相似三角形章节复习.docx
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相似三角形章节复习.docx
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相似三角形章节复习
知识点回顾
一,比例线段
在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做,简称.
二,比例的基本性质
(1)基本性质:
⇔ad=(b、d≠0)
(2)合比性质:
⇔=;(b、d≠0)
(3)等比性质:
=…==k(b+d+…+n≠0)⇔=
三,平行线分线段成比例定理
(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.即如图所示,若l3∥l4∥l5,则.
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
即如图所示,若AB∥CD,则.
(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.
如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽.
(4)点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果==≈0.618,那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点,与的比叫做黄金比。
若C为AB的黄金分割点
四,相似三角形的性质与判定
1,相似三角形的判定
预备定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和
原三角形相似.
如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽.
(1)对应相等的两个三角形相似(简称AA定理).
如图,若∠A=∠,∠B=∠,则△ABC∽△DEF.
(2)两边对应,且相等的两个三角形相似.如图,若∠A=∠D,,则△ABC∽△DEF.(简称SAS定理)
(3)三边对应成比例的两个三角形相似.如图,若==,则△ABC∽△DEF(简称SSS定理)
(4)对于直角三角形,一组边和边对应相等也可以证明这两个直角三角形相似。
(简称HL定理)
判定三角形相似的思路:
(相似三角形中之比叫做相似比。
)
①条件中若有平行线,可用平行线找出相等的而判定;
②条件中若有一对等角,可再找一对或再找夹这对等角的两组边对应;
③条件中若有两边对应成比例可再证相等或第三边或证有一组角是角;
④条件中若有一对直角,可考虑再证一对或再证两直角边或再证直角边和对应成比例;
⑤条件中若有等腰关系,可找角相等或找一对角相等或找和对应成比例.
2,相似三角形的性质
(1)对应角,对应边.
(2)周长之比等于,面积之比等于.
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于.
四,在相似中找对应边,对应角的小技巧(与全等类似)
1,公共角是角,公共边是。
对顶角是角。
2,最长边和、最短边和是对应边;最大角和、最小角和是对应角。
3,对应角的对边是。
对应边的对角是。
五.相似三角形的基本模型
1,平行线型(有“A”型和“X”型)
图
(1)中,AE和是对应边。
图
(2)中,AE和是对应边。
2,“斜交型”的相似三角形△AED∽ABC(需满足∠1=∠2,有反A共角型如图
(1)、反A共角共边型如图
(2)、蝶型如图3)
图
(1)中AE和是对应边,∠AED=∠。
图
(2)中AC和是对应边,∠ACB=∠。
图(3)AD和是对应边,∠E=∠.
3,垂直型(反A共角型如图1,反A共角共边型如图2,边共线型如图3)
图
(1)中,AD和是对应边,∠ADE=∠.
图
(2)中AE和是对应边,∠ACE=∠。
图(3)AC和是对应边,∠E=∠.
相似三角形章节习题
一,选择题
1、已知:
x∶y∶z=2∶3∶4,则的值为()
A、B、C、D、
2、在一张比例尺为1:
10000的地图上,我校的周长为18cm,则我校的实际周长为。
3、下列各组中得四条线段成比列得是()
A、4cm、2cm、1cm、3cmB、1cm、2cm、3cm、4cm
C、25cm、35cm、45cm、55cmD、1cm、2cm、20cm、40cm
4、若x是3和6的比例中项,则x的值为()
A、B、C、D、
5、若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB),设AB=1,则PA的长约为()
A、0.191B、0.382C、0.5D、0.618
6,△ABC与△DEF的相似比为1:
4,则△ABC与△DEF的周长比为()
A.1:
2B.1:
3C.1:
4D.1:
16
7,点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点,则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为()2
A1:
2B1:
3C1:
4D1:
5
8,如图,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2.如果△ADC∽△ABC.如果△ABD的面积为15.那么△ACD的面积为()
A.15B.10C.D.5
9,如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为。
点A,B,E在X轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()
A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)
10,如图,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E.在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
11,如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若S△DOE:
S△COA=1:
25,则S△BED和S△CDE的比是()
A1:
3B1:
4C1:
16D1:
25
12,如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:
①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④CD/AD=.其中正确的结论有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
二,填空题
13,若△ABC∽△A′B′C′,且,△ABC的周长为12cm,则△A′B′C′的周长为;则它们的对应角的平分线的比为;
14,如图1,在△ABC中,中线BE、CD相交于点G,则S△GED:
S△GBC=;
15,如图2,在△ABC中,∠B=∠AED,AB=5,AD=3,CE=6,则AE=;
A
B
C
D
F
图5
G
E
A
B
C
D
E
图4
16,如图3,△ABC中,M是AB的中点,N在BC上,BC=2AB,∠BMN=∠C,则△∽△,相似比为,=;
17,如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,S△ADE:
S△BCE=4:
9,则S△ABD:
S△ABC=;
18,如图5,在△ABC中,BC=12cm,点D、F是AB的三等分点,点E、G是AC的三等分点,则DE+FG+BC=;
19,如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3,则S△BCF=.
20,如右上图,在Rt△ACB中.∠ACB=90°,AC=BC=3,CD=1,CH⊥BD于H,点O是AB中点,连接OH,则OH=。
三,解答题
21.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,求木竿PQ的长度
22,如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且
(1)求证:
△ADF∽△ACG;
(2)若,求的值.
23,如图,在RT△ABC中,∠BAC=900,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连接AE,求△ABE的面积。
24,如图,△ABC内接于⊙O,CD平分∠ACB交⊙O于D,过点D作PQ∥AB分别交CA,CB的延长线于P,Q,连接BD,求证:
①PQ为⊙O的切线;
②BD2=AC·BQ
25,在△ABC中,P为边AB上一点.
(1)如图l,若∠ACP=∠B,求证:
AC2=AP·AB;
(2)如图2,若M为CP的中点,AC=2,AB=3,若∠PBM=∠ACP,求BP的长.
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