浙教版七下因式分解教案1.doc
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_______教育数学学科导学案(第次课)
教师:
学生:
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时段:
课题
因式分解
教学目标
掌握因式分解,提取公因式,平方差,完全平方法
教学重点
因式分解的几种方法
教学难点
十字相乘法因式分解
教学方法
学习内容与过程
一、知识梳理
1、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把多项式因式分解.
注:
因式分解是“和差”化“积”,整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程,因些常用整式乘法来检验因式分解.
2、提取公因式法
把,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式是除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下:
注:
i多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.
ii公因式的构成:
①系数:
各项系数的最大公约数;
②字母:
各项都含有的相同字母;
③指数:
相同字母的最低次幂.
3、运用公式法
把乘法公式反过用,可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
ⅰ)平方差公式
注意:
①条件:
两个二次幂的差的形式;
②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式;
③在用公式前,应将要分解的多项式表示成的形式,并弄清、分别表示什么.
ⅱ)完全平方公式
注意:
①是关于某个字母(或式子)的二次三项式;
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式;
③中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数);
④使用前应根据题目结构特点,按“先两头,后中间”的步骤,把二次三项式整理成公式原型,弄清、分别表示的量.
补充:
常见的两个二项式幂的变号规律:
①;②.(为正整数)
4、十字相乘法
借助十字叉线分解系数,从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足的,则有
5、分组分解法
定义:
分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。
再提公因式,即可达到分解因式的目的。
例如:
=,
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.
原则:
用分组分解法把多项式分解因式,关键是分组后能出现公因式或可运用公式.
6、求根公式法:
如果有两个根,那么
小结:
1、因式分解的意义
左边=右边
↓↓
多项式整式×整式(单项式或多项式)
2、因式分解的一般步骤
第一步
提取公因式法
第二步
看项数
1
两项式:
平方差公式
2
三项式:
完全平方公式、十字相乘法
3
四项或四项以上式:
分组分解法
3、多项式有因式乘积项→展开→重新整理→分解因式
二、典型例题及针对练习
考点1因式分解的概念
例1、在下列各式中,从左到右的变形是不是因式分解?
⑴;⑵;
⑶;⑷.
注:
左右两边的代数式必须是恒等,结果应是整式乘积,而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..
考点2提取公因式法
例2⑴;⑵
解:
注:
提取公因式的关键是从整体观察,准确找出公因式,并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.
[补例练习]1、⑴;⑵
考点3、运用公式法
例3把下列式子分解因式:
⑴;⑵.
解:
注:
能用平方差分解的多项式是二项式,并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时,首先考虑提取公因式,有时还需提出一个数字系数.
例4把下列式子分解因式:
⑴;⑵.
解:
注:
能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是:
有三项,并且这三项是一个完全平方式,有时需对所给的多项式作一些变形,使其符合完全平方公式.
[补例练习]2、⑴;⑵;
⑶;⑷.
注:
整体代换思想:
比较复杂的单项式或多项式时,先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.
考点4、十字相乘法
例5⑴;⑵.
[补例练习]3、⑴⑵
考点5、分组分解法
例6分解因式:
(1);
(2)
(3)
分析:
对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采用分组分解法,。
四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组,五项式一般采用“三、二”分组,分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。
答案:
(1)(三、一分组后再用平方差)
(2)(三、二分组后再提取公因式)
(3)(三、二、一分组后再用十字相乘法)
★综合探究创新
例7若是完全平方式,求的值.
例8已知,求的值.
说明将所求的代数式变形,使之成为的表达式,然后整体代入求值.
例9 已知,,求的值.
说明这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算,巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解,使之转化为关于与的式子,再整体代入求值.
经典练习一
一、分解因式
1.2x4y2-4x3y2+10xy42.5xn+1-15xn+60xn-1。
3.4.(a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2
5.x4-16.-a2-b2+2ab+4分解因式。
立方差公式:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
二证明题
18.设为正整数,且64n-7n能被57整除,证明:
是57的倍数.
19.求证:
无论x、y为何值,的值恒为正。
20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。
学生对本次课的小结及评价
1、本次课你学到了什么知识
2、你对本次课评价:
特别满意满意一般差
学生签字:
课后作业情况:
有(见附件)无
教学小结:
教师签字:
审阅签字:
时间:
主任签字:
时间:
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