精品-勾股定理综合性难题及答案.doc
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勾股定理练习题
1、如图,已知:
在中,,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.
2、直角三角形的面积为,斜边上的中线长为,则这个三角形周长为()
(A)(B)
(C)(D)
3、如图所示,在中,,且,
求的长.
4、如图在Rt△ABC中,,在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示:
要求:
在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)
A
B
P
C
第6题图
5.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于 cm
C
O
A
B
D
E
F
第5题图
6.如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请说明:
AB2-AP2=PB×PC。
7.在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处;另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?
8.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了______m.
9.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证:
AE2+BF2=EF2.
10.已知:
如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CE=,求证:
AF⊥FE.
11.已知△ABC中,a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判定△ABC的形状,并说明你的理由.
12.已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.
13.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
14.三角形的三边长为,则这个三角形是()
(A)等边三角形(B)钝角三角形
(C)直角三角形(D)锐角三角形.
.
勾股定理练习题答案
1、如图,已知:
在中,,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.
2、直角三角形的面积为,斜边上的中线长为,则这个三角形周长为()
(A)(B)
(C)(D)
解:
设两直角边分别为,斜边为,则,.由勾股定理,得.
所以.
所以.所以.故选(C)
3、如图所示,在中,,且,
求的长.
解:
如右图:
因为为等腰直角三角形,所以.
所以把绕点旋转到,则.
所以.连结.所以为直角三角形.
由勾股定理,得.所以.
因为所以.
所以.所以.
4、如图在Rt△ABC中,,在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示:
要求:
在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)
解:
要在Rt△ABC的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。
要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。
下图中的四种拼接方法供参考。
A
B
P
C
第6题图
5.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于 cm
C
O
A
B
D
E
F
第5题图
6.如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请说明:
AB2-AP2=PB×PC。
作AD⊥BC交BC于D,AB²=BD²+AD²
(1)AP²=PD²+AD²
(2)
(1)-
(2)得:
AB²-AP²=BD²-PD²,
∴AB²-AP²=(BD+PD)(BD-PD),∵AB=AC,∴D是BC中点,
∴BD+PD=PC,BD-PD=PB,∴AB²-AP²=PB·PC
7.在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处;另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?
8.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了______m.
9.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证:
AE2+BF2=EF2.
证明:
过点A作AM∥BC,交FD延长线于点M,
连接EM.∵AM∥BC,∴∠MAE=∠ACB=90°,∠MAD=∠B.
∵AD=BD,∠ADM=∠BDF,∴△ADM≌△BDF.∴AM=BF,MD=DF.
又∵DE⊥DF,∴EF=EM.∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2.
10.已知:
如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CE=,求证:
AF⊥FE.
解:
连结AE,设正方形的边长为4a,计算得出AF,EF,AE的长,由AF2+EF2=AE2得AF⊥FE
11.已知△ABC中,a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判定△ABC的形状,并说明你的理由.
解:
原式变为(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0所以a=5,b=12,c=13
所以a2+b2=c2所以△ABC为直角三角形。
12.已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.
13.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
将长方体展开,连接A、B′,
∵AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6cm,
根据两点之间线段最短,AB′= =10cm.
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,
相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6
14.三角形的三边长为,则这个三角形是()
(A)等边三角形(B)钝角三角形
(C)直角三角形(D)锐角三角形.
.
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