用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用.doc
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用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用
鄞州区钟公庙中学童文虎
关于三角形中的费马点问题,已被编入浙教版八年级数学下册4.2节后的设计题,但书本和教参都并没有给出其探究结果和方法。
查找有关资料,发现对于费马点的探求大都分两种情况进行独立探究,这样在揭示这两种情况的相关性方面就有所欠缺。
本文运用几何画板,通过连续变化,揭示两种情况的相关性,以改进上述不足。
费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题:
在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小。
即在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。
下面我们来探求费马点:
如图1,在几何画板中作△ABC,和任意点P,为了使线段PA、PB、PC连接起来,我们把△APC绕点A旋转60°得△AP′C′。
这时,PA=PP′,PC=P′C′,所以PA+PB+PC=BP
+PP′+P′C′≥BC′。
移动点P点使点P、P′在线段BC′上,如图2,此时PA+PB+PC=BC′成立,因为线段BC′长是一个定值,所以,点P即为探求的费马点。
图1图2
在图2中,△APP′是正三角形,∠PAP′=∠CAC′=60°,∠APB=120°,∠APC=∠AP′C′=120°,∠BPC=360°-∠APB-∠APC=120°,∠BAC=∠BAC′-∠CAC′
<180°-60°=120°,即∠BAC<120°。
那么当∠BAC≥120°时情况又怎样呢?
在图1中清除点P,连接BC′,并在BC′上作点P、P′,使△APP′是正三角形,图形同图2,但点P的属性不再是自由点,选中直线BC,然后慢慢向上移动,发现∠BAC逐渐增大,当∠BAC=120°时,点C′在BA的延长线上,而点P、P′与点A重合,如图3,PA+PB+PC=AB+AC=AB+AC′=BC′,点P仍为探求的费马点。
图3图4
继续向上移动直线BC,∠BAC继续增大,如图4,此时∠BAC>120°,PA+PB+PC=BP+PP′
+P′C′=BC′+2PP′>BC′,PA+PB+PC=BC′不成立,点P不能确定为探求的费马点。
究其原因,是因为∠BAC+∠CAC′>180°时,点P、P′在线段BC′上的相对位置发生了变化,也就是说本来四个点顺次是B、P、P′、C′,点P在点B、P′之间,而现在是点P′在点B、P之间。
所以,为保证PA+PB+PC=BC′成立,必须∠BAC+∠CAC′≤180°。
所以,当∠BAC>120°时,调整旋转角∠CAC′=180°-∠BAC<60°,这时点C′在BA的延长线上,PA≥PP′,PC=P′C′,PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C′≥BC′=AB+AC′=AB+AC,等号在点P与点A重合时成立,如图5。
图5
综上所述,得出如下结论:
当三个内角都小于120°时,费马点P是满足∠APC=∠BPC=∠CPA=120°的△ABC内一点。
当三角形有一个内角大于或等于120°时,费马点就是这个最大内角的顶点。
下面给出当三个内角都小于120°时,费马点P的作法:
如图6,分别以AB、AC为边向△ABC形外作正△ABB′和正△ACC′,连接BC′和B′C,因费马点既在BC′上,又在B′C上,所以它们的交点P即为费马点。
图6
下例是作为上述结果应用的一个典型例题:
例:
如图7,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄供水,修在河边什么地方,可使所用水管最短?
