立方根.doc

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立方根

1．立方根的概念及表示方法

（1）立方根的概念：

如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．如23＝8，那么2就叫做8的立方根，由于3＝－，所以－叫做－的立方根．

（2）立方根的表示方法：

a的立方根可表示为“”，读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数．要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：

2的立方根可表示为.

【例1－1】求下列各数的立方根：

（1）8；

（2）－125；（3）；（4）－0.064；（5）0；（6）－6.

【例1－2】下列语句正确的是（　　）．

A．的立方根是2 B．－3是27的立方根

C．的立方根是± D．（－1）2的立方根是－1

2．立方根的性质

（1）立方根的性质：

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.

（2）开立方

求一个数的立方根的运算，叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．

【例2】有下列命题：

①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0.其中错误的是（　　）．

A．①②③B．①②④

C．②③④D．①③④

3．立方根的应用

立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等．

【例3】某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm，求原来立方体钢锭的边长为多少？

4．立方根的化简公式

＝－；＝a；（）3＝a.

如果x3＝a，那么x就是a的立方根，即x＝，所以x3＝（）3＝a.同样，根据定义，a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a，即＝a.

设x3＝a，则（－x）3＝－x3＝－a.根据立方根的定义可知，x＝，－x＝.＝－.

要深入理解立方根的性质，必须掌握以上性质公式．

【例4】化简：

（1）；

（2）；（3）－.

5．灵活利用立方根与平方根解题

平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误．

（1）区别：

①定义不同．平方根：

如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．立方根：

如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．②表示方法不同．正数a的平方根记为±，数a的立方根记为.表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了．③读法不同．正数a的平方根±，读作“正、负根号a”．数a的立方根读作“三次根号a或a的立方根”．④被开方数的取值范围不同．在平方根±中，被开方数a是非负数，即a≥0.但在中，a可以是任意的数．⑤根的个数不同．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.

（2）联系：

求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算．

【例5－1】已知＋|b3－27|＝0，求（a－b）b的立方根．

【例5－2】已知＝－2，求x＋17的平方根．

课后练习

1.填空题

（1）的平方根是_________；

（2）（－）2的算术平方根是_________；

（3）一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________；

（4）的算术平方根是_________；

（5）9－2的算术平方根是_________；

（6）的值等于_________，的平方根为_________；

（7）（－4）2的平方根是_________，算术平方根是_________.

（8）若9x2－49=0,则x=________.

（9）若有意义，则x范围是________.

（10）已知｜x－4｜+=0,那么x=________,y=________.

（11）如果a＜0,那么=________,（）2=________.

2.选择题

（1）的化简结果是

A.2 B.－2C.2或－2 D.4

（2）9的算术平方根是

A.±3 B.3C.± D.

（3）（－11）2的平方根是

A.121B.11C.±11D.没有平方根

（4）下列式子中，正确的是

A. B.－=－0.6

C.=13 D.=±6

（5）7－2的算术平方根是

A. B.7C. D.4

（6）16的平方根是

A.±4 B.24C.± D.±2

（7）一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是

A.a+2 B.－2C.+2 D.a2+2

（8）下列说法正确的是

A.－2是－4的平方根B.2是（－2）2的算术平方根

C.（－2）2的平方根是2D.8的平方根是4

（9）的平方根是

A.4 B.－4C.± D.±2

（10）的值是

A.7 B.－1C.1 D.－7

牢记1-9的立方

一、选择题

1.下列说法中正确的是（）

A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1

C.的立方根是 D.－5的立方根是

2.在下列各式中：

==0.1,=0.1,－=－27,其中正确的个数是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

3.若m<0，则m的立方根是（）

A. B.－ C.± D.

4.如果是6－x的三次算术根，那么（）

A.x<6 B.x=6 C.x≤6 D.x是任意数

5.下列说法中，正确的是（）

A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数

B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数

C.负数没有立方根

D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1

3.选择题

（1）如果a是（－3）2的平方根，那么等于（）

A.－3 B.－ C.±3 D.或－

（2）若x＜0，则等于（）

A.x B.2x C.0 D.－2x

（3）若a2=（－5）2,b3=（－5）3,则a+b的值为（）

A.0 B.±10 C.0或10 D.0或－10

（5）如果2（x－2）3=6,则x等于（）

A. B. C.或 D.以上答案都不对

二、填空题

6.的平方根是______.

7.（3x－2）3=0.343,则x=______.

8.若+有意义，则=______.

9.若x<0，则=______,=______.

10.若x=（）3，则=______.

2.填空题

（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________.

（2）=________，（）3=________（3）的平方根是________.

三、解答题

11.求下列各数的立方根

（1）729

（2）－4（3）－（4）（－5）3

12.求下列各式中的x.

（1）125x3=8

（2）（－2+x）3=－216

（3）=－2（4）27（x+1）3+64=0

三、解答题

13.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a－15,求这个数.

14.已知:

2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.

15.已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127cm3,求第二个纸盒的棱长.