相似三角形基础训练.doc
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相似三角形基础训练.doc
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爱思得——因为有爱,我思故我得
《相似形》基础测试
一、选择题:
1.已知5y-4x=0,那么(x+y)︰(x-y)的值等于………………………………( )
(A) (B)-9 (C)9 (D)-
2.已知线段d是线段a、b、c的第四比例项,其中a=2cm,b=4cm,c=5cm,则d等于……( )
(A)1cm(B)10cm(C)cm(D)cm.
3.如图,DE∥BC,在下列比例式中,不能成立的是………………………………( )
(A)= (B)= (C)= (D)=
4.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则图中的相似三角形共有………( )
(A)1对(B)2对 (C)3对(D)4对
5.已知:
如图,∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有………………( )
(A)1对(B)2对 (C)3对(D)4对
6.下列判断中,正确的是………………………………………………………………( )
(A)各有一个角是67°的两个等腰三角形相似
(B)邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似
(C)各有一个角是45°的两个等腰三角形相似
(D)邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似
7.如图,□ABCD中,E是AD延长线上一点,BE交AC于点F,交DC于点G,则下列结论中错误的是……………( )
(A)△ABE∽△DGE (B)△CGB∽△DGE
(C)△BCF∽△EAF (D)△ACD∽△GCF
8.如图,在△ABC中,D为AC边上一点,∠DBC=∠A,BC=,AC=3,则CD的长为………( )
(A)1 (B) (C)2 (D)
9.如图,D是△ABC的边AB上一点,在条件
(1)∠ACD=∠B,
(2)AC2=AD·AB,(3)AB边上与点C距离相等的点D有两个,(4)∠B=∠ACB中,一定使△ABC∽△ACD的个数是……………( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,且AD︰BD=9︰4,则AC︰BC的值为………( )
(A)9︰4 (B)9︰2 (C)3︰4 (D)3︰2
11.如图,点A1、A2,B1、B2,C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点,且ABC的周长为l,则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为…………………………( )
(A)l (B)3l (C)2l (D)l
12.如图,将△ABC的高AD四等分,过每一个分点作底边的平行线,把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4,则S1︰S2︰S3︰S4等于……………………………( )
(A)1︰2︰3︰4 (B)2︰3︰4︰5 (C)1︰3︰5︰7 (D)3︰5︰7︰9
【提示】=()2,=()2.【答案】C.
【点评】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方(即对应边上的高的比的平方).
(二)填空题:
(每题2分,共20分)
13.如果x︰y︰z=1︰3︰5,那么=___________.
14.已知数3、6,再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是___________(只需填写一个数).
15.如图,l1∥l2∥l3,BC=3,=2,则AB=___________.
16.如图,已知DE∥BC,且BF∥EF=4︰3,则AC︰AE=__________.
17.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC中点,AE⊥AD交CB延长线于点E,则△BAE相似于______.
18.如图,在矩形ABCD中,E是BC中点,且DE⊥AC,则CD︰AD=__________.
【提示】Rt△CDE∽Rt△DCA,并设AD为a,用a表示出EC和CD的长,或.
【答案】.
【点评】本题要求运用直角三角形的判定定理.
19.如图∠CAB=∠BCD,AD=2,BD=4,则BC=__________.
【提示】由△ABC∽△CBD,得BC2=BD·AB.
【答案】2.
【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理与性质.
20.如图,在△ABC中,AB=15cm,AC=12cm,AD是∠BAC的外角平分线,
DE∥AB交AC的延长线于点E,那么CE=__________cm.
【提示】∠EAD=∠FAD=∠ADE,
∴ ED=AE=AC+CE.
再利用△ABC∽△EDC.
【答案】48.
【点评】本题要求灵活运用相似三角形的判定定理和性质.
21.如图,在△ABC中,M、N是AB、BC的中点,AN、CM交于点O,那么
△MON∽△AOC面积的比是____________.
【提示】利用三角形中位线定理.
【答案】1︰4.
【点评】本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方,以及三角形的中位线定理.
22.如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,BF与AC交于点G,则△BGC与四边形CGFD的面积之比是_____________.
【提示】△BGC∽△FGA,推出FG=BG,得连结FC.S△BCF=S正方形,再列出
S△CDF与S正方形的关系式.或由△BGC∽△FGA得,所以
S△AFG=S△BCG=S△AGB,又 S△ACD=S△ACB,从而得出S四边形CGFD=5S△AFG,
S△BCG=4S△AFG.
【答案】4︰5.
【点评】本题要求运用相似三角形的基本定理与性质.