图7图8
它在公路、自来水、煤气管道或是电力线路设计等方面都有一定应用价值,现探讨如下:
分析:
在几何画板中,如图8,分别用点A、B表示张村、李村,用直线m表示河,如果直接由水泵站向两村供水,则作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′交直线m于点P,则水泵站修在点P1时,所用水管最短,如图8。
图9
但是当∠APB<120°时,ΔABP存在异于点P1的费马点O,有OA+OB+OP1<P1A+P1B,可见水管由点P1引到点O后再直接向A、B两地供水,其总长要更小一些。
在几何画板中删除点B′,然后把点B绕点A旋转60°得点C,作ΔABC的外接圆,因为当点O是ΔABP内的费马点时,∠AOB=120°,所以点O在120°的圆弧AB上。
设水泵修建点为P2,根据“直线外一点与直线上的各点的连接的线段中垂线段最短”.必有OP2⊥m,所以∠AOC=60°,∠AOP2=120°,∠COP2=∠AOC+∠AOP2=60°+120°=180°,即点O在过点C作直线m的垂线上;所以,寻求的费马点O必是过点C作直线m的垂线与120°的圆弧AB的交点。
在几何画板中作出点O和点P2,因为用对称点P′则水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水,其总长最小,如图9所示。
选中直线m,慢慢地向上移动,
如果符合条件的点O不在ΔABP内,则点O必是°的顶点,若点O与点P重合,即点O在直线m上,则可用轴对称法作出,如图8。
若点O与点A或是点B重合,则∠PAB≥120°或∠PBA≥120°,此时直线AB与直线m的交角大于或等于30°。
如果符合条件的点O在ΔABP内,如图10,以AB为一边作正ΔABC,和ΔABC的外接圆.设点O是符合本例条件的费马点,则∠AOB=120°,即点O在120°的圆弧AB上;又∠AOC=60°,∠AOP=120°,所以∠COP=∠AOC+∠AOP=60°+120°=180°,即点O在过点C作直线m的垂线上;所以,寻求的费马点O必是过点C作直线m的垂线与120°的圆弧AB的交点。
但是反过来:
过点C作直线m的垂线与120°的圆弧AB的交点O是不是一定是本例所寻求的费马点?
如图12,点O在ΔABP外,不是ΔABP的费马点。
因此,此例就要对位置进行讨论。
图11
问题2:
有人讨论时分为图11的情形是当直线与圆相离时,费马点是ΔABP内一点;而图12的情形是当直线与圆相交或是相切时,费马点是直线m上一点。
图13
如图13,直线与圆相交,费马点似乎不在直线m上!
下面对一般情况进行讨论:
设直线AB与m的夹角为α。
(1)当α<30°时.
(ⅰ)如图10,当点P在圆外时,由∠AOB=∠AOP=∠BOP=120°知,点O是符合条件的费马点。
因此水泵站修在点P,水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水,所需水管最省。
此时铺设的水管呈“Y”字型。
(ⅱ)如图11,当点P在圆上时,如果费马点在直线m上,作点B关于直线m的对称点B′,连接AP、PB′,则∠APB=120°,∠BPC=60°,∠BPB′=2(90°-60°)=60°,∠APB′=120°+60°=180°,所以点A、P、B′在同一直线上。
也就是说如果费马点在直线m上,则为点P,如果不在直线m上,则在
(ⅲ)如图11,当点P在圆内或圆上时,点O在ΔABP外,不是ΔABP的费马点,说明无论点P选在直线m的何处,在ΔABP内找不到符合条件的费马点。
所以符合条件的费马点O只能是ΔABP中内角不小于120°的角顶点。
若点A是符合条件的费马点,则∠BAP=90°±α<120°,所以点A不可能是费马点,同理点B也不可能是费马点,故费马点只能是点P,而点P在直线m上,由例2知,符合条件的点P可用如下方法确定:
图11图12
如图17,作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′交直线m于点P,点P即为水泵站修建的最佳位置,水管由点P直接向A、B两地供水,此时铺设的水管呈“V”字型。
(2)当α≥30°时.
如图18,设点B较点A更靠近河道,过点B作直线m的垂线,垂足为点H,因为∠ABC+∠ABH=60°+α+90°>180°,所以∠AOB=60°≠120°。
因此,点O不符合费马点条件。
所以符合条件的费马点只能是ΔABP中内角大于120°的角顶点。
图13图14
如图19,若点A是ΔABP费马点,则∠BAP=90°-α<120°,所以点A不可能是费马点。
如图20,若点P是ΔABP费马点,作点A与点B关于直线m的对称点A′、B′,则AB′与BA′的交点即为点P,所以∠APB=∠A′AP+∠AA′P=2∠A′AP<2∠A′AB=2(90°-α)≤120°,即∠APB<120°,所以,点P不可能是费马点。
所以点B必是符合条件的费马点,此时点P与点H重合。
此时铺设的水管呈“厂”字型。
综上所述水管的最短线路形状有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型.
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- 几何 画板 探究 三角形 中的 费马点 一个 应用
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