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周长=(长+宽)×
2字母公式:
C=(a+b)×
2
【长=周长÷
2-宽;
宽=周长÷
2-长】
面积=长×
宽
字母公式:
S=ab
正方形:
周长=边长×
4
字母公式:
C=4a
面积=边长×
边长
S=a
平行四边形的面积=底×
高
S=ah
三角形的面积=底×
高÷
2
S=ah÷
【底=面积×
2÷
高;
高=面积×
底】
梯形的面积(上底+下底)×
2字母公式S=(a+b)h÷
【上底=面积×
高-下底,高=面积×
(上底+下底)】
五年级下
第一单元 图形的变换
1、轴对称图形如长方形2条,圆无数条,正几边形就有几条
2、平移:
沿直线移动;
旋转:
绕一个点(轴)转动
第二单元倍数和因数
1、整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除(也可说b能整除a)
2、如果数a能被数b(b≠0)整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
倍数和因数是相互依存的。
(不能单独说哪一个数是因数、倍数)
如果2×
3=6那么:
6是2与3的倍数,2是6的因数,3是6的因数
3、因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身
倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
(原数乘以一个数得到的数就是它的倍数,如2的倍数0,2,4,6…..)
4、自然数能否被2整除分为奇数和偶数(0也是偶数)
第三单元长方体和正方体
形体
相同点
不同点
面
棱
顶点
面的形状
面积
棱长
长方体
6
12
8
6个面都是长方形(特殊时有两个相对的面是正方形)
相对的面的面积相等
每组互相平行的四条棱的长度相等
正方体
都是正方形
都相等
正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体,它是一种特殊的长方体。
表面积
体积
容积
意义
长方体或正方体六个面的面积之和
物体所占空间的大小
一个容器所能容纳另一个物体的体积
计算方法
S长=(ab+ah+bh)×
S正=6(a×
a)
V长=sh=abc
V正=sh=aaa
V=abh
(abh从里面量)
常用计量单位
平方米平方分米
平方厘米
立方米立方分米
立方厘米
体积单位和升、毫升
进率:
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
第四单元 分数的意义和性质
1、把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或几份的数,叫分数
分数分为两类:
真分数与假分数。
真分数小于1;
假分数大于1或等于1(假分数化成整数或带分数)
约分通分(分子分母同时除以或乘以一个数)
第五单元 分数的加法和减法
第六单元 统 计
平均数、中位数(中间位置)和众数
六年级上
第一单元:
分数乘法
1、分数与整数相乘(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘
3、整数乘法的交换律axb=bxa、结合律(axb)xc=ax(bxc)和分配律(a+b)xc=ac+bc,对于分数乘法也同样适用
4、倒数:
乘积是1的两个数互为倒数。
(求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数,0没有倒数)
第二单元:
分数除法
分数除法是分数乘法的逆运算,两个数相除又叫做两个数的比
第三单元:
百分数
1、百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位
2、分数与小数、百分数之间的互化:
1/2=0.5=50%
3、折扣
4、出勤率、成活率、合格率、正确率
第四单元:
圆
1、圆心,半径r,直径d(d=2r)。
圆心确定位置,半径确定大小
2、圆的周长C=πd或C=2πr(半圆周长加上直径)
3、圆的面积S=πr^
4、一个圆,半径扩大或者缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小多少倍,但面积是这倍数的平方倍。
常用平方:
11*=12112*=14413*=16914*=19615*=22516*=256
第五单元:
统计
1、条形统计图:
可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:
不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:
能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
六年级下
负数
圆柱与圆锥
圆柱:
s侧=ch
圆柱的表面积:
侧面积+底面积s表=s侧+2s底
圆柱的体积(容积):
底面积×
高v=sh
圆锥的体积(容积):
3v=sh÷
3
应用题
一、一般应用题
一般应用题没有固定的结构,也没有解题规律可循,完全要依赖分析题目的数量关系找出解题的线索。
分析一般应用题时,可以侧重从条件入手分析,也可以侧重从问题入手分析。
从条件入手分析时,要随时注意题目的问题,从问题入手分析时,要随时注意题目的已知条件。
否则,在分析时可能要走弯路。
例:
某五金厂一车间要生产1100个零件,已经生产了5天,平均每天生产130个。
剩下的如果平均每天生产150个,还需几天完成?