(三)计算题(每题6分,共24分)
23.如图,DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求线段BF的长.
【提示】先求出FC.
【答案】∵ DE∥BC,DF∥AC,
∴ 四边形DECF是平行四边形.
∴ FC=DE=5cm.
∵ DF∥AC,
∴ =.
即 =,
∴ BF=10(cm).
【点评】本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理.
24.如图,已知△ABC中,AE︰EB=1︰3,BD︰DC=2︰1,AD与CE相交于F,求+的值.
【提示】作EG∥BC交AD于G.
【答案】作EG∥BC交AD于G,则由=,即=,得
EG=BD=CD,
∴ ==.
作DH∥BC交CE于H,则DH=BE=AE.
∴ ==1,
∴ +=+1=.
【点评】本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理.
25.如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
【提示】
(1)考虑AC、PD、PC、DB之间比例关系.
(2)利用相似三角形的性质“对应角相等”.
【答案】∵ ∠ACP=∠PDB=120°,
当=,即=,也就是CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB.
∴ ∠A=∠DPB.
∴ ∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB
=∠APC+∠A+∠CPD
=∠PCD+∠CPD
=120°.
【点评】本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用.
26.如图,矩形PQMN内接于△ABC,矩形周长为24,AD⊥BC交PN于E,且BC=10,AE=16,求△ABC的面积.
【提示】利用相似三角形的性质,列出关于ED的方程,求ED的长,即可求出S△ABC.
【答案】∵ 矩形PQMN,
∴ PN∥QM,PN=QM.∵ AD⊥BC,
∴ AE⊥PN.∵ △APN∽△ABC,
∴ =.
设ED=x,又 矩形周长为24,则
PN=12-x,AD=16+x.
∴ =.即 x2+4x-32=0.解得 x=4.
∴ AD=AE+ED=20.∴ S△ABC=BC·AD=100.
【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比.
(四)证明题:
(每题6分,共24分)
27.已知:
如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:
△ADQ∽△QCP.
【提示】先证=.
【答案】在正方形ABCD中,
∵ Q是CD的中点,∴ =2.
∵ =3,∴ =4.
又 BC=2DQ,∴ =2.
在△ADQ和△QCP中,=,∠C=∠D=90°,
∴ △ADQ∽△QCP.
【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理.
28.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:
BP2=PE·PF.
【提示】先证PB=PC,再证△EPC∽△CPF.
【答案】连结PC.
∵ AB=AC,AD是中线,∴ AD是△ABC的对称轴.
∴ PC=PB,∠PCE=∠ABP.∵ CF∥AB,
∴ ∠PFC=∠ABP.∴ ∠PCE=∠PFC.
又 ∠CPE=∠EPC,∴ △EPG∽△CPF.
∴ =.即 PC2=PE·PF.∴ BP2=PE·PF.
【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质.
29.如图,BD、CE为△ABC的高,求证∠AED=∠ACB.
【提示】先证△ABD∽△ACE,再证△ADE∽△ABC.
【答案】∵ ∠ADB=∠AEC=90°,∠A=∠A,
∴ △ABD∽△ACE.∴ =.
又 ∠A=∠A,∴ △ADE∽△ABC.∴ ∠AED=∠ACB.
【点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质.
30.已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°,以BC为边向外作正方形BEDC,连结AE交BC于F,作FG∥BE交AB于G.
求证:
FG=FC.
【提示】证明=.
【答案】∵ FG∥BE,∴ =.∵ FC∥ED,∴ =.
∴ =.又 EB=ED,∴ FG=FC.
(五)解答题(8分)
31.
(1)阅读下列材料,补全证明过程:
已知:
如图,矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,OE⊥BC于E,连结DE交
OC于点F,作FG⊥BC于G.求证:
点G是线段BC的一个三等分点.
证明:
在矩形ABCD中,OE⊥BC,DC⊥BC,
∴ OE∥DC.∵ =,∴ ==.∴ =.
……
(2)请你仿照
(1)的画法,在原图上画出BC的一个四等分点(要求保留画图痕迹,可不写画法及证明过程).
【提示】先证FG∥DC,再证=或=.
【答案】
(1)补全证明过程,方法一:
∵ FG⊥BC,DC⊥BC,
∴ FG∥DC.
∴ ==.
∵ AB=DC,
∴ =.
又 FG∥AB,
∴ ==.
方法二:
∵ FG⊥BC,DC⊥BC,
∴ FG∥DC.
∴ ==.
∴ =.
∵ E是BC的中点,
∴ ===.
∴ 点G是BC的一个三等分点.
(2)如图,中点I.
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