数量关系之数学运算Word下载.docx
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如果x>y,z>0,那么x÷
z>y÷
z;
如果x>y,z<0,那么x÷
z<y÷
⑥充分不必要条件:
x>y,m>n,那么x+m>y+n;
⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
⑧如果x>y>0,xn>yn>0(n为正数),xn<yn(n为负数)。
4.均值不等式
①任意n个正数的算术平均数总是不小于其几何平均数,即:
,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立。
②
,当且仅当a=b时等号成立。
证明:
③
★第二节行程问题
1.换算:
1米/秒=3.6千米/小时
2.基本行程问题
①行程问题核心公式:
路程=速度×
时间
时间=路程÷
速度
速度=路程÷
②比例计算题:
①行程问题基本比例
②t若相等,S与v成正比;
v若相等,S与t成正比;
S若相等,v与t成反比。
③三条推论:
当时间相同时,路程之笔等于速度之比;
当速度相同时,路程之比等于时间之比;
当路程相同时,速度之比等于时间反比。
④等距离平均速度:
(其中v1和v2分别代表前后两次速度。
)
点睛:
来回上下坡问题当中,去的上坡一定是回的下坡,去的下坡一定是回的上坡。
因此,来回一趟走的上坡与下坡距离一定是对半平分。
这是解题的关键。
⑤火车过桥公式:
桥长+车长=火车速度×
过桥时间
3.相遇追及问题
相遇问题:
相遇距离=(大速度+小速度)x相遇时间
追及问题:
追及距离=(大速度-小速度)x追及时间
背离问题:
背离距离=(大速度+小速度)x背离时间
4.不间歇多次相遇:
5.间歇变速问题
固定目标:
先考虑对应的非间歇运动的时间,再加入休息时间即可。
移动目标:
考虑与选项最接近的一个整周期,代入其中进行计算。
6.加速运动:
Vt=v0+at
S=(v0+vt)×
t÷
2
7.环形运动
反向运动:
第N次相遇路程和为N个周长,环形周长=(大速度+小速度)x相遇时间
同向运动:
第N次相遇路程差为N个周长,环形周长=(大速度-小速度)x相遇时间
8.流水行船问题
①流水行船问题:
顺流路程=顺流速度×
顺流时间=(船速+水速)×
顺流时间;
逆流路程=逆流速度×
逆流时间=(船速-水速)×
逆流时间。
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=(顺水速度+逆水速度)÷
水速=(顺水速度-逆水速度)÷
②电梯运动问题:
电梯梯度=(人速+电梯速度)×
沿电梯运动方向到达时间
电梯梯度=(人速-电梯速度)×
逆电梯运动方向到达时间
③扶梯上下型:
1.“扶梯上下型”本质上是“流水行船问题”,但有自己独特的解法;
2.“扶梯总长”在题目当中一般被描述为“扶梯露在外面的阶数”
3.扶梯总长=人走的阶数x(1±
),顺行用加法,逆行用减法
④队伍行进型:
队头→队尾:
队伍长度=(人速+队伍速度)x时间
队尾→队头:
队伍长度=(人速-队伍速度)x时间
9.其他
①变速运动型:
“变速运动”实质上就是“分段运动”,关键是抓住每段运动的“路程=速度x时间“。
此外,各段路程之和等于总路程,各段时间之和等于总时间。
②提前出发型:
提前了多长时间出发,就相当于多用时多长时间。
③迟到早到型:
迟到多少时间,用时就多多少时间;
早到多少时间,用时就少多少时间。
④等发车前后过车:
发车时间间隔
;
⑤前后轮消耗模型:
最多行驶距离
⑥往返相遇型(多次相遇问题):
左右点出发:
第N次迎面相遇,路程和=全程x(2N-1);
第N次追上相遇,路程差=全程X(2N-1)。
同一点出发:
第N次迎面相遇,路程和=全程x2N;
第N次追上相遇,路程差=全程X2N。
⑦无动力顺水漂流:
其中t顺和t逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间
第三节比例问题
★1.工程问题
①一个公式一个思想:
核心公式:
工作总量=工作时间x工作效率;
①工作总量一定时,工作效率与工作时间成反比。
②工作时间一定时,工作总量与工作效率成正比。
③工作效率一定时,工作总量与工作时间成正比。
解题思想:
划归为一法(设“1”法)、比例假设法
“交替合作型”工程问题,由于合作的“交替性”,不能简单地使用公式进行计算,而要注重其工作的“周期性”。
②进水、排水类问题:
进水量=(进水速度-排水速度)×
2.溶液问题
①溶液问题基本知识点:
溶液=溶质+溶剂;
浓度=溶质÷
溶液;
溶质=溶液x浓度;
溶液=溶质÷
浓度。
②重复稀释问题:
A.已知有溶液质量为m,每次倒出溶液为m0,再添水满,重复n次:
B.已知有溶液质量为m,每先倒入清水m0,再倒出溶液m0,重复n次:
③溶液混合问题:
M1c1+M2c2=(M1+M2)c
④十字交叉法:
⑤等量挥发问题:
溶质不变,用赋值法,给其赋一个方便计算的值,顺势推出其余各量。
⑥混合稀释型:
a.溶液倒出比例为a的溶液,再加入相同的溶剂,则浓度变为原来的(1-a);
b.溶液加入比例为a的溶剂,再倒出相同的溶液,则浓度变为原来的
3.牛吃草问题
①牛吃草问题(中公):
牧场上长满牧草,牧草不断地、均匀地生长,已知这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天?
