第2讲(学生)等腰三角形的性质定理和判定定理.doc
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第2讲等腰三角形的性质和判定
教学目标:
(1)掌握等腰三角形的性质定理和判定定理,并会灵活运用。
(2)能用上述结论进行分析与说理,进行初步的逻辑思维训练,形成一定的推理能力。
重点、难点:
重点是等腰三角形的性质定理和判定定理
难点是利用定理解决实际问题
教学过程:
(一)知识梳理
知识点1:
等腰三角形的性质定理1
(1)文字语言:
等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)
(2)符号语言:
如图,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C
(3)证明:
(4)定理的作用:
证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2:
等腰三角形性质定理2
(1)文字语言:
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)
(2)符号语言:
∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC
∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC
∴AD⊥BC,BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2
BD=DC AD⊥BC
(3)定理的作用:
可证明角相等,线段相等或垂直。
说明:
在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。
知识3:
等腰三角形的判定定理
(1)文字语言:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)
(2)符号语言:
在△ABC中
∵∠B=∠C ∴AB=AC
(3)证明:
【典型例题分析】
基础知识应用题:
例1.如图,已知P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=AP=AQ=QC,求∠BAC的度数。
解答此类题的步骤如下:
(1)利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
(2)利用三角形内角和定理,确定等量关系,借助等式或方程求解。
例2.已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别为AB,BC,AC上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B。
求证:
△DEF是等腰三角形。
例3.已知:
如图,AC和BD相交于点O,AB∥CD,OA=OB,求证:
OC=OD
例4.如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,试判断DC与AC的位置关系,并证明你的结论。
例5.求证:
等腰三角形两腰上的中线相等
已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的中线
求证:
BD=CE
例6.如图,点C为线段AB上的一点,△ACM,△BCN是等边三角形,AN,MC相交于点E,CN与BM相交于点F。
(1)求证AN=BM
(2)求证△CEF为等边三角形
例7.下面是数学课堂的一个学习片断,阅读后,请回答下面的问题:
学习等腰三角形有关内容后,苏老师请同学们交流讨论这样一个问题:
“已知,等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角。
”同学们经片刻的思考与交流后,李明举手讲:
“其余两角30°和120°,”王华同学说:
“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?
为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?
(用一句话表示)
【模拟试题】
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( )
A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°
2.如图,△ABC中AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )
A.30° B.36° C.95° D.70°
3.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
4.聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案,并发现图中有等腰三角形,请你帮他找出两个等腰三角形:
。
5.如图,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2= 度。
6.在△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°,则底角∠B的大小为 。
7.如图,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF是等边三角形
(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等的线段,并证明你的猜想是正确的。
(2)你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到?
写出变化过程。
作业
一、填空题
1.已知,如右图,等腰△ABC,AB=AC:
(1)若AB=BC,则△ABC为__________三角形;
(2)若∠A=60°,则△ABC为__________三角形;
(3)若∠B=60°,则△ABC为__________三角形.
2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中,成轴对称图形的是__________.
3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴,等边三角形有__________条对称轴.请你在图
(1)中作出等腰△ABC,等边△DEF的对称轴.
(1)
(2)
4.如图
(2),已知△ABC是等边三角形,AD∥BC,CD⊥AD,垂足为D、E为AC的中点,AD=DE=6cm则∠ACD=(__________)°,AC=__________cm,∠DAC=(__________)°,△ADE是__________三角形.
5.如左下图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E,如果AB=
8cm,则BD=__________cm,∠BDE=(__________)°,BE=__________cm.
6.如右上图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB=__________cm.
二、选择题
1.下列说法不正确的是()
A.等边三角形只有一条对称轴
B.线段AB只有一条对称轴
C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线
D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线
2.下列命题不正确的是()
A.等腰三角形的底角不能是钝角
B.等腰三角形不能是直角三角形
C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形
D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
3.在Rt△ABC中,如右图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于()
A.3.8cm B.7.6cmC.11.4cm D.11.2cm
三、解答与证明
1.如下图,在△ABC中,∠A=20°,D在AB上,AD=DC,∠ACD∶
∠BCD=2∶3,求:
∠ABC的度数.
2.如下图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求证:
MD=MA.
3.如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
7
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- 学生 等腰三角形 性质 定理 判定