高中数学平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思Word格式文档下载.docx
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设计意图:
1.明白新旧知识的联系性.2.明确研究向量的数量积这种运算的途径.
(二)探究新知
活动1:
探究数量积的概念
1.给出有关材料并提出问题3:
(1)如图1所示,一物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功:
W=|F||s|cosθ.
图1
2)这个公式有什么特点?
请完成下列填空:
①W(功)是________量,②F(力)是________量,
③s(位移)是________量,④θ是________.
(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.
(4)如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,其结果又该如何表述?
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.
2.明晰数量积的定义
(1)数量积的定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·
b,即a·
b=︱a︱︱b︱cosθ.
(2)定义说明
①记法“a·
b”中间的“·
”不可以省略,也不可以用“×
”代替.
②“规定”:
零向量与任何向量的数量积为零.
设计意图:
1.认识向量的数量积的实际背景.
2.使学生在形式上认识数量积的定义.
3.从数学和物理两个角度创设问题情境,使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望.
提出问题4:
向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?
影响数量积大小的因素有哪些?
线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数量,这个数量的大小不仅和向量a与b的模有关,还和它们的夹角有关.
4.学生讨论,并完成下表:
θ的范围
0°
≤θ<
90°
θ=90°
<
θ≤180°
a·
b的符号
引导学生通过自主研究,明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号,进一步从细节上理解向量数量积的定义.
5.研究数量积的几何意义
(1)给出向量投影的概念:
如图2,我们把|b|cosθ(|a|cosθ)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影,记作:
OB1=|b|cosθ.
图2
(2)提出问题5:
数量积的几何意义是什么?
数量积a·
b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
这里将数量积的几何意义提前,使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识.
6.研究数量积的物理意义
(1)请同学们用一句话来概括功的数学本质:
功是力与位移的数量积.
(2)尝试练习:
一物体质量是10千克,分别做以下运动:
①竖直下降10米;
②竖直向上提升10米;
③在水平面上的位移为10米;
④沿倾角为30度的斜面向上运动10米.分别求重力做功的大小.
通过尝试练习,一方面使学生尝试计算数量积,巩固对定义的理解;
另一方面使学生理解数量积的物理意义,明白学科间的联系,同时也为数量积的性质埋下伏笔.
活动2:
探究数量积的运算性质
1.提出问题6:
(1)将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量,你能得到哪些结论?
(2)比较︱a·
b︱与︱a||b︱的大小,你有什么结论?
2.请证明上述结论.
3.明晰数量积的性质:
设a和b都是非零向量,则:
(1)a⊥b⇔a·
b=0;
(2)当a与b同向时,|a·
b|=|a||b|;
当a与b反向时,|a·
b|=-|a||b|,特别地a·
a=|a|2或|a|=
;
(3)|a·
b|≤|a||b|.
将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质,使学生感到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识.
活动3:
探究数量积的运算律
1.提出问题7:
我们学过了实数乘法的哪些运算律?
这些运算律对向量是否也适用?
(1)交换律:
ab=ba;
(2)结合律:
(ab)c=a(bc);
(3)分配律:
(a+b)c=ac+bc.
猜想:
①a·
b=b·
a;
②(a·
b)c=a(b·
c);
③(a+b)·
c=a·
c+b·
c.
2.分析猜想:
猜想①的正确性是显而易见的.
关于猜想②的正确性,请同学们先讨论:
猜测②的左右两边的结果各是什么?
它们一定相等吗?
左边是与向量c共线的向量,而右边则是与向量a共线的向量,显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的.
要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律,通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同,看到数学的法则与法则间的相互联系与区别,体会法则,学习研究的重要性.
3.明晰:
数量积的运算律:
已知向量a、b、c和实数λ,则:
(1)a·
(2)(λa)·
b=λ(a·
b)=a·
(λb);
(3)(a+b)·
4.学生活动:
证明运算律
(2)
在证明时,学生可能只考虑到λ>
0的情况,为了帮助学生完善证明,提出以下问题:
当λ<
0时,向量a与λa,b与λb的方向的关系如何?
此时,向量λa与b及a与λb的夹角与向量a与b的夹角相等吗?
