精品八年级数学培优资料.doc
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目录
第1讲全等三角形的性质与判定 2
第2讲角平分线的性质与判定 12
第3讲轴对称及轴对称变换 17
第4讲等腰三角形 25
第5讲等边三角形 37
第06讲实数 43
第7讲变量与函数 50
第8讲一次函数的图象与性质 55
第9讲一次函数与方程、不等式 64
第10讲一次函数的应用 69
第11讲幂的运算 81
第12讲整式的乘除 87
第13讲因式分解及其应用 94
第14讲分式的概念•性质与运算 101
第15讲分式的化简求值与证明 109
第16讲分式方程及其应用 118
第17讲反比例函数的图象与性质 126
第18讲反比例函数的应用 139
第19讲勾股定理 146
第20讲平行四边形 158
第21讲菱形与矩形 167
第22讲正方形 179
第23讲 梯 形 189
第24讲数据的分析 198
模拟测试卷
(一) 208
模拟测试卷
(二) 211
模拟测试卷(三) 214
第1讲全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同;
2.全等三角形性质:
①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等;
3.全等三角形判定方法有:
SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有HL法;
4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明;
5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:
平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例1】如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=CD,那么图中有全等三角形()
B
A
C
D
E
F
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显的一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用的条件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解:
⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC=90.∴∠DCB=90.
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌∴△DCB(SAS)∴∠A=∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌∴△DCE∴BE=CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
∴Rt△EFB≌Rt△EFC(HL)故选C.
【变式题组】
01.(天津)下列判断中错误的是()
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
A
F
C
E
D
B
02.(丽水)已知命题:
如图,点A、D、B、E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
03.(上海)已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF(如图所示).
⑴添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:
AB=DC;
A
B
C
D
O
F
E
⑵分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加①、③,以②为结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是______命题,命题2是_______命题(选择“真”或“假”填入空格).
【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求证:
AF=DE.
【解法指导】想证AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中,而DE在△CDE和△DEF中,因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
A
C
E
F
B
D
证明:
∵FB=CE∴FB+EF=CE+EF,即BE=CF
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(SSS)∴∠B=∠C
在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE∴AF=DE
【变式题组】
01.如图,AD、BE是锐角△ABC的高,相交于点O,若BO=AC,BC=7,CD=2,则AO的长为()
A.2 B.3 C.4 D.5
A
E
第1题图
A
B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图
02.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE=4cm,CE=2cm,则BD=__________.
\
03.(北京)已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:
AB=FC.
A
F
E
C
B
D
【例3】如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置,点B(E)、C、D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?
请说明理由_____________.
B(E)
O
C
F
图③
F
A
B
C
D
E
F
A
B(E)
C
D
D
A
图②
图①
【解法指导】⑴∠AFD=∠DCA
⑵∠AFD=∠DCA理由如下:
由△ABC≌△DEF,∴AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF,∴∠ABF=∠DEC
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC∠BAF=∠DEC∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,∴∠FAC=∠CDF∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA
∴∠AFD=∠DCA
【变式题组】
01.(绍兴)如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°,则∠APD等于()
A.42° B.48° C.52° D.58°
02.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是()
A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90°
C.AC=DF D.EC=CF
E
F
B
A
B
P
D
E
C
第1题图
A
C
D
G
第2题图
03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证:
AB⊥ED;
⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.
B
F
A
C
E
N
M
P
D
D
A
C
B
F
E
【例4】(第21届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:
⑴AP=AQ;⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察,证AP=AQ,也就是证△APD和△AQE,或△APB和△QAC全等,由已知条件BP=AC,CQ=AB,应该证△APB≌△QAC,已具备两组边对应相等,于是再证夹角∠1=∠2即可.证AP⊥AQ,即证∠PAQ=90°,∠PAD+∠QAC=90°就可以.
2
1
A
B
C
P
Q
E
F
D
证明:
⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∴∠1+∠BAD=90°,∠2+∠BAD=90°,∴∠1=∠2.
在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC,
∴AP=AQ
⑵∵△APB≌△QAC,∴∠P=∠CAQ,∴∠P+∠PAD=90°
∵∠CAQ+∠PAD=90°,∴AP⊥AQ
【变式题组】
A
B
C
D
F
E
01.如图,已知AB=AE,∠B=∠E,BA=ED,点F是CD的中点,求证:
AF⊥CD.
02.(湖州市竞赛试题)如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA为am,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是()
A. B. C.bm D.am
A
E
C
B
A
75°
C
45°
B
N
M
第2题图
第3题图
D
03.如图,已知五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDE的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01.(海南)已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是()
A.72° B.60° C.58° D.50°
第3题图
第1题图
C
A
O
D
B
P
第2题图
A
C
A/
B
B/
a
α
c
c
a
50°
b
72°
58°
02.如图,△ACB≌△A/C/B/,∠BCB/=30°,则∠ACA/的度数是()
A.20° B.30° C.35° D.40°
03.(牡丹江)尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:
以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是()
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
04.(江西)如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是()
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
E
2
1
N
A
B
D
C
第5题图
A
B
C
D
E
A
B
C
D
第4题图
第6题图
M
05.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当A、B、D不在一条直线上时,下面的结论不正确的是()
A.△ABE≌△CBDB.∠ABE=∠CBD
C.∠ABC=∠EBD=45°D.AC∥BE
06.如图,△ABC和共顶点A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.BC交AD于M,DE交AC于N,小华说:
“一定有△ABC≌△AED.”小明说:
“△ABM≌△AEN.”那么()
A.小华、小明都对B.小华、小明都不对
C.小华对、小明不对
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