空间几何体的表面积和体积.doc
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空间几何体的表面积和体积
能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积;
用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题.
一、展开图定义
一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.
二、特殊几何体的定义
1.直棱柱:
__________的棱柱叫做直棱柱.
2.正棱柱:
__________的直棱柱叫做正棱柱.
3.正棱锥:
底面是_________,并且顶点在底面的_______是底面的中心的棱锥叫正棱锥.
正棱锥的性质:
(1)正棱锥的侧棱相等;
(2)侧面是全等的等腰三角形;
(3)侧棱、高、底面构成直角三角形.
4.正棱台:
正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分角正棱台.
正棱台的性质:
(1)正棱棱台的侧棱长相等
(2)侧面是全等的等腰三角形;
(3)高,侧棱,上、下底面的边心距构成直角梯形.
三、侧面积与表面积公式
1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式
(1)设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则直棱柱侧面积计算公式:
S直棱柱侧=ch,即直棱柱的侧面积等于它的______和___的乘积.
(2)设正n棱锥的底面边长为a,底面周长为c,斜高为h′,则正n棱锥的侧面积的计算公式:
S正棱锥侧==.即正棱锥的侧面积等于它的_____和____乘积的一半.
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c,上底面边长为a′、周长为c′,斜高为h′,则正n棱台的侧面积公式:
S正棱台侧==.
(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和,即S表=_______+_____.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式
(1)S圆柱侧=(r为底面半径,l为母线长).
(2)S圆锥侧=(r为底面圆半径,l为母线长).
(3)S圆台侧=(R、r分别为上、下底面半径,l为母线长).
(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和,即S表=S底+S侧.
(5)若圆锥底面的半径为,侧面母线长为,侧面展开图扇形的圆心角为则,
3.由球的半径R计算球表面积的公式:
S球=.即球面面积等于它的大圆面积的4倍.
四、体积
1.长方体的体积:
长方体的长、宽和高分别为a、b、c,长方体的体积V长方体=_____.
2.棱柱和圆柱的体积:
(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积,即V柱体=____.
(2)底面半径是r,高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱=.
3.棱锥和圆锥的体积:
(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S,高是h,那么它的体积V锥体=h.
(2)如果圆锥的底面半径是r,高是h,则它的体积是V圆锥=.
4.棱台和圆台的体积:
(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S,高是h,则它的体积是V台体=.
(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r,高是h,则它的体积是V圆台=.
5.球的体积:
如果球的半径为R,那么球的体积V球=.
6.祖暅原理:
幂势既同,则积不容异.
这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.应用祖暅原理可说明:
等______、等______的两个柱体或锥体的体积相等.
7.球面距离:
在球面上,两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的______在这两点间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
类型一表面积
例1:
(2014·江西九江三中高一月考)已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面面积之和,则该正四棱台的高是( )
A.2 B.
C.3D.
练习1:
某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )
A.32 B.16+16
C.48 D.16+32
练习2:
若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的全面积是( )
A.3π B.3π
C.6π D.9π
练习3:
3.(2014·甘肃天水一中高一期末测试)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )
A. B.
C. D.π
例2:
(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱的轴截面面积为( )
A.8B.
C.D.
练习1:
(2014·浙江理,3)某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )
A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2
练习2:
(2014·河南洛阳高一期末测试)已知圆锥的表面积为12πcm2,且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为( )
A.cm B.2cm
C.2cm D.4cm
练习3:
(2014·浙江理,3)某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )
A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2
练习4:
(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是________.
类型二体积
例3:
(2014·江西九江三中高一月考)正三棱锥底面三角形的边长为,侧棱长为2,则其体积为( )
A. B.
C.D.
练习1:
(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为6,侧棱长为5,求四棱锥P-ABCD的体积和侧面积.
练习2:
(2014·四川文,4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A.3
B.2
C.
D.1
例4:
将长为a,宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周,所得柱体的体积为V1,以b为轴旋转一周,所得柱体的体积为V2,则有( )
A.V1>V2 B.V1 C.V1=V2 D.V1与V2的大小关系不确定 练习1: 如图,某几何体的主视图是平行四边形,左视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 练习2: 一个圆柱的高缩小为原来的,底面半径扩大为原来的n倍,则所得的圆柱的体积为原来的________. 例5: 在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a,求这个球的体积. 练习1: 体积为8的一个正方体,其全面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于________. 练习2: 平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( ) A.π B.4π C.4π D.6π 1.将一个棱长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了( ) A.6a2 B.12a2 C.18a2 D.24a2 2.正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( ) A. B. C. D. 3.正四棱柱的体对角线长为6,侧面对角线长为3,则它的侧面积是________. 4.若一棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为示)是边长为3、3、2的三角形,则该圆锥的侧面积为________. 5.(2014·沈阳高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示矩形.主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)判断该几何体形状; (2)求该几何体的侧面积S. 6.若长方体的三个面的面积分别为,则长方体的体积为;其对角线长为. 答案: , 7.若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆,则这个圆锥的体积是. 8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为,体积为,则棱台的高为. 基础巩固 1.如果圆锥底面半径为,轴截面为等腰直角三角形,那么圆锥的全面积为() A.B.C.D. 2.一个圆台的母线长等于上.下底面半径和的一半,且侧面积是,则母线长为() A.B.C.D. 3.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是() A.B.C.D. 4.(2014·山东威海市高一期末测试)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 5.已知圆锥的母线长为8,底面周长为6π,则它的体积是( ) A.9π B.9 C.3π D.3 6.(2014·重庆文,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.12 B.18 C.24 D.30 7.将半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为____________. 8.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E.F分别为棱AA1与CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积. 能力提升 9.正过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半,且AB=6,BC=8,AC=10,则球的表面积是( ) A.100π B.300π C. D.π 10.一圆锥的底面半径为4,用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的( ) A. B. C. D. 11.(2014·广东揭阳一中高一阶段测试)如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的全面积为( ) A. B.2π C.π D.4π 12.如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 13.(2014·邵阳一中月考)如图所示,在边长为5+2的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M、N、K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积. 7
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- 空间 几何体 表面积 体积