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答案
解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排,共有甲、乙、丙,甲、丙、乙,乙、甲、丙,乙、丙、甲,丙、甲、乙,丙、乙、甲共6种排法,其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙,乙、甲、丙,丙、甲、乙,丙、乙、甲4种排法,故P==.
5.从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取2个数字相加,其和为偶数的概率是________.
解析 从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种,其中和为偶数的情况有(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6),共6种,所以所求的概率是.
题型一 基本事件与古典概型的判断
例1
袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法?
如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?
以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?
思维启迪 判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性”和“等可能性”.
解
(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.
又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,
故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个基本事件,分别记为A:
“摸到白球”,B:
“摸到黑球”,C:
“摸到红球”,
又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为,而白球有5个,
故一次摸球摸到白球的可能性为,
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为,
显然这三个基本事件出现的可能性不相等,
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.
思维升华 古典概型需满足两个条件:
①对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的试验结果;
②对于所有不同的试验结果而言,它们出现的可能性是相等的.
(1)下列问题中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗骰子,求向上的点数之和是5的概率
(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果.
答案
(1)D
(2)8
解析
(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的;
C项中基本事件的个数是无限多个;
D项中基本事件的发生是等可能的,且是有限个.
(2)设出现正面为1,反面为0,则共有(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)8种结果.
题型二 古典概型的概率
例2
(2013·
山东)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:
米)及体重指标(单位:
千克/米2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
思维启迪 计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时,可以用列举的方法,列举时要不重不漏.
解
(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6个.设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M,其包括事件有3个,故P(M)==.
(2)从小组5名同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共10个.
设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N,且事件N包括事件有(C,D),(C,E),(D,E)共3个.
则P(N)=.
思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择.
(1)(2012·
上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示).
(2)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本,若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是________.
答案
(1)
(2)
解析
(1)三位同学每人选择三项中的两项有CCC=3×
3×
3=27(种)选法,
其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC=3×
2=18(种)选法.
∴所求概率为P==.
(2)第一步先排语文书有A=2(种)排法.第二步排物理书,分成两类.一类是物理书放在语文书之间,有1种排法,这时数学书可从4个空中选两个进行排列,有A=12(种)排法;
一类是物理书不放在语文书之间有2种排法,再选一本数学书放在语文书之间有2种排法,另一本有3种排法.因此同一科目的书都不相邻共有2×
(12+2×
2×
3)=48(种)排法,而5本书全排列共有A=120(种),所以同一科目的书都不相邻的概率是=.
题型三 古典概型与统计的综合应用
例3
陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:
组别
人数
50
100
150
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.
抽取人数
6
(2)在
(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.
思维启迪 各组抽取人数的比率是相等的,因此,由B组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数.
解
(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表:
3
9
(2)记从A组抽到的3个评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;
从B组抽到的6个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取1人的所有结果为
由以上树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4种,
故所求概率P==.
思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已成为高考考查的热点,概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决.
为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;
(3)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率.
解
(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f==0.5.故由f估计该校学生身高在170~185cm之间的概率P=0.5.
(3)样本中身高在180~185cm之间的男生有4人,设其编号为①②③④,样本中身高在185~190cm之间的男生有2人,设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率P==0.6.
六审细节更完善
典例:
(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<
m+2的概率.
(1)基本事件为取两个球
↓(两球一次取出,不分先后,可用集合的形式表示)
把取两个球的所有结果列举出来
↓
{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}
↓两球编号之和不大于4
(注意:
和不大于4,应为小于4或等于4)
↓{1,2},{1,3}
↓利用古典概型概率公式P==
(2)两球分两次取,且有放回
↓(两球的编号记录是有次序的,用坐标的形式表示)
基本事件的总数可用列举法表示
↓(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)
↓(注意细节,m是第一个球的编号,n是第2个球的编号)
n<
m+2的情况较多,计算复杂
(将复杂问题转化为简单问题)
↓计算n≥m+2的概率
↓n≥m+2的所有情况为(1,3),(1,4),(2,4)
↓P1=
(注意细节,P1=\f(3,16)是n≥m+2的概率,需转化为其对,立事件的概率)
m+2的概率为1-P1=.
