
4,如图所示,若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm,求AB的长.
【答案】
解:
依题意,设AB=2xcm,那么BC=3xcm,CD=4xcm.则有:
MN=BM+BC+CN=x+3x+2x=15
解得:
所以AB=2x=cm.
类型四、最短问题
5.如图所示,在一条笔直公路a的两侧,分别有A、B两个村庄,现要在公路a上建一个汽车站C,使汽车站到A、B两村的距离之和最小,问汽车站C的位置应如何确定?
【答案与解析】
解:
如图,连接AB与直线a交于点C,这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置.
【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用,此类问题要与线段的性质联系起来,这里线段最短是指线段的长度最短,连接两点的线段的长度叫做两点间的距离,线段是图形,线段长度是数值.
举一反三:
【变式】
(1)如图1所示,把原来弯曲的河道改直,A、B两地间的河道长度有什么变化?
(2)如图2,公园里设计了曲折迂回的桥,这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?
与修一座直的桥相比,这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?
说出上述问题中的道理.
【答案】
解:
(1)河道的长度变小了.
(2)由于“两点之间,线段最短”,这样做增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏湖面风光,起到“休闲”的作用.
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