5.师生活动:
证明运算律(3)
学会利用定义证明运算律
(1)
(2),运算律(3)的图形构造有些困难,先让学生讨论,后根据学生的情况加以指导或共同完成.
(三):
应用与提高
1.学生独立完成:
已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°
,求a·
b.
通过计算巩固对定义的理解.
2.师生共同完成:
已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°
,求(a+2b)·
(a-3b),并思考此运算过程类似于哪种实数运算?
3.学生独立完成:
对任意向量a,b是否有以下结论:
(1)(a+b)2=a2+2a·
b+b2,
(2)(a+b)·
(a-b)=a2-b2.
让学生体会解题中运算律的作用,比较向量运算与实数运算的异同.
4.师生共同完成:
已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直?
并讨论:
通过本题,你有什么体会?
学会利用数量积来解决垂直问题,体会用数量积将几何问题转化为方程来求解,体现向量的工具性.
5.反馈练习
(1)判断下列各题正确与否:
①若a≠0,则对任一非零向量b,有a·
b≠0.
②若a≠0,a·
b=a·
c,则b=c.
(2)已知△ABC中,
=a,
=b,当a·
b<
0或a·
b=0时,试判断△ABC的形状.
1.加强学生的练习.
2.通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握.
七、课堂小结
1.本节课我们学习的主要内容是什么?
2.平面向量的数量积有哪些应用?
3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的?
在运算律的探究过程中,渗透了哪些数学思想?
4.类比向量的线性运算,我们还应该怎样研究数量积?
八、课后作业
1.课时练与测
九、教学反思
本节课从总体上说是一节概念教学,从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣,课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、以及学生学习过程中易忘点等,最后进行当堂检测,以达到提高课堂效率的目的。
通过尝试练习,一方面使学生尝试计算数量积,另一方面使学生理解数量积的物理意义,同时也为数量积的性质埋下伏笔。
我始终按照先创设一定的情景,让学生去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明这样不仅使学生感到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
通过安排学生讨论影响数量积结果的因素和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量。
数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸,这两方面的内容按照创设一定的情景,让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明。
这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则。
平面向量的数量积学情分析
学情分析
1、学生情况分析
学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算,具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:
即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念,然后再从概念出发,在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫,使学生倍感亲切。
但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解,一方面,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是很难接受的;
另一方面,由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点数量积的概念。
2、学习任务分析
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算,也是高中数学的一个重要概念,在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。
本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修四第二章第四节2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义。
它是平面向量的核心内容,是以之前所学的向量概念为基础,本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探究数量积的性质与运算律,使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
同时也因为在这个概念中,既有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几何与三角的最佳结合点,不仅应用广泛,而且很好的体现了数形结合的数学思想,使得数量积的概念成为本节课的核心概念,自然也是本节课教学的重点。
平面向量的数量积学习效果分析
数学教学是数学活动的教学,是师生之间,学生之间交流互动与共同发展的过程。
本节课我不断设置问题,步步推进教学过程,使学生在有效问题的驱动下进行积极思考、探究,调动了学生的积极性。
学生在自主探究与合作探究中动手动脑,获取知识,感悟数学,充分体现学生的主体地位,教师成为课堂活动的组织者、引导者与合作者。
课堂教学中,我制作了课件,合理地利用多媒体,及实物投影仪,提高了教学的效率与质量。
通过本节课的学习,学生理解了数量积的定义、投影的定义与数量积的几何意义,并掌握数量积的性质与运算律,能够利用数量积求解向量的模与夹角问题,并会利用数量积判断向量向量或线段的垂直,加深了对数量积的理解。
使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中,既有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几何与三角的最佳结合点,不仅应用广泛,而且很好地体现了数形结合的数学思想,使得数量积的概念成为本节课的核心内容,自然也是本节课教学的重点。
平面向量的数量积
教材分析
1.教材的地位及作用
《平面向量的数量积》是普通高中课程标准实验教科书数学4(必修)第二章第四节的内容。
将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。
由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数与形的结合和转换的桥梁。
而这一切之所以能够实现,平面向量的数量积功不可没。
本课时的内容是平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律。
它是继向量的加、减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算,是前面知识的延续,又是学好后续知识的基础,起承上启下的作用。
本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。
向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算,它有明显的物理意义、几何意义。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,应用广泛,很好地体现了数形结合的数学思想。
2.教学目标
(1)知识目标
理解平面向量数量积、投影的定义;
掌握平面向量数量积的性质及其运算律。
(2)能力目标
通过对平面向量数量积性质及运算律的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练。
(3)情感、态度、价值观目标
通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐。
体会各学科之间是密不可分的。
培养学生思考问题认真严谨的学习态度。
3.教学重点:
平面向量数量积的定义、几何意义、性质及运算律
教学难点:
平面向量数量积性质及运算律的探究。
平面向量的数量积课后测评
设计人:
宋明鲁
1.|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°
,则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A.-3B.-2C.2D.-1
2.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于( )
A.