思路分析:
已知“已经生产了5天,平均每天生产130个”,就可以求出已经生产的个数。
已知“要生产1100个机器零件”和已经生产的个数。
已知“剩下的平均每天生产150个”,就可以求出还需几天完成。
北辛庄要挖一条长1080米的水渠,计划25天完成。
实际每天比计划多挖1.8米,可比计划提前几天完成?
要求可比计划提前几天完成,就需要先求出实际用的天数。
(1)、计划每天挖多少米?
(2)、实际每天挖多少米?
(3)、实际几天完成?
(4)、比计划提前几天完成?
综合解答:
练习题自己补充:
二、典型应用题
用两步或两步以上运算解答的应用题中,有的题目由于具有特殊的结构,因而可以用特定的步骤和方法来解答,这样的应用题通常称为典型应用题。
(一)求平均数应用题
解答求平均数问题的规律是:
总数量÷
对应总份数=平均数
(注:
在这类应用题中,我们要抓住的是对应,可根据总数量来划分成不同的子数量,再一一地根据子数量找出各自的份数,最终得出对应关系。
)
例:
一台碾米机,上午4小时碾米1360千克,下午3小时碾米1096千克,这天平均每小时碾米约多少千克?
要求这天平均每小时碾米约多少千克。
1.这一天总共碾了多少米?
(一天包括上午、下午)。
2.这一天总共工作了多少小时?
(上午的4小时,下午的3小时)。
3.这一天的总数量是多少?
这一天的总份数是多少?
(从而找出了对应关系,问题也就得到了解决。
有两块实验田,第一块3.5亩,平均亩产小麦480千克;
第二块1.5亩,共产小麦750千克。
这两块地平均亩产小麦多少千克?
思路分析:
要求这两块地合并起来的平均亩产量。
1.第一块地总产量是多少?
(第一块地给出的是单产量和亩数,要知道第一块地的总产量,)。
第二块地的总产量已知,(可得两块地的总数量)。
2.第一块地的份数已知(3.5亩),第二块地的份数已知(1.5亩),(总数量就可以找到对应的总份数)。
练习题自己补充:
(二)归一问题
归一问题的题目结构是,题目的前部分是已知条件,是一组相关联的量;
题目的后半部分是问题,也是一组相关联的量,其中有一个量是未知的。
解题规律是,先求出单一的量,然后再根据问题,或求单一量的几倍是多少,或求有几个单一量。
6台拖拉机4小时耕地300亩,照这样计数,8台拖拉机7小时可耕地多少亩?
先求出单一量,即1台拖拉机1小时耕地的亩数,再求8台拖拉机7小时耕地的亩数。
3台磨面机8小时磨面粉57.6吨,5台同样的磨面机,要磨面粉240吨,需要几小时?
先求出1台1小时磨面粉的吨数,最后看240吨里有几个5台1小时磨面粉的吨数,就是需要几小时。
(三)相遇问题
指两运动物体从两地以不同的速度作相向运动。
相遇问题的基本关系是:
1.相遇时间=相隔距离(两个物体运动时)÷
速度和。
两地相距500米,小红和小明同时从两地相向而行,小红每分钟行60米,小明每分钟行65米,几分钟相遇?
2.相隔距离(两物体运动时)=速度之和×
相遇时间
例:
一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时相对开出,10小时后在途中相遇。
已知货车平均每小时行45千米,客车每小时的速度比货车快20﹪,求甲乙相距多少千米?
3.甲速=相隔距离(两个物体运动时)÷
相遇时间-乙速
一列货车和一列客车同时从相距648千米的两地相对开出,4.5小时相遇。
客车每小时行80千米,货车每小时行多少千米?
相遇问题可以有不少变化。
如两个物体从两地相向而行。
但不同时出发,或者其中一个物体中途停顿了一下,或两个运动的物体相遇后又各自继续走了一段距离等。
都要结合具体情况进行分析。
(相遇问题可以引申为工程问题:
即工效和×
合做时间=工作总量)。
三、分数和百分数应用题
分数和百分数的基本应用题有三种,下面分别谈一谈每种应用题的特征和解题的规律。
(一)求一个数是另一个数的百分之几
这类问题的结构特征是,已知两个数量,所求问题是这两个量间的百分率。
求一个数是另一个数的百分之几与求一个数是另一个数的几倍或几分之几的实质是一样的,只不过计算结果用百分数表示罢了,所以求一个数是另一数的百分之几时,要用除法计算。
解题的一般规律是:
设a、b是两个数,当求a是b的百分之几时,列式是a÷
b。
解答这类应用题时,关键是理解问题的含意。
养猪专业户李阿姨去年养猪350头,今年比去年多养猪60头,今年比去年多养猪百分之几?
