与名师对话理三角恒等变换文档格式.docx
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(4)tan=.( )
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
2.(2018·
河北保定一模)已知cos=sin,则tanα的值为( )
A.-1B.1C.D.-
[解析] 由已知得cosα-sinα=sinα-cosα,整理得,
sinα=cosα,即sinα=cosα,故tanα=1.故选B.
[答案] B
3.(2019·
浙江苍南县三校联考)若sinα+sinβ=,cosα+cosβ=-,则cos(α-β)=( )
A.-B.C.-D.
[解析] sinα+sinβ=,① cosα+cosβ=-,②
①2+②2,得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=,
∴cos(α-β)=.故选B.
4.(2019·
安徽十校联考)=( )
A.-B.-C.D.
[解析]
=
==sin30°
=.故选C.
[答案] C
5.(必修4P46A组T4
(2)改编)tan20°
+tan40°
+tan20°
·
tan40°
=________.
[解析] ∵tan60°
=tan(20°
+40°
)=,
∴=
∴tan20°
=-tan20°
,
=.
[答案]
考点一 三角函数式的化简
【例1】 化简下列各式:
(1)sin2α·
sin2β+cos2α·
cos2β-cos2α·
cos2β;
(2).
[思路引导]
(1)→
(2)→→
[解]
(1)原式=sin2α·
cos2β-(cos2α-sin2α)·
(cos2β-sin2β)
=sin2α·
cos2β-
sin2α·
sin2β+sin2α·
cos2β
cos2β+cos2α·
(sin2β+cos2β)+cos2α·
(sin2β+cos2β)
=sin2α+cos2α=.
(2)解法一:
原式
==1.
解法二:
原式=
==
化简三角函数式的策略
[对点训练]
1.化简:
.
[解] 原式=
==2cosα.
2.已知α∈(0,π),化简:
==.
因为0<
α<
π,所以0<
<
,所以cos>
0,所以原式=cosα.
考点二 三角函数式的求值
三角函数求值问题主要考查角的变换和公式的灵活运用,是高考命题的热点,难度适中.
常见的命题的角度有:
(1)给角求值;
(2)变角求值;
(3)给值求角.
角度1:
给角求值
【例2-1】 求值:
(1);
[思路引导] →→
[解]
(1)原式====.
(2)原式=
=-4.
角度2:
变角求值
【例2-2】
(1)(2018·
贵阳监测)已知sin=,则cos的值是( )
A.B.C.-D.-
(2)已知0<
β<
π,且cos=-,
sin=,则cos(α+β)的值为________.
[思路引导]
→→
[解析]
(1)∵sin=,
∴cos=cos
=1-2sin2=,
=cos=-cos=-.故选D.
(2)∵0<
π,
∴-<
-β<
,<
α-<
∴cos==,
sin==,
=coscos+sinsin
=×
+×
=,
∴cos(α+β)=2cos2-1
=2×
-1=-.
[答案]
(1)D
(2)-
角度3:
给值求角
【例2-3】 (2019·
成都诊断考试)若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值为________.
→→→
[解析] 因为α∈,故2α∈,又sin2α=,故2α∈,α∈,∴cos2α=-,β∈,故β-α∈,于是cos(β-α)=-,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-×
-×
=,且α+β∈,故α+β=.
三角函数求值的方法策略
类型
要点
关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数
给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系
实质是转化为给值求值,关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围
1.(2019·
开封模拟)设a=cos6°
-sin6°
,b=,c=,则( )
A.c<
b<
aB.a<
c
C.a<
c<
bD.b<
a
[解析] ∵a=sin30°
cos6°
-cos30°
sin6°
=sin24°
,b=tan26°
,c=sin25°
,∴a<
b,故选C.
2.已知2tanαsinα=3,-<
0,则cos的值是( )
A.0B.C.1D.
[解析] 由2tanαsinα=3,得=3,即2cos2α+3cosα-2=0,∴cosα=或cosα=-2(舍去).∵-<
0,∴sinα=-,∴cos=cosαcos+sinαsin=0.故选A.
[答案] A
3.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为________.
[解析] tanα=tan(α-β+β)===,所以tan(2α-β)=tan(α+α-β)===1.
由tanα=,得tanα<
1,则0<
,得0<
2α<
由tanβ=-,知β∈,
得-π<
2α-β<
0,所以2α-β=-π.
