相似三角形专题.doc

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第六讲相似三角形

时间：

年月日刘老师学生签名：

一、兴趣导入

我正与同学讨论一悖论问题：

村里唯一的理发师每月一定要给自己不理发的人理发，问理发师的头谁理？

真难！

若是理发师自己理发，就是给自己理发的人理发，若是理发师自己不理发，就是不给自己不理发的人理发，好深奥啊！

讨论半天毫无结果。

后排同学钱某插过来一句话：

“这还不简单，理发师秃头呗！

二、学前测试

（一）相似三角形的定义

三边对应成，三个角对应的两个三角形叫做相似三角形．

（二）相似三角形的判定方法

1.若DE∥BC（A型和X型）则．

2.射影定理：

若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=，CD2=，BC2=．

3.两个角对应相等的两个三角形．

4.两边对应成_且夹角相等的两个三角形相似．

5.三边对应成比例的两个三角形___________．

（三）相似三角形的性质

1.相似三角形的对应边_，对应角_．

2.相似三角形的对应边的比叫做，一般用k表示．

3.相似三角形的对应角平分线，对应边的线，对应边上的线的比等于比，周长之比也等于比，面积比等于．

三、方法培养

例1例1.（广东广州市中考）如图，以点O为位似中心，

将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已

知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长

与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．

例2.（长春中考）如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．

例3．（山东泰安中考）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）

A.=B.=C.=D.=

例4．（广东肇庆中考）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、

c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）

A．7 B．7.5 C．8D．8.5

例5．（重庆綦江中考）若相似△ABC与△DEF的相似比为1：

3，则△ABC与△DEF的面积比为（）

A．1：

3B．1：

9C．3：

1D．1：

例6．（浙江台州中考）若两个相似三角形的面积之比为1:

4，则它们的周长之比为（）

A.1:

2B.1:

4C.1:

5D.1:

16

例7．（四川内江中考）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、

AC的中点DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF

交于点O。

若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积=。

例8．（江苏苏州中考）如图，已知△ABC的面积是的等边三

角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相

交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）。

考点剖析二：

相似三角形综合应用

例9．（杭州市中考）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.

（1）求证：

△ABD∽△CAE；

（2）如果AC=BD，AD=BD，设BD=a，求BC的长.

例10．（2011成都中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点。

（1）若BK=KC，求的值；

（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?

请写出你的结论并予以证明．再探究：

当AE=AD（n>2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?

请直接写出你的结论，不必证明．

四、强化练习

1．（2015甘肃兰州）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为（）

A、（2，5）B、（2.5，5）C、（3，5）D、（3，6）

2.（2015·湖北省武汉市）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、

B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线

段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）

A、（2，1） B、（2，0） C、（3，3） D、（3，1）

3.（2015•湖南株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是 （）

A、 B、C、 D、

1.（2015•山东日照）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．

（1）求证：

（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．

5.（2015•四川眉山）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，

使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，

（1）求证：

四边形AECF为平行四边形；

（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：

△APB≌△EPC；

（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．

五、训练辅导

〖例5〗．如图,在直角△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA（m,n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系.

（1）如图（14.2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是。

证明：

（2）如图（14.3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是。

证明：

（3）如图（14.1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是。

（写出关系式,不必证明）

六、家庭作业布置：

家长签字：

_________________

（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）

附件：

堂堂清落地训练

（坚持堂堂清，学习很爽心）

1.（2015•四川乐山）如图，两条直线与这三

条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，

则的值为（）

A．B．C．D．

2.（2015•山东东营）若，则的值为（）

A、1B、C、D、

3.（2011重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长

为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当

AE＝米时,有DC＝AE＋BC.

4.已知,梯形ABCD中,AD∥BC,AD

（1）P为AD上一点,满足∠BPC=∠A,求证:

△ABP∽△DPC；

（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式,并写出函数的自变量的取值范围.

B

C

D

A

P

E

Q

B

C

D

B′

A

6

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既然选择了远方，就必须风雨兼程。