第九章不等式和不等式组竞赛训练.doc

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第九章不等式和不等式组竞赛训练

一元一次不等式（组）的竞赛题巧解举例

一元一次不等式（组）是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。

根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。

一、巧用不等式的性质

例1要使a5＜a3＜a＜a2＜a4成立，则a的取值范围是（）

A.0＜a＜1B.a＞1C.－1＜a＜0D.a＜－1

分析：

由a3＜a到a2＜a4，是在a3＜a的两边都乘以a，且a＜0来实现的；在a3＜a

两边都除以a，得a2＞1，显然有a＜－1。

故选D

点评：

本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定

a的取值范围。

例2已知6＜＜10，≤≤，，则的取值范围是。

分析：

在≤≤的两边都加上，可得≤≤，再由6＜＜10可得9＜＜30，即9＜＜30

点评：

本题应用不等式的基本性质，在≤≤的两边都加上后，直接用关于的不等式表示，再根据6＜＜10求出的取值范围。

二、由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围

例3若关于的不等式组

的解集为，则的取值范围是。

分析：

由①得，解之得。

由②得。

因为原不等式组的解集为，所以，所以。

点评：

本题直接解两个不等式得到且。

若，则其解集为，若，则其解集为，而原不等式的解集为，所以，即。

对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。

例4若不等式的解集是，则不等式

。

分析：

原不等式可化为。

因为，所以

由②得，代入①得＜0，

所以。

由得。

把代入得。

点评：

本题先由不等式解集的不等号方向判断＜0，从数值上判断，从而确定的关系及的符号。

不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。

三、利用不等式求代数式的最大值

例5设均为自然数，且，又，则的最大值是。

分析：

均为自然数，且，

所以在这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，

159=，

，所以的最大值为19。

当取最大值时，，

140≥，

，所以的最大值为20。

当、都取最大值时，

120=，

所以，所以的最大值为22。

所以的最大值是19+20+22=61。

点评：

本题根据已知条件先分别确定、、的最大值，再求出的最大值。

其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于、、的不等式。

　例6在满足，的条件下，能达到的最大值是。

分析：

将转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。

∵，∴，。

∴。

∵∴，∴。

即

故能达到的最大值是6。

点评：

由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。

例７　若整数满足不等式组

试确定的大小关系

分析：

利用不等式的性质，原不等式组可化为

，

所以，

即。

所以。

点评：

本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有，利用不等式的传递性，得到的大小关系。

一元一次不等式（组）的解法及其应用题

姓名：

＿＿＿＿ 班级：

＿＿＿＿ 考号：

＿＿＿＿ 成绩：

＿＿＿＿

一、整数解

例1　（2011江苏苏州，6，3分）不等式组的所有整数解之和是（　　）

A、9B、12C、13D、15

考点：

一元一次不等式组的整数解．

分析：

首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案．

解答：

由①得：

x≥3，由②得：

x＜6，

∴不等式的解集为：

3≤x＜6，∴整数解是：

3，4，5，

所有整数解之和：

3+4+5=12．故选B．

点评：

此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

练习　1．（2011山东泰安，18，3分）不等式组的最小整数解为（　　）．

A.0B.1C.2D.-1

【答案】A

2．（2011•南通）求不等式组的解集，并写出它的整数解.

专题：

探究型。

分析：

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x的整数解即可．

解答：

【解】解不等式3x－6≥x－4，得x≥1．解不等式2x＋1＞3（x－1），得x＜4．

所以原不等式组的解集为1≤x＜4．它的整数解为1，2，3．

点评：

本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键．

例2　①（2011•恩施州14,3分）若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是　4＜a≤5　．