第一步:
设每头牛每天吃掉草量为1
第二步:
每天长出的草量=两次牛吃得草量的差÷
时间差
(10x20-15x10)÷
(20-10)=5
第三步:
原有草量=牛吃的量-这段时间的草量
10x20-5x20=100或15x10-5x10=100
第四步:
可以吃得天数=原有草量÷
(牛数-每天所长的草量)
100÷
(25-5)=5
(百川)核心公式:
y=(n-x)×
t
y代表原有草量;
n代表牛数量;
x代表草的生长速度;
t代表存量完全消失所需时间。
②牛羊混吃型:
当题目中有牛有羊时,需要将其全部转换为牛或者羊,再代入公式进行计算。
③自然消亡型:
将牛吃草问题中每天增长量改为每天消耗量,同理计算。
④大小草场型:
如果草场有面积区别,如“M头牛吃W亩草”时,N用“
”代入,此时N代表单位面积上的牛数。
4.钟表问题
(华图)时针一昼夜转2圈,1小时转1/12圈;
分针一昼夜转24圈,1小时转1圈。
(中公)在时钟上,时针每分钟走0.5°
,分针每分钟走6°
,每分钟分钟比时针多走5.5°
(百川)时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180°
也是22次。
时针和分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。
①计算某一时刻时针和分针的角度
整点时,时针与分针成固定角度,在此基础上计算与之靠近的时间点时针和分针的角度,可使计算过程简单容易。
②计算某一时间段内,时针和分针成不同角度的次数
首先,确定从开始的时刻起,第一次垂直、重合、呈180°
的时间。
然后按规律进行推算,到下一次垂直需要约180°
÷
5.5°
=32.7分,到下一次重合需要约360°
=65.5分,到下一次呈180°
需要约360°
5..5°
=65.5分。
③追及公式型:
(华图)钟表问题追及公式:
其中:
T为追及时间,即分针和时针“达到条件要求”的真实事件;
T0为静态时间,即假设时针不动,分针和时针“到达条件要求”的虚拟时间。
④快慢坏表型:
无论是标准表还是坏表,转速都是匀速的,只是速度不同而已。
解题关键,抓住“标准比”,按比例计算。
表针的速度之比等于路程之比。
★第四节几何问题
1.平面几何问题
①常用周长公式:
正方形周长:
C□=4a长方形周长:
C长方形=2(a+b)
圆形周长:
C圆=2πR扇形周长:
②常用面积公式:
三角形面积:
正方形面积:
S□=a2
长方形面积:
S长方形=ab
圆形面积:
S圆=πR2
平行四边形面积:
S平行四边形=ah
菱形(包括正方形)面积等于对角线乘积的一半
梯形面积:
S梯形=1/2(a+b)h
扇形面积:
③等量最值原理:
1.平行图形中,若周长一定,越接近于圆,面积越大;
2.平行图形中,若面积一定,越接近于圆,周长越小;
3.立体图形中,若表面积一定,越接近于球,体积越大。
4.立体图形中,若体积一定,越接近于球,表面积越小。
④等比缩放型:
一个几何图形,若其尺度变为原来的m倍,则:
1.所有对应角度不发生改变;
2.所有对应长度变为原来的m倍;
3.所有对应面积变为原来的m2倍;
4.所有对应体积变为原来的m3倍;
⑤三角形三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
三边长均为整数且最大边长为n的三角形共有多少个?
答案:
n+(n-2)+(n-4)+……这个加完所有的正整数,即如果n为奇数,那就加到1,;
如果n为偶数,那就加到2。
⑥勾股定理:
勾股定理:
a2+b2=c2(其中:
a、b为直角边,c为斜边)
常用勾股数:
(黑框内成比例)
直角边
3
6
9
12
15
5
10
7
8
4
16
20
24
斜边
25
13
26
17
⑦割补平移法:
对于不能直接利用公式的题目,往往通过“割”“补”或者“平移”变成规则图形,然后利用公式进行计算。
⑧嵌套求补型:
当两个规则图形存在“包含”关系的时候,“大规则图形”挖去“小规则图形”所剩下的形状往往是不规则的,其面积必然是两个规则图形的面积差。
2.