问题的含义是:
今年比去年多养猪的头数是去年养猪头数的百分之几。
所以应用今年比去年多养猪的头数去÷
去年养猪的头数,然后把所得的结果转化成百分数。
某水泥厂,五月份计划生产水泥2.4万吨,实际生产水泥3万吨,实际比计划增产百分之几?
根据题意可知,问题的含意是:
实际比计划增产的水泥是计划生产水你的百分之几。
增产的水泥有几万吨。
题目没有直接给。
(算出增产水泥,从而得出用增产的水泥÷
计划的产量)。
练习自己补充:
(二)求一个数的几分之几或百分之几
求一个数的几分之几或百分之几是多少,都用乘法计算。
解答这类问题时,要从反映两个数的倍数关系的那个已知条件入手分析,先确定单位“1”,然后确定求单位“1”的几分之几或百分之几。
和平小学扩建校舍,原计划投资56000元,实际投资比计划节约了
实际投资多少元?
思路分析:
已知实际投资比原计划节约了
,可知以原计划投资为单位“1”,实际投资是原计划投资的(1-
).求实际投资多少元,就是求56000元的(1-
)是多少元。
第二服装厂,三月份计划加工服装45000件,结果上半月完成了
下半月完成了60﹪,这个月比原计划多加工服装多少件?
由题意可知,上半月完成的和下半月完成的都是以计划加工服装45000件为单位“1”。
实际完成的是计划的(
),比计划多完成了(
)。
求这个月比原计划多加工服装多少件,就是求45000件的(
)是多少件?
此题还有不同的解法,自己探讨解题思路。
(三)已知一个数的几分之几或百分之几是多少,求这个数
这类应用题可以用方程来解,也可以用算术法来解。
用算术方法解时,要用除法计算。
解答这类应用题时,也要反映两个数的倍数关系的已知条件入手分析,先确定单位“1”,再确定单位“1”的几分之几或百分之几是多少。
一些稍难的应用题,可以画图帮助分析数量关系。
学校举行跳绳比赛,小明跳了120个,比小强多跳了
。
小强跳了多少个?
用方程的思路分析:
设小强跳了x个。
由题意可知,小明跳的是小强的(1+
)倍,即x的(1+
)倍是120个。
根据这个等量关系,就可以列方程求出x的值。
用算术解的思路分析:
已知小明比小强多跳了
,可知是以小强跳的个数为单位“1”,小明跳的是小强的(1+
已知小明跳了120个,即已知小强跳的(1+
)是120个,求小强跳的个数(即求单位“1”),就是已知一个数的(1+
)是120个,求这个数,用除法解答。
(四)工程问题
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量的问题。
这类题目的特点是,工作总量没有给出实际数量,把它看做“1”,工作效率用
来表示,所求问题大多是合作时间。
一件工程,甲工程队修建需要8天,乙工程队修建需要12天,两队合修4天后,剩下的任务,有乙工程队单独修,还需几天?
把一件工程的工作量看作“1”,则甲的工作效率是
,乙的工作效率是
已知两队合修了4天,就可求出合修的工作量,进而也就能求出剩下的工作量。
用剩下的工作量除以乙的工作效率,就是还需要几天完成。
加工一批机器零件,师傅单独加工需要10小时,徒弟单独加工需要15小时。
师徒二人合作,完成任务时,师傅比徒弟多加工了30个。
问这批零件共有多少个?
要求这批零件有多少个,就得知道师傅比徒弟多加工的30个零件占这批零零件的几分之几。
要想得到这个条件,就得知道师徒二人合作了几天,和师傅比徒弟一天多加工这批零件的几分之几。
练习自己补充:
四、比和比例应用题
比和比例应用题是小学数学应用题的重要组成部分。
在小学中,比的应用题包括:
比例尺应用题和按比例分配应用题,正、反比例应用题。
(一)比例尺应用题
这种应用题是研究图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系的。
解答这类应用题时,最主要的是要清楚比例尺的意义,即:
图上距离÷
实际距离=比例尺
或
=比例尺根据这个关系式,已知三者之间的任意两个量,就可以求出第三个未知的量。
在比例尺是1:
3000000的地图上,量得A城到B城的距离是8厘米,A城到B城的实际距离是多少千米?