[答案] -π
考点三 三角恒等变换
【例3】 (2019·
河北唐山二模)已知α,β均为锐角,且sin2α=2sin2β,则( )
A.tan(α+β)=3tan(α-β)B.tan(α+β)=2tan(α-β)
C.3tan(α+β)=tan(α-β)D.3tan(α+β)=2tan(α-β)
[解析] 解法一:
因为2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),已知sin2α=2sin2β,
所以sin[(α+β)+(α-β)]=2sin[(α+β)-(α-β)],
利用和角、差角公式展开,可得
sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=2[sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)·
sin(α-β)],
整理得sin(α+β)cos(α-β)=3cos(α+β)sin(α-β),
两边同时除以cos(α+β)cos(α-β),
得tan(α+β)=3tan(α-β),故选A.
因为sin2α=2sin2β,
所以====3,
即tan(α+β)=3tan(α-β),故选A.
三角恒等式变换的关注点
(1)看角:
分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化.
(2)看函数:
统一函数,向结果中的函数转化.
[对点训练]
已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2θ=2sin2β,则( )
A.cosβ=2cosαB.cos2β=2cos2α
C.cos2β=2cos2αD.cos2β=-2cos2α
[解析] 由同角三角函数的基本关系可得sin2θ+cos2θ=1,所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ.由已知可得(2sinα)2=1+2sin2β,即4sin2α=1+2sin2β.由二倍角公式可得4×
=1+2×
,整理得cos2β=2cos2α.故选C.
审题系列④——角的范围对三角函数求值的影响
素养解读:
在解决三角函数式的求值问题时,要注意题目中角的范围的限制,特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.绝大部分题目都会设置一定的障碍,特别是角的范围,往往所给的范围较大,需要根据条件缩小范围.
缩小角的范围,经常采用以下策略:
①由三角函数值的符号缩小角的范围;
②借助缩小三角函数值的范围缩小角的范围;
③由特殊角或特殊值缩小角的范围.
【典例1】 已知α、β∈(0,π),tanα=2,cosβ=-,求2α-β的值.
[切入点] 利用α,β的三角函数值求2α-β的三角函数值.
[关键点] 缩小角的范围,保证各角三角函数值的唯一性.
[规范答题] 解法一:
因为tanα=2>
0,α∈(0,π),所以α∈.
因为cosβ=-,β∈(0,π),所以β∈,且tanβ=-.
所以α-β∈(-π,0),tan(α-β)==3>
0,
所以α-β∈,所以2α-β∈(-π,0).
因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==-1,
所以2α-β=-.
1,α∈(0,π),所以α∈.
因为cosβ=-,β∈(0,π),所以β∈,所以2α-β∈.
因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
==-1,
三角函数值的符号与角的范围有直接关系,借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围.本题缩小角的范围分为两层:
先由条件中tanα、cosβ的符号缩小α、β的范围,得到α-β的范围,再由α-β的范围,结合tan(α-β)的符号进而缩小α-β的范围,得到2α-β的范围.难点是想到缩小α-β的范围.
另外,本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围.
解法二较解法一在求角的范围上运算量小了许多,这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势.
【典例2】 设α、β∈(0,π),sin(α+β)=,tan=,则cosβ=________.
[切入点] 求出α和α+β的三角函数值.
[关键点] 保证cosβ=cos[(α+β)-α]的唯一性.
[规范答题] 因为tan=,所以sinα==,cosα==∈.又α∈(0,π),所以α∈,又β∈(0,π),所以α+β∈.又sin(α+β)=∈,所以α+β∈,所以cos(α+β)=-,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-.
[答案] -
本题缩小角的范围分为两层:
(1)由cosα=∈,结合α∈(0,π),缩小角α的范围,得到α+β的范围;
(2)由sin(α+β)=∈,结合α+β∈,缩小α+β的范围.其中难点是后者,这是因为y=sinx在上不单调,解决办法是画图.
[感悟体验]
1.设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为( )
A.B.C.D.或
[解析] 由sinα=,cosβ=-,且α,β为钝角,可知cosα=-,sinβ=,
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×
=,又π<
α+β<
2π,故α+β=.故选C.
2.已知α,β为三角形的两个内角,cosα=,sin(α+β)=,则cosβ的值为________.
[解析] 因为0<
π,cosα=,
所以sinα==,故<
又因为0<
π,sin(α+β)=<
所以0<
或<
由<
知<
所以cos(α+β)=-=-,
所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
课后跟踪训练(二十三)
基础巩固练
一、选择题
1.已知sin2α=,则cos2=( )
A.B.C.D.
[解析] cos2==
==.故选C.
2.已知tan=,tan=,则tan(α+β)的值为( )
A.B.C.D.1
[解析] tan(α+β)=tan
==1,故选D.