2.立体几何问题
①常用表面积公式:
正方形表面积=6a2
长方体表面积=2ab+2bc+2ac
球表面积=4πR2=πD2
圆柱的表面积=2πRh+2πR2,侧面积=2πRh
②常用体积公式:
正方体体积=a3长方体体积=abc
球体积
棱柱体积=Sh
圆柱体积=Sh=πR2h棱锥体积
圆锥体积=
正方体中,三棱锥C-AB1D1是一个正四面体,可牢记其体积公式
,其中a为正方体的边长。
在长方体的表面铺线连接最远两个点时,切断最短边的方案是最长的;
切断最长边的方案是最短的。
3.常用几何性质与定理
①角度
a.n边形的内角和与外角和:
内角和=(n-2)x180°
,外角和恒等于360°
b.角平行线:
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角。
角平分线上的点到角的两边距离相等。
c.三角几何型:
②平行线
③三角形
A.在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
B.面积性质:
同底等高的两个三角形面积相等;
同底的两个三角形的面积之比等于对应高之比;
同高的两个三角形的面积之比等于对应底之比。
C.特殊三角形极其性质
I、等腰三角形性质:
两边相等,两个底角相等;
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
II、等边三角形性质:
三条边相等,两个角相等。
III、直角三角形性质:
斜边最长,两直角边的平方和等于斜边的平方;
斜边上的中线等于斜边的一般。
D.全等与相似
判定
性质
全等三角形
1.两边及夹角对应相等;
2.两角及夹边对应相等;
3.三边对应相等。
对应角、对应边、对应高(中线、角平分线)相等;
周长、面积都相等。
相似三角形
1.两角相等;
2.两边对应成比例且夹角相等;
3.三边对应成比例。
对应角相等;
对应边成比例(该比例为相似比);
对应高(中线、角平分线)的比例等于相似比
4.几何计数问题
①剪绳计数:
绳子的段数总是比切口数多1。
一根绳子连续对折N次,从中剪M刀,则绳子被剪成(2N×
M+1)段。
②植树问题:
单边线型植树公式:
棵树=总长÷
间隔+1;
总长=(棵树-1)x间隔
单边环型植树公式:
间隔;
总长=棵树x间隔
单边楼间植树公式:
间隔-1;
总长=(棵树+1)x间隔
双边植树问题公式:
相应单边植树问题所需棵树的2倍
③方阵问题:
第5节计数问题
1.容斥问题
①两集合标准型:
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
满足条件1的个数+满足条件2的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数。
②三集合标准型:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|
至少满足1个条件的个数=只满足1个条件的个数+恰好满足2个条件的个数+满足3个条件的个数
a.特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分;
b.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形
c.标数时,注意由中间向外围标记。
③三集合整体重复型:
在三集合的题型中,假设满足三个条件的元素量分别为A、B、C,而至少满足三个条件之一的元素总量为W。
满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,可得到下面两个等式:
W=x+y+z
A+B+C=x×
1+y×
2+z×
★2.排列组合问题
①排列与组合公式
排列:
与顺序有关。
排列公式:
组合:
与顺序无关
组合公式:
②分类与分步(加法原理与乘法原理):
加法原理:
分类完成的事件,将完成该事件的各类别方法总数相加。
乘法原理:
分步完成的事件,将完成该事件的各步骤的方法直接相乘。
③环形排列:
N个人排成一圈,有(ANN÷
N)种排法。
N个珍珠串成一条项链,有(Ann÷
2n)种串法。
④错位重排:
有N封信和N个信封,则每封信都不装在自己的信封里,可能的方法的种数记作Dn,则D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44……
⑤快速解题方法:
A.反面考虑法:
满足条件的情况数=总情况数-不满足条件的情况数
B.捆绑法:
先考虑相邻元素,然后将其视为一个整体;
C.插空法:
先将其余无限制的n个元素进行排列,再将不相邻的元素插入无限制元素之间及两端形成的(n+1)个“空”中。
D.隔板法:
将n个相同元素分成m组,且每组“至少一个”元素时,可用(m-1)个“挡板”插入这n个元素之间形成的(n-1)个“空”中,将元素隔成m组,此时有Cm-1n-1种情况。
此法称为“插板法”
★3.概率问题
①核心公式
单独概率=满足条件的情况数÷
总的情况数
总体概率=满足条件的各种情况概率之和(互相排斥的情况)
总体概率(分布概率)=满足条件的每个步骤概率之积(步骤相互独立)