把比例尺写成分数的形式,把实际距离设为x,代入比例尺的关系式就可解答了。
所设未知数的计量单位名称要与已知的计量单位名称相同。
(二)按比例分配应用题
这类应用题的特点是:
把一个数量按照一定的比分成两部分或几部分,求各部分的数量是多少。
这是学生在小学阶段唯一接触到的不平均分问题。
这类应用题的解题规律是:
先求出各部分的份数和,在确定各部分量占总数量的几分之几,最后根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,求出各部分的数量。
按比例分配也可以用归一法来解。
一种农药溶液是用药粉加水配制而成的,药粉和水的重量比是1:
100。
2500千克水需要药粉多少千克?
5.5千克药粉需加水多少千克?
已知药和水的份数,就可以知道药和水的总份数之和,也就可以知道药和水各自占总份数的几分之几,知道了分率,相应地也就可以求出各自相对量。
(三)正、反比例应用题
解答这类应用题,关键是判断题目中的两种相关联的量是成正比里的量,还是成反比例的量。
如果用字母x、y表示两种相关联的量,用K表示比值(一定),两种相向关联的量成正比例时,用下面的式子来表示:
(一定)。
如果两种相关联的量成反比例时,可用下面的式子来表示:
x×
y=K(一定)。
六一玩具厂要生产2080套儿童玩具。
前6天生产了960套,照这样计算,完成全部任务共需要多少天?
因为工作总量÷
工作时间=工作效率,已知工作效率一定,所以工作总量与工作时间成正比例。
化肥厂生产一批化肥,每天生产9吨,需要30天完成,如果要提前3天完成任务,每天应生产多少吨?
因为工作效率×
工作时间=工作总量,已知工作总量一定,所以工作效率和工作时间成反比例。
1、一批重240吨货物,第一次运走总数的
,还剩多少吨?
2、一批重240吨货物,第一次运走总数的
,第二次运走总数的
3、一批货物,第一次运走总数的
,还剩51吨没有运走,这批货物原有多少吨?
4、一本故事书,第一天看了全书的
,第二天看了28页,剩下15页没看,这本故事数多少页?
5、一捆电线,第一次用去全长的的
,第二次用去全长的
,两次共运去40米,这捆电线长多少米?
6、小花家的梨去年产量8000斤,今年比去年增产
,小花家的梨今年产量是多少?
长方体和正方体
专题简析
在长方体、正方体问题中,我们还会常常遇到这样一些情况:
把一个物体变形为另一种形状的物体;
把两个物体熔化后铸成一个物体;
把一个物体浸入水中,物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题,必须掌握这样几点:
1,将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变;
2,两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和;
3,物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。
例题1有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。
从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;
乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?
分析由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:
把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×
水面的高度。
这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:
40×
32×
20=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:
32+30×
24=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。
练习一
1,有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。
问水面高多少?
例2将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。
分析因为正方体的六个面都相等,而54=6×
9=6×
(3×
3),所以这个正方体的棱是3厘米。
用同样的方法求出另两个正方体的棱长:
96=6×
(4×
4),棱长是4厘米;
150=6×
(5×
5),棱长是5厘米。
知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
练习二
1,有三个正方体铁块,它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体,求这个大正方体的体积。
例题3有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中,水面上升多少分米?
分析铁块的体积是2×
2×
2=8(立方分米),把它浸入水中后,它就占了8立方分米的空间,因此,水上升的体积也就是8立方分米,用这个体积除以底面积(5×
4)就能得到水上升的高度了。
练习三
1,有一个小金鱼缸,长4分米、宽3分米、水深2分米。
把一块假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。
这块假山石的体积是多少立方分米?
例题4有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多少厘米?
分析首先求出水的体积:
30×
20×
6=3600(立方厘米)。
当容器竖起来以后,水流动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是20×
10=200平方厘米的长方体。
只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习四
1,有两个长方体水缸,甲缸长3分米,宽和高都是2分米;
乙缸长4分米、宽2分米,里面的水深1.5分米。
现把乙缸中的水倒进甲缸,水在甲缸里深几分米?
例题5长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少立方厘米?
分析长方体不同的三个面的面积分别是长×
宽、长×
高、宽×
高得来的。
因此,15×
10×
6=(长×
宽×
高)×
(长×
高),而15×
6=900=30×
30。
所以,这个长方体的体积是30立方厘米。
练习五
1,一个长方体,不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米?
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