[答案] D
广东七校联考)锐角α,β满足cosα=,
cos(2α+β)=,那么sin(α+β)=( )
[解析] 由于α,β均为锐角,cos(2α+β)=,cosα=,所以sinα=,sin(2α+β)=,所以sin(α+β)=sin[(2α+β)-α]=sin(2α+β)cosα-cos(2α+β)sinα=×
=,故选D.
湖南邵阳二模)若tancos=sin-msin,则实数m的值为( )
A.2B.C.2D.3
[解析] 由tancos=sin-msin,
可得sincos=cossin-msincos,
即sincos=cos·
sin-msincos,
即sin2=cos2-sin,
亦即sin=cos,∴·
∴m=2,故选A.
5.(2019·
河北名师俱乐部3月模拟)已知θ∈,sinθ-cosθ=-,则=( )
由sinθ-cosθ=-得sin=,∵θ∈,∴0<
-θ<
,∴cos=.
故==
=2cos=.故选D.
由sinθ-cosθ=-,sin2θ+cos2θ=1,且θ∈,解得sinθ=,cosθ=,
∴=(sinθ+cosθ)
=.故选D.
二、填空题
6.(2019·
湖南长沙一模)化简:
===4sinα.
[答案] 4sinα
7.(2018·
河南统考)已知tanα,tanβ是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=________.
[解析] 由lg(6x2-5x+2)=0,得6x2-5x+1=0,由题意知tanα+tanβ=,tanα·
tanβ=,∴tan(α+β)===1.
[答案] 1
8.对于锐角α,若sin=,则cos=________.
[解析] 由α为锐角,且sin=,可得cos=,则cos=cos=coscos-sinsin=×
=,于是cos=2cos2-1=2×
2-1=-.
三、解答题
9.已知cos·
cos=-,α∈.
(1)求sin2α的值;
(2)求tanα-的值.
[解]
(1)cos·
cos=cos·
sin=sin=-,
即sin=-,
因为α∈,所以2α+∈,
所以cos=-.
所以sin2α=sin=sincos-cossin=.
(2)由
(1)知tanα-=-====2.
10.(2018·
江苏如东高中上学期期中)已知α,β都是锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求cosβ的值.
[解]
(1)因为α,β∈,所以-<
α-β<
又因为tan(α-β)=-,所以-<
0.
由sin2(α-β)+cos2(α-β)=1和=-,
解得sin(α-β)=-.
(2)由
(1)可得,cos(α-β)===.
因为α为锐角,sinα=,
所以cosα===.
所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×
能力提升练
11.(2019·
湖北八校第一次联考)已知3π<
θ<
4π,且+=,则θ=( )
A.或B.或
C.或D.或
[解析] ∵3π<
4π,∴<
2π,
∴cos>
0,sin<
∴+
=+
=cos-sin=cos=,
∴cos=,
∴+=+2kπ,k∈Z或+=-+2kπ,k∈Z,
即θ=-+4kπ,k∈Z或θ=-+4kπ,k∈Z,
又∵3π<
4π,
∴θ=或.故选D.
12.(2019·
安徽二模)sin40°
(tan10°
-)=( )
A.-B.-1C.D.-
[解析] sin40°
-)====-=-=-1.故选B.
13.cos·
cos·
cos=________.
[解析] cos·
cos=cos20°
cos40°
cos100°
=-cos20°
cos80°
=-
=-=-=-.
14.(2019·
北京西城区模拟)已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域;
(2)设β∈(0,π),且f(β)=2cos,求β的值.
[解]
(1)由x+≠kπ+,得x≠kπ+,k∈Z.
所以函数f(x)的定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z}.
(2)依题意,得tan=2cos,
所以=2sin,整理得sin·
=0,
所以sin=0,或cos=.
因为β∈(0,π),所以β+∈.
由sin=0,得β+=π,即β=;
由cos=,得β+=,即β=.
所以β=,或β=.
拓展延伸练
15.(2018·
安徽淮南一模)设α∈,β∈,且tanα=,则下列结论中正确的是( )
A.α-β=B.α+β=
C.2α-β=D.2α+β=
[解析] tanα=====tan.因为α∈,β+∈,所以α=β+,即α-β=.故选A.
16.(2019·
河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角,且tanα+tan=2tanαtan-2,则sin等于( )
A.-B.C.-D.
[解析] tanα+tan=2tanαtan-2⇒=-2⇒tan=-2<
∵α为第二象限角,∴sin=,cos=-,则sin=-sin=-sin=cossin-sincos=-.故选C.
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