某条件成立概率=1-该条件不成立的概率
“A成立”时“B成立”的概率=A、B同时成立时的概率÷
A成立的概率
②古典概型:
③几何概型:
④条件概率:
4.数列问题
数列
通项公式
对称公式
等差数列
等比数列
平方数列
立方数列
①等差数列
求和公式:
项数公式:
②等比数列求和公式:
若连续三个数A、B、C成等比数列,则B2=AC
③平方数列求和公式:
④立方数列求和公式:
⑤调和平均数
A.算数平均数:
B.调和平均数:
C.加权平均数:
其中,w1,w2,w3,…wn分别为x1,x2,x3…xn的权。
由平均数公式可推出:
综合差值=个数×
平均数差值
⑥其他:
等差数列级差公式:
第N项-第M项=(N-M)x公差
★第六节最值问题
1.抽屉原理
①核心原理:
从装有n种球的口袋中,至少要摸出(m-1)n+1个球才能保证有m个球是同一种球(假设每种球足够多)
从装有n中球的口袋中,最多摸出(m-1)n个球使得任意m个球不是同一种(假设每种球足够多)
②正向计数型:
问你至少要多少个苹果,才能“保证”抽屉里的苹果满足题目要求的条件。
此时运用“最不利原理”,考虑题目要求的“最不利情形”,然后+1即可。
③最多最少型:
问你苹果最多的抽屉,最少有多少个苹果。
此时应该尽可能地构造平均的情况,不低于平均数的最小整数,即为答案。
2.构造设定
当试题当中出现了“至多”“至少”“最多”“最少”“最大”“最小”“最快”“最慢”“最高”“最低”等字样时,我们通常需要考虑“极端思维法”。
这种方法需要分析题意,构造出满足题意要求的最极端的情形,所以从本质上来讲,极端思维也是一种“构造设定法”
3.反向构造
如果假设总数为M,其中第一个集合为A,第二个集合为B,第三个集合为C,第四个集合为D,则有不满足A、B、C、D集合分别为M-A、M-B、M-C、M-D,因此不满足任何一个集合最多有
M-(M-A)-(M-B)-(M-C)-(M-D),将公式进行整理,可得到(A+B+C+D)-3M
★第七节费用问题
1.利润折扣
①售价=成本+利润利润=售价-成本
②
③成本=售价÷
(1+利润率)
④“几折”即为原价的百分之几十
2.分段计算
找准分段点,按区间各自计算,结合列表分析。
3.方案优化
先计算出购买目标在不同购买方式下的价格,比较之后进行购买。
第8节初等数学问题
1.约数倍数
在考试时主要考查“最大公约数”和“最小公倍数”的形式。
利用“短除法”
①小数分数型:
a.如果求最大公约数,那就是“分子的最大公约数/分母的最小公倍数”;
b.如果求最小公倍数,那就是“分子的最小公倍数/分母的最大公约数”。
②约数个数型:
如果将一个数字进行质因素分解,把各个质因素的幂次数字分别加1,再相乘,得到的数字就是这个数字的约数的个数。
最小的约数为1,最大的约数就是这个数自己。
比如360=23x32x51,那么360就一共有(3+1)x(2+1)x(1+1)=24个约数。
2.余数问题
熟练运用余数基本恒等式“被除数=除数×
商+余数(0≤余数<除数)”;
核心口诀:
余同取余,和同加和,差同减差,公倍数作周期。
①余同取余:
“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取1,表示为60n+1;
②和同加和:
“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取7,表示为60n+7;
③差同减差:
“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取-3,表示为60n-3;
注意:
n的取值范围为整数,即可以取负值,也可以取零值。
3.多位数问题
对于多位数问题可采用三种方案:
a.代入排除法;
b.方程法;
c.枚举法。
考虑数字各个位置可以选择的范围,利用排列组合的思想进行计算,一般首位可以选择1-9,其余位可以选择0-9。
①页码用字型:
三位数页码=(数字+111)÷
3-1=数字÷
3+36;
四位数页码=(数字+1111)÷
4-1=(数字+1107)÷
②多位表示型:
譬如百、十、个位分别是a、b、c的数字可以表示为100a+10b+c
4.星期日期问题
判断方法
天数
2月
平年
不能被4整除
365天
28天
闰年
能被4整除
366天
29天
包括月份
大月
1、3、5、7、8、10、12
31天
小月
2、4、6、9、11
30天
a.星期每7天一循环
b.“隔N天“指的是“每N+1天”但“隔N小时”指的是“每N小时”。
①日期加总型:
当条件中出现“连续多个日期之和”或“连续某个星期几的日期之和”时,这些日期本质上都是等差数列,可以通过计算其“平均数”来定位这些日期的“中位数”从而完成答题。
②日期推断型:
在计算两个日期之间一共有多少天的时候,我们先假设每个月都是标准天数,即30天,然后根据各月与30天的差异进行修正。
③星期推断型:
如果所有的年都不是闰年,那么提问“365天之后(即1年之后)星期几”就等同于提问“1天之后星期几”,提问“N年之后星期几?
”就等同于提问“N天之后是星期
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