考点：

一元一次不等式的整数解。

分析：

首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的范围．

解答：

解：

∵不等式x＜a只有四个正整数解，

∴四个正整数解为：

1，2，3，4，

∴4＜a≤5，

故答案为：

4＜a≤5，

点评：

此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解．

②已知关于x的不等式x－2a＜3的最大整数解－5，求a的取值范围．

解：

x＜2a＋3，由题意，有－5＜2a＋3≤－4，－8＜2a≤－7，．

③关于x的不等式组恰好有两个整数解，求a的取值范围．

解：

由①，得2x－2－3x－6＞－6，－x＞2，x＜－2，

由②得x＞2－a，

因为恰好有两个整数解－5≤2－a＜－4，所以－7≤－a＜－6，－7≥a＞6．

练习　1．关于x的不等式组只有3个整数解，求a的取值范围．

2．关于x的不等式组恰好有4个整数解，求a的取值范围．

二、不等式（组）的解集

例3　已知不等式的每一个解都是的解，求a的取值范围；

解：

由，得x＜a－3，由得x＜1，由题意有：

a－3≤1，得a≤4．

点评：

注意二者之区别．

练习　1．若不等式的解集与x＜6的解集相同，求a的取值范围．

解：

由，得2x－2a－3x＋3a＞6，－x＞6－a，x＜a－6，

由题意，有a－6＝6，所以a＝12．

2．（2011山东日照，6，3分）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（　　）

A．1＜a≤7 B．a≤7C．a＜1或a≥7 D．a=7

考点：

解一元一次不等式组；不等式的性质。

专题：

计算题。

分析：

求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的x，得到当a﹣1＞0时，≥2，求出即可．

解答：

解：

解不等式2x＜4得：

x＜2，

∴当a﹣1＞0时，x<，

∴≥2，∴1＜a≤7．故选A．

点评：

本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．

三、求参数a的取值范围

例3　①关于x的方程组的解集是x＞5，求m的取值范围．

解：

由，得x＞5，又因为方程组的解集是x＞5，所以m≤5．

②关于x的不等式组有解，求m的取值范围．

练习　1．关于x的不等式组有解，求m的取值范围．

2．（2011年山东省威海市，11，3分）如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是（　　）．

A、m=2B、m＞2C、m＜2D、m≥2

考点：

解一元一次不等式组；不等式的解集．

专题：

计算题．

分析：

先解第一个不等式，再根据不等式组的解集是x＜2，从而得出关于m的不等式，解不等式即可．

解答：

解：

解第一个不等式得，x＜2，

∵不等式组的解集是x＜2，

∴m≥2，故选D．

点评：

本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

例4　如果关于x的不等式组有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a的取值范围．

解：

∵不等式有解，所以2a－2＜4－a，a＜2，

所以其解集为：

2a－2＜x＜4－a，其每一个解都是不等式组－6＜x≤5的解，

所以解之得a≥－1，所以不等式的解集为－1≤a＜2．

例5　（2011湖北随州，7，3）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为　a＜4　．

考点：

解一元一次不等式；解二元一次方程组。

专题：

方程思想。

分析：

先解关于关于x，y的二元一次方程组的解集，其解集由a表示；然后将其代入x+y＜2，再来解关于a的不等式即可．

解答：

解：

由①－③×3，解得y＝1－；由①×3－③，解得x＝；

∴由x+y＜2，得1+＜2，即＜1，解得，a＜4．

故答案是：

a＜4．

点评：

本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．

例6　①化简：

|x－6|＋|x＋2|；②．化简：

|x＋5|－|x－2|； ③|x－2|＋|x＋4|．

例7　某中学有若干名学生住宿，若每间宿舍住4人，则有20人没有宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍住不满，求住宿舍的学生人数及宿舍的间数。

解：

设有x间房间，总人数为：

（4x＋20）人，

由题意有：

0＜（4x＋20）－8（x－1）＜8，

有：

0＜－4x＋28＜8，－28＜－4x＜－20，7＞x＞5，

又∵x是整数，∴x＝6，∴学生人数为：

4x＋20＝44人，

答：

有6个房间，人数为44人。

例8　某工厂现有甲种原料194千克，乙种原料170千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共30件。

已知生产一种A种产品需要甲种原料7千克，乙种原料4千克；生产一件B种产品需要甲种原料5千克，乙种原料9千克。

请你设计出所有符合题意的生产方案。

解：

设生产A种产品x件，则生产B种产品（30－x）件。

　　由题意有：

由①得：

2x≤44，x≤22，

⑵得：

－5x≤－100，x≥20，

　　∴不等式组的解集是：

20≤x≤22，

答：

当生产A种产品20、21、22件时，生产B种产品分别为10、9、8件．

例9　为加强贫困地区的卫生医疗条件，北京和上海计划向外地支援先进的医疗设备，其中北京有40台，上海有100台，将运往贵州80台和四川60台，所需要费用如右表所示：

有关部门计划用78000元运送这批医疗设备，请你设计一种方案，使贵州和四川能得到所需要的医疗设备，而且运费正好够用．

解：

设北京运往四川x台，则北京运往贵州（40－x）台，上海运往四川（60－x）台，上海运往贵州[100－（60－x）]台，由题意有：

300x＋500（40－x）＋400（60－x）＋800[100－（60－x）]＝78000．

3x＋5（40－x）＋4（60－x）＋8（40＋x）＝780，

3x＋200－5x＋240－4x＋320＋8x＝780，

2x＋760＝780，x＝10．

所以北京运往四川10台，运往贵州30台；上海运往四川50台，运往贵州50台．

一第十二讲：

一元一次不等式（组）的应用

一、能力要求：