规范解答
解
(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个.
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2},{1,3}两个.因此所求事件的概率P==.[4分]
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.[6分]
又满足条件n≥m+2的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共3个,
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=.[10分]
故满足条件n<
m+2的事件的概率为
1-P1=1-=.[12分]
温馨提醒
(1)本题在审题时,要特别注意细节,使解题过程更加完善.如第
(1)问,注意两球一起取,实质上是不分先后,再如两球编号之和不大于4等;
第
(2)问,有次序.
(2)在列举基本事件空间时,可以利用列举、画树状图等方法,以防遗漏.同时要注意细节,如用列举法,第
(1)问应写成{1,2}的形式,表示无序,第
(2)问应写成(1,2)的形式,表示有序.(3)本题解答时,存在格式不规范,思维不流畅的严重问题.如在解答时,缺少必要的文字说明,没有按要求列出基本事件.在第
(2)问中,由于不能将事件n<
m+2的概率转化成n≥m+2的概率,导致数据复杂、易错.所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求.
方法与技巧
1.古典概型计算三步曲
第一,本试验是否是等可能的;
第二,本试验的基本事件有多少个;
第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.
2.确定基本事件的方法
列举法、列表法、树状图法.
失误与防范
1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时,它们是否是等可能的.
2.概率的一般加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
公式使用中要注意:
(1)公式的作用是求A∪B的概率,当A∩B=∅时,A、B互斥,此时P(A∩B)=0,所以P(A∪B)=P(A)+P(B);
(2)要计算P(A∪B),需要求P(A)、P(B),更重要的是把握事件A∩B,并求其概率;
(3)该公式可以看作一个方程,知三可求一.
2015航班概率与统计----古典概型
1.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.B.C.D.
2.甲乙两人一起去游泰山,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )
4.第12届全运会于2013年在沈阳举行,运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者,现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,至少有一名A大学志愿者的概率是( )
5.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
6.一个袋子中有5个大小相同的球,其中3个白球2个黑球,现从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后再从袋中任意取出一个球,则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )
7.袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球,若从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则从中任意摸出2个球,得到的都是白球的概率为________.
8.现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________.
9.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________.
10.某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x,y,z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
A6
A7
A8
A9
A10
(1,2,2)
(2,2,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品.
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
11.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:
辆):
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:
9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
一、选择题
1.(2013·
课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
答案 B
解析 基本事件的总数为6,
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2,
所以所求概率P==,故选B.
2.甲乙两人一起去游泰山,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 最后一个景点甲有6种选法,乙有6种选法,共有36种,他们选择相同的景点有6种,所以P==,所以选D.
3.(2013·
安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )
解析 由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种,所求概率P=.
4.第12届全运会于2013年在沈阳举行,运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者,现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,至少有一名A大学志愿者的概率是( )
解析 记2名来自A大学的志愿者为A1,A2,4名来自B大学的志愿者为B1,B2,B3,B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共15种.其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种.故所求概率P==.故选C.
5.连掷两次骰子分别得到点数m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>
90°
的概率是( )
答案 A
解析 ∵(m,n)·
(-1,1)=-m+n<
0,∴m>
n.
基本事件总共有6×
6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).
∴P==,故选A.
二、填空题
6.将一颗骰子投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax-by=0与圆(x-2)2+y2=2相交的概率为________.
解析 圆心(2,0)到直线ax-by=0的距离d=,
当d<
时,直线与圆相交,则有d=<
,
得b>
a,满足b>
a的,共有15种情况,
因此直线ax-by=0与圆(x-2)2+y2=2相交的概率为=.
7.(2013·
江苏)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________.
解析 P==.
8.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________.
解析 由于只有两种颜色,不妨将其设为1和2,若只用一种颜色有111;
222.
若用两种颜色有122;
212;
221;
211;
121;
112.
所以基本事件共有8种.
又相邻颜色各不相同的有2种,故所求概率为.
三、解答题
9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率;
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率.
解
(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},
故(m,n)所有可能的取法共36种.
a⊥b,即m-3n=0,即m=3n,共有2种:
(3,1)、(6,
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