B.-
C.±
D.1
3.已知向量a,b满足a·
b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于( )
A.0B.2
C.4D.8
4.在边长为1的等边△ABC中,设
=b,
=c,则a·
b+b·
c+c·
a等于( )
A.-
B.0C.
D.3
5.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·
b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
6.若向量a与b的夹角为60°
,|b|=4,(a+2b)·
(a-3b)=-72,则向量a的模为( )
A.2B.4C.6D.12
7.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为()
①|a·
b|=|a||b|
a∥b②a与b反向
b=-|a||b|
③a⊥b
|a+b|=|a-b|④|a|=|b|
|a·
c|=|b·
c|
A.1B.2C.3D.4
8.有下列四个命题:
①在△ABC中,若
·
>
0,则△ABC是锐角三角形;
②在△ABC中,若
0,则△ABC为钝角三角形;
③△ABC为直角三角形的充要条件是
=0;
④△ABC为斜三角形的充要条件是
≠0.
其中为真命题的是()
A.①B.②C.③D.④
9.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°
,则a在e方向上的投影为()
A.4
B.4C.42D.8+
10.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:
①(a·
b)c-(c·
a)b=0;
②|a|-|b|<
|a-b|;
③(b·
c)a-(c·
a)b不与c垂直;
④(3a+2b)·
(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确的是()
A.①②B.②③C.③④D.②④
11.在△ABC中,设
=b,
=c,则
等于()
A.0B.
S△ABCC.S△ABCD.2S△ABC
12.已知向量a与b的夹角为120°
,且|a|=|b|=4,那么b·
(2a+b)的值为________.
13.给出下列结论:
①若a≠0,a·
b=0,则b=0;
②若a·
c,则a=c;
③(a·
④a·
[b(a·
c)-c(a·
b)]=0.
其中正确结论的序号是________.
14.设i,j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量,且
a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,
如果(a+b)⊥(a-b),则实数m=_____________.
15.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·
b+b·
c+c·
a=_________.
教学反思:
教学目标分析
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.
《普通高中课程标准(实验)》对本节课确立的目标有三条:
(1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;
(3)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
由此可看出,数量积的概念是本节课的重点。
为了让学生能够接受并理解重点内容,首先,让学生回忆所熟悉的物理中的做功问题,启发、引导学生将其看做两个向量的运算,从而引入平面向量的数量积的定义。
其次,数量积是一种向量间的新的运算,学习它的性质及运算律,不仅能够让学生更加深刻理解概念,同时也是进行相关计算和判断的理论依据。
第三,学习一种新的运算,不仅要理解概念,还要运用它解决数学问题。
最后,本节课是一节双语课,双语教学是我校的外语特色,体现了教育要面向世界,面向未来的理念,双语教学培养学生的跨文化意识与双思维,有助于学生理解该学科的新理念,接受世界文化的熏陶,使学生的综合素质全方面的提高,成为双语复合型人材。
综上所述,结合“课标”要求和我对本节课的认识,将教学目标确定为:
1.理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义;
2.掌握平面向量数量积的性质与运算律;
3.会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;
4.以数学知识的教学为载体,为学生创造学习数学知识的环境,进而了解数学专业术语的表示,进行数学方面的交流,培养学生的跨文化意识与双思维,提高理